1、學習好資料歡迎下載建立空間直角坐標系的幾種常見思路坐標法是利用空間向量的坐標運算解答立體幾何問題的重要方法，運用坐標法解題往往需要建立空間直角坐標系依據空間幾何圖形的結構特征，充分利用圖形中的垂直關系或構造垂直關系來建立空間直角坐標系， 是運用坐標法解題的關鍵 下面舉例說明幾種常見的空間直角坐標系的構建策略一、利用共頂點的互相垂直的三條棱構建直角坐標系例 1已知直四棱柱 ABCD A1B1C1D 1 中，AA 1 2，底面 ABCD 是直角梯形， A 為直角，AB CD，AB 4，AD 2， DC 1，求異面直線BC1 與 DC 所成角的余弦值解析：如圖1，以 D 為坐標原點，分別以 DA、

2、DC 、 DD 1 所在直線為x、 y、 z 軸建立空間直角坐標系，則 C1（， 1， 2）、B（ 2， 4，）， BC1( 2， 3，2) ， CD(0， 1，0) 設 BC1 與 CD 所成的角為，則 cosBC1CD3 17BC1CD17二、利用線面垂直關系構建直角坐標系例 2如圖 2，在三棱柱ABC A1B1C1 中， AB側面 BB1C1 C， E 為棱 CC1 上異于 C、 C1 的一點， EAEB 1已知 AB2， BB1 2，BC 1， BCC13求二面角 A EB1 A1 的平面角的正切值解析：如圖2，以 B 為原點，分別以 BB1、 BA 所在直線為 y 軸、 z 軸，過

3、B 點垂直于平面 AB1的直線為 x 軸建立空間直角坐標系由于 BC 1， BB1 2， AB 2 ， BCC1 ，3在三棱柱 ABC A中，有 B（，）、A（，2）、B（，2，）、3 ，1， 、1B1 C11c20233， ，C1202設3， ，且13，E2a 02a2由 EA EB1，得 EA EB1 0 ，即3， ，3，2a 222a 0學習好資料歡迎下載3a( a 2) a22a30 ， a1a30 ，44221或331即（舍去）故，a2a2E202由已知有，EB1，故二面角 AEB1 A1 的平面角的大小為向量B1A1與 EAEA EB1B1 A1的夾角因 B1A1BA(0，0，2)

4、 ， EA3， 1，222故 cosEA B1 A12，即 tan2EA B1 A132三、利用面面垂直關系構建直角坐標系例 3如圖 3，在四棱錐 V ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，側面 VAD 是正三角形， 平面 VAD底面 ABCD （ 1）證明 AB平面 VAD；（ 2）求面 VAD 與面 VDB 所成的二面角的余弦值解析：（ 1）取 AD 的中點 O 為原點，建立如圖3 所示的空間直角坐標系設 AD 2，則 A（ 1，）、 D（ 1，）、 B（1， 2，）、V（，3 ）， AB （， 2，）， VA （ 1，3 ）由 AB VA (0，2，0) (10， 3) 0 ，得ABV

5、A又 AB AD，從而 AB 與平面 VAD 內兩條相交直線VA、 AD 都垂直， AB平面 VAD；（ 2）設 E 為 DV 的中點，則E1， 30223，3，EB3 ，3， DV(10， 3) EA022222EB DV3，3，3)0，222(10 EBDV 又 EA DV，因此 AEB 是所求二面角的平面角學習好資料歡迎下載EA EB21 cos EA，EBEA EB7故所求二面角的余弦值為21 7四、利用正棱錐的中心與高所在直線構建直角坐標系例 4 已知正四棱錐 V ABCD 中， E 為 VC 中點，正四棱錐底面邊長為2a，高為 h（ 1）求 DEB 的余弦值；（ 2）若 BE VC

6、，求 DEB 的余弦值解析：（1）如圖 4，以 V 在平面 AC 的射影 O 為坐標原點建立空間直角坐標系，其中 OxBC，Oy AB，則由AB 2a， OV h，有 B（a， a，）、 C（ -a， a，）、 D （-a， -a，）、V（ 0，0，a ahh）、 E， ，2 2 2 BE3aha3ha，2， DE2， a， 2222，BE DE6a2h2，cos BE DEBE DE10a2h222即 cos DEB6a2h2；10ah（ 2）因為 E 是 VC 的中點，又 BE VC，所以 BEVC 0，即3ah( a， a， h)0 ，a，222 3 a2a2h20 ， h2a 222這

7、時，6a2h21 ，即cos DEB1cos BE DE10a2h233引入空間向量坐標運算，使解立體幾何問題避免了傳統方法進行繁瑣的空間分析，只需建立空間直角坐標系進行向量運算，而如何建立恰當的坐標系，成為用向量解題的關鍵步驟之一下面以高考考題為例，剖析建立空間直角坐標系的三條途徑五、利用圖形中的對稱關系建立坐標系圖形中雖沒有明顯交于一點的三條直線，但有一定對稱關系（如正三棱柱、正四棱柱等） ，利用自身對稱性可建立空間直角坐標系學習好資料歡迎下載例 5 已知兩個正四棱錐PABCD 與Q ABCD 的高都為2，AB 4（ 1）證明： PQ平面 ABCD ；（ 2）求異面直線 AQ 與 PB 所成的角；（ 3）求點 P 到平面 QAD 的距離簡解：（ 1）略；（ 2）由題設知，ABCD 是正方形，且AC BD 由（ 1）， PQ 平面ABCD ，故可分別以直線CA， DB， QP為x ，y ，z軸 建 立空 間直 角坐 標系 （如 圖1 ），易 得AQ (22，0， 2)，PB(0，2 2， 2) ， cosAQ，PBAQ PB1AQ PB3所求異面直線所成的角是arccos 1 3（ 3）由（ 2）知，點 D (0， 2 2，0)，AD ( 22， 22，0)，PQ(0，0， 4) 設 n= （ x， y， z）是平面QAD 的一個法向量，則n AQ