1、2014 年第 25 屆亞太小學第一回合2 小時（總分：150 分）2014 年4 月12 日上午9: 00 - 11: 00（注意事項）1234盡量解答所有問題。使用數(shù)學用表或計算器。請另填寫在所提供的第一回合的作答卷上。只有正確才能得分。第一題至第十題，每題 4 分第十一題至第二十題，每題 5 分第二十一題至第三十題，每題 6 分【第 1 題】甲乙兩位同學在300 米的環(huán)形跑道上練習賽跑。兩人在同一起點同時出發(fā)，同向而行。已知甲的平均速度是每秒5 米，乙的平均速度是每秒4.2 米，請問當甲第一次從后面追上乙的時候，甲已經(jīng)跑滿了多少圈？【分析與解】行程，環(huán)形跑道，追及問題。當甲第一次從后面追

2、上乙，用時300 ¸ (5 - 4.2) = 375 秒； 當甲第一次從后面追上乙的時候，甲跑了5 ´ 375 = 1875 米；1875 ¸ 300 = 6""75 ，當甲第一次從后面追上乙的時候，甲已經(jīng)跑滿了6 圈。2014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵【第 2 題】以下四個數(shù)字中，哪一個是完全平方數(shù)？ 921438【分析與解】 76186 750235 2660161數(shù)論，完全平方數(shù)。（一）一個整數(shù)的平方數(shù)被4 除余0 或1 ，即被4 除余2 或3 的數(shù)一定不是完全平方數(shù)。921438 º 38 º 2 (mo

3、d 4) ，76186 º 86 º 2 (mod 4) ，750235 º 35 º 3(mod 4) ；故921438 、76186 、750235 均不是完全平方數(shù)；1 = 16312 ，是完全平方數(shù)；故選。（二）如果完全平方數(shù)的十位數(shù)字是奇數(shù)，則它的個位數(shù)字一定是6 ；反之，如果完全平方數(shù)的個位數(shù)字是6 ，則它的十位數(shù)字一定是奇數(shù)。921438 和750235 的十位數(shù)字是奇數(shù)，但個位數(shù)字不是6 ；的個位數(shù)字是6 ，但十位數(shù)字不是奇數(shù)；故921438 、76186 、750235 均不是完全平方數(shù)；而161 = 16312 ，是完全平方數(shù)； 故選

4、。【第 3 題】C【分析與解】幾何，巧求面積，割補。（一）2014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵， ABC 是等腰直角三角形， AB = 28cm 。以 BC 為直徑作半圓，點 D 是半圓圓弧的中點。試求陰影部分的面積。（取p= 22 。）7ABDBADC取 BC 中點 E ，聯(lián)結(jié) DE ；聯(lián)結(jié) BD ；S ABD = AB ´ BE ¸ 2 = 28 ´14 ¸ 2 = 196 平方厘米；= 1 ´ p´ BE 2 = 1 ´ p´142 = 49p 平方厘米；S扇形BED44SBED = BE 

5、0; DE ¸ 2 = 14 ´14 ¸ 2 = 98 平方厘米；S弓形BD = S扇形BED - SBED = 49p - 98 平方厘米；+ S= 196 + (49p - 98) = 49p + 98 = 49 ´ 22 + 98 = 252 平方厘米。S= S陰影 ABD弓形BD7（二）BBAAEDEDCC取 BC 中點 E ，聯(lián)結(jié) DE ；聯(lián)結(jié) BD ；因為ABC 和BDE 都是等腰直角三角形； 所以ÐACB = ÐDBE = 45D ；所以 AC / BD ；所以 S ABD = SCBD ；= 1 ´ p

6、80; BE 2 = 1 ´ p´142 = 49p 平方厘米；S扇形BED44SCED = CE ´ DE ¸ 2 = 14 ´14 ¸ 2 = 98 平方厘米；+ S= 49p + 98 = 49 ´ 22 + 98 = 252 平方厘米。S= S陰影扇形BEDCED72014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵E【第 4 題】在7 ´ 7 的棋盤上放法有多少種？【分析與解】計數(shù)，乘法原理。、黑、1 枚棋子，如果三種顏色的棋子兩兩不能放在同一行或同一列，那么不同的先子，有7 ´ 7 = 49 個格子

7、可以放； 再放黑子，有 ´ 6 = 36 個格子可以放； 最后放白子，有= 25 個格子可以放；由乘法原理，有49 ´ 36 ´ 25 = 44100 種不同的放法。【第 5 題】六只袋子分別裝有18 ，19 ， 23 ， 25 和34 枚硬幣，其中一只袋子裝的的硬幣，其他五只袋子不含有硬幣。小聰取了三只袋子，取了另外兩只袋子，剩下的那袋裝的是硬幣有幾枚？硬幣。如果小聰?shù)玫接矌诺目偯稊?shù)比【分析與解】數(shù)論，同余。多一倍，那么因為小聰?shù)玫接矌诺目偯稊?shù)比多一倍；即小聰?shù)玫接矌诺目偯稊?shù)是的2 倍；3 倍；所以小聰和得到硬幣的總枚數(shù)是即小聰和得到硬幣的總枚數(shù)是 的倍數(shù)；則六

8、只袋子裝的硬幣的總枚數(shù)與剩下的那袋的枚數(shù)模3 同余；18 º 0(mod 3) ，19 º 1(mod 3) ， 21 º 0 (mod 3) ， 23 º 2 (mod 3) ， 25 º 1(mod 3) ， 34 º 1(mod 3) ；19 + 19 + 21 + 23 + 25 + 34 º 0 + 1 + 0 + 2 + 1 + 1 = 5 º 2(mod 3) ；故硬幣有232014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵【第 6 題】將數(shù)碼1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 7 ， 8 ，

9、 9 ，按某種次序?qū)懗梢粋€九位數(shù) abcdefghi 。如果A = abc + bcd + cde + def + efg + fgh + ghi ，求 A 的最大可能的值。【分析與解】數(shù)論，位值原理；極值問題。A = abc + bcd + cde + def + efg + fgh + ghi= a ´100 + b ´110 + (c + d + e + g ) ´111 + h ´11 + i ´1 ；f要使 A 盡可能的大；則從大到小依次考慮(c, d , e, f , g ) ， b ， a ， h ， i ；當(c, d , e,

10、 f , g ) = (9,8, 7, 6, 5) ， b = 4 ， a = 3 ， h = 2 ， i = 1 時，A 最大，為(9 + 8 + 7 + 6 + 5) ´111 + 4 ´110 + 3´100 + 2 ´11 + 1´1 = 4648 。2014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵【第 7 題】，將一張正方形的紙對折兩次后，沿虛線剪開。請問以下哪一個選項是展開后的圖形？【分析與解】還原問題。故選。【第 8 題】計算： 20142013´ 20132014 - 20132013´ 20142014 。【

11、分析與解】計算，乘法分配律及提取公因數(shù)。20142013´ 20132014 - 20132013´ 20142014= 20142013´ 20132014 - 20132013´ (20142013 + 1)= 20142013´ 20132014 - (20132013´ 20142013 + 20132013 ´1)= 20142013´ 20132014 - 20132013´ 20142013 - 20132013= 20142013´ (20132014 - 20132013) -

12、 20132013= 20142013 ´1 - 20132013 = 20142013 - 20132013 = 1000002014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵【第 9 題】甲，乙，丙，丁四位同學參加了一個科學小測驗。該測驗只有5 道是非題，每答對一題得1 分。以下表格提供了每一位同學的以及甲，乙，丙所得的分數(shù)。請問丁得了幾分？【分析與解】邏輯推理。比較：兩人只有第四題不同，且乙的得分比丙的得分低1 ；故第四題的正確比較甲和丁：是“是”；甲和丁第故第、三、五題恰好相反；、三、五題，甲和丁的得分之和為4 分；而甲和丁的第四題都不得分； 故甲和丁的得分之和為4 分；則丁得了

13、4 - 2 = 分。【第 10 題】ö 。+"計算：109 ´10 ÷´ 4ø【分析與解】計算，分數(shù)數(shù)列，裂項。1è 1´ 22 ´ 312ö+109 ´10 ÷´103´ 4ø= 10 ´ éæ1 -1öù1ö + æ1 -ö + æ1 -11ö +" + æ1 -êç1´ 2 ÷

14、31;2 ´ 3 ÷ç3 ´ 4 ÷ç9 ´10 ÷úëèø èø èøèøûéæö æ= 10 ´1 + 1 + 1 +"+ 1 -+"+öù1111êç ÷9 ´10 ÷úç 1´ 22 ´ 33 ´ 4è

15、øúûêëèø1= 10 ´ ìéæ1 - 1 ö + æ 1 - 1 ö + æ 1 - 1 ö +" + æ 1 - 1 öùüíî10 ÷úýêç2 ÷ ç 23 ÷ ç 34 ÷ç 9ëèø èø &#

16、232;øèøûþ= 10 ´ é9 - æ1 - 1 öù = 10 ´ æ 8 + 1 ö = 10 ´ 8 + 10 ´= 80 + 1 = 811êç10 ÷úç10 ÷ëèøûèø102014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵第一題第二題第三題第四題第五題總分甲是非非非非2乙非是非非是3丙非是非是是4丁非是是非是【

17、第 11 題】已知一個三位數(shù) N ，被3 ， 7 ，11除的【分析與解】數(shù)論，同余，物不知數(shù)。分別是1 ， 3 和8 。試求 N 的最大值。（一）N ¸11 余8 ，設 N = 11a + 8 ；N ¸ 7 余3 ，則(11a + 8) ¸ 7 余3 ， (4a + 1) ¸ 7 余3 ；a 最小是4 ，對應 N 是11´ 4 + 8 = 52 ； 則 N ¸ 77 余52 ，設 N = 77b + 52 ；N ¸ 3 余1 ，則(77b + 52) ¸ 3 余1 ， (2b + 1) ¸ 3 余1 ；b

18、 最小是0 ，對應 N = 77 ´ 0 + 52 = 52 ；則 N ¸ 23152 ；999 ¸ 231 = 4""75 ；故三位數(shù) N 最大是231´ 4 + 52 = 976 。（二）3, 7,11 = 3´ 7 ´11 = 231；根據(jù)剩余定理， N º (3 ´ 7) ´ 3 + (3 ´11) ´ 2 + (7 ´11) ´ 2 = 283 º 52(mod 231) ；999 ¸ 231 = 4"&q

19、uot;75 ；故三位數(shù) N 最大是231´ 4 + 52 = 976 。2014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵【第 12 題】，正方形 ABCD 的四條邊上有12 個點。若以這12 個點（不畫出多少個三角形？正方形的4 個頂點）作為頂點，可以D987C651011412A12 3B【分析與解】計數(shù)，組合。畫出一個三角形需要3 個頂點，從12 個點中任選3 個，有C3 = 12 ´11´10 = 220 種選法；123´ 2 ´1其中，三個點在一條線上的是不能故可以畫出220 - 4 = 216 個三角形。三角形，這樣的情況有4 種；【

20、第 13 題】砌一堵墻，工人甲單獨干需要10 小時，乙單獨干需要11小時。如果兩人合作，由于配合不好，每小時兩人總共少砌48 塊磚。為了盡快完工，【分析與解】工程問題。設工作總量為1 ；甲的工作效率為1 ¸10 =；10還是請甲合作，結(jié)果6 小時完工。請問這堵墻有多少塊磚組成？11乙的工作效率為1 ¸11 =；11的工作效率為1 ¸ 6 = 1 ；6實際甲、每小時少完成+- 1 =；10116165114由于沒有配合不好，則甲、4這堵墻有 48 ¸= 1980 塊磚組成。1652014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵【第 14 題】圖示一個被分割成

21、九個長方形的正方形。已知長方形 E 實為正方形，且長方形 A ，B ，C 的面積分別為18cm2 ，63cm2 和189cm2 ，求長方形 D 的。【分析與解】幾何，與面積，比例。因為整個圖形為一個大正方形，且 E 也是正方形；所以 A 、 B 、C 、 D 可以拼成一個正方形。因為 S長方形A ´ S長方形C = S長方形B ´ S長方形D ；所以 S長方形D = S長方形A ´ S長方形C ¸ S長方形B = 18 ´189 ¸ 63 = 54 平方厘米；A 、 B 、C 、 D 所拼成的正方形的面積為18 + 63 + 189

22、+ 54 = 324 平方厘米，邊長為18 厘米； 長方形 D 的長與長方形C 的長之比為54 :189 = 2 : 7 ；2長方形 D 的長為18 ´= 4 厘米；2 + 7長方形 D 的寬與長方形 A 的寬之比為54 :18 = 3 :1 ；3長方形 D 的寬為18 ´= 13.5 厘米；3 + 1(4 + 13.5) ´ 2 = 35 厘米。長方形 D 的2014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵ABDCABEDC【第 15 題】如果將2014 的每一天的日期都寫成八位數(shù)的形式，例如20140125 代表2014 年1 月 25 日，有多少個八位數(shù)中數(shù)碼

23、1 ， 2 ， 0 出現(xiàn)次數(shù)相同？【分析與解】計數(shù)。設2014 的每一天的日期都能寫成八位數(shù)2014 ABCD 的形式；其中，前四位數(shù)碼1 ， 2 ， 0 出現(xiàn)次數(shù)相同；則后四位數(shù)碼1 ， 2 ， 0 出現(xiàn)次數(shù)相同。當 AB = 01 或10 時， CD = 23 29 ，有2 ´ 7 = 14 種；當 AB = 02 時， CD = 13 19 ，有7 種；當 AB = 03 09 時， CD = 12 或21 ，有7 ´ 2 = 14 種；當 AB = 11 時，不；當 AB = 12 時， CD = 03 09 或30 ，有8 種；綜上所述，有14 + 7 + 14

24、+ 8 = 43 個八位數(shù)中數(shù)碼1 ， 2 ， 0 出現(xiàn)次數(shù)相同。【第 16 題】有47 個不同的正整數(shù)，它們的和是2014 。那么這47 個正整數(shù)中至少有多少個偶數(shù)？【分析與解】極值問題。根據(jù)奇偶性，要使這47 個不同的正整數(shù)和為偶數(shù)，則這47 個正整數(shù)中有奇數(shù)個偶數(shù)； + "> 2014 ；2è從1開始連續(xù)46個奇數(shù) ø) = 442 + (2 + 4 + " +6 = 1948 < 2014 ；個奇數(shù) ø從 開始連續(xù)故這47 個正整數(shù)中至少有3 個偶數(shù)。2014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵【第 17 題】圖示一個直徑

25、為 AG 的半圓形。半圓的弧被點 B 、C 、 D 、 E 和 F 分成了六等份。 DF 和CG 均為直線段。已知該半圓形的面積是60cm2 ，請問陰影部分的面積為多少cm2 ？DCEFBAG【分析與解】幾何，圓與扇形。DCEFBAGO設半圓形的圓心為點O ，分別聯(lián)結(jié)OC 、 AC ； 因為 AO = CO ；所以 S AOC = SCOG ；因為 S弓形ABC = S弓形DEF ；´ 2 = æ S´ 2 ö´ 2 = 2 S= (S+ S)´ 2 = S所以 S= S+ S+ S+ S；ç 半圓6 ÷空白弓形A

26、BC AOCCOG弓形DEF弓形ABC AOC扇形AOC半圓èø3= S- 2 S= 1 S= 1 ´ 60 = 20 平方厘米。3所以 S= S- S陰影半圓空白半圓半圓半圓332014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵【第 18 題】一輛一輛卡車分別從甲、乙兩地同時開出，相向而行。兩車經(jīng)過6 小時相遇，相遇時巴士距乙地 240km 。巴士到達乙地休整一小時后返回甲地。已知卡車從乙地到甲地用了15 小時，且卡車到達甲地也休整一小時后才返回乙地。請問，兩車從第一次相遇到第二次相遇經(jīng)過了幾個小時？【分析與解】行程問題。從出發(fā)到第一次相遇一共了1 個全程；從出發(fā)到

27、第二次相遇一共了3 個全程；因為兩車速度不變；所以兩車從第一次相遇到第二次相遇經(jīng)過了6 ´ 3 - 6 + 1 = 13 個小時。【第 19 題】將棱長為1cm 的正方體按照圖中所示范的擺放，請問第 20 個幾何體的表面積是多少cm2 ？【分析與解】幾何，表面積。第20 個幾何體的最下面一層每條邊有1 + (20 - 1) ´ 2 = 39 個小正方體。上面、下面的面積分別是392 = 1521 平方厘米；前面、后面、左面、右面的面積是1 + 3 + 5 + " + 39 = 202 = 400 平方厘米；從1開始連續(xù)20個奇數(shù)第20 個幾何體的表面積是1521&

28、#180; 2 + 400 ´ 4 = 4642 平方厘米。2014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵【第 20 題】小張有三塊手表，第一塊表每小時比標準時間快2 分鐘，第二塊表快6 分鐘，第三塊表快16 分鐘。如果現(xiàn)在三塊表的分針都指向同樣的方向，試問多少個小時后，三根分針再次指向同一方向？【分析與解】時鐘問題。第一塊表每小時比標準時間快2 分鐘，第二塊表每小時比標準時間快6 分鐘；則第二塊表比第一塊表每小時多走6 - 2 = 4 小格；每60 ¸ 4 = 15 小時，第一塊表和第二塊表分針指向同一方向；第一塊表每小時比標準時間快2 分鐘，第三塊表每小時比標準時間快1

29、6 分鐘；則第二塊表比第一塊表每小時多走16 - 2 = 14 小格；每60 ¸14 =小時，第一塊表和第三塊表分針指向同一方向；715, 30(1, 7)é30 ùê15, 7 ú = 30 小時后，三根分針再次指向同一方向。ëû【第 21 題】在某一年之中，星期一比星期五多，星期天比星【分析與解】周期問題。365 ¸ 7 = 52""1， 366 ¸ 7 = 52""2 ；多。請問，這一年的3 月1 日是星期幾？由題意，這一年星期天、星期一的天數(shù)各為52 + 1

30、 = 53 天，星期二、星、星期四、星期五、的天數(shù)各為52 天；這一年是閏年；這一年的1 月1 日是星期天；閏年，1 月1 日到3 月1 日一共有31 + 29 + 1 = 61 天； 61 ¸ 7 = 8""5 ；這一年的3 月1 日是星期四。2014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵【第 22 題】今有濃度為5% ，8% ，9% 的甲，乙，丙三種鹽水分別為60 克，60 克和47 克。現(xiàn)要配制濃度為7% 的鹽水100克，試求甲種鹽水最多可用多少克？最少可用多少克？請寫下兩數(shù)之和，作為本題的【分析與解】濃度問題。設甲種鹽水用 x 克。要使甲種鹽水盡可能多，則

31、丙種鹽水要盡可能多；則丙種鹽水用47 克，甲種鹽水用 x 克，乙種鹽水用100 - 47 - x = 53 - x 克；x ´ 5% + (53 - x) ´ 8% + 47 ´ 9% = 100 ´ 7% ； 解得 x = 49 ；即甲種鹽水最多可用49 克。要使甲種鹽水盡可能少，則乙種鹽水要盡可能多；則乙種鹽水用60 克，甲種鹽水用 x 克，丙種鹽水用100 - 60 - x = 40 - x 克；x ´ 5% + 60 ´ 8% + (40 - x) ´ 9% = 100 ´ 7% ；。解得 x = 35 ；

32、即甲種鹽水最少可用35 克。故本題的為49 + 35 = 84 。【第 23 題】如圖，求標有數(shù)字的12 個角的度數(shù)和。643572812911110【分析與解】幾何，角度。我們先證一個引理：2014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵ACODB，線段 AD 與線段 BC 相交于點O ，聯(lián)結(jié) AB 、CD ，則ÐA + ÐB = ÐC + ÐD 。證明如下： ÐA + ÐB + ÐAOB = 180D ， ÐC + ÐD + ÐCOD = 180D （三角形內(nèi)角和等于180D ）； Ð

33、;A + ÐB + ÐAOB = ÐC + ÐD + ÐCOD （等量代換）； ÐAOB = ÐCOD （對頂角相等）； ÐA + ÐB = ÐC + ÐD （等式性質(zhì)）。6435717181516281根據(jù)引理可得， Ð1 + Ð2 = Ð13 + Ð14 ， Ð3 + Ð4 = Ð13 + Ð15 ； Ð1 + Ð2 + Ð3 + Ð4 = (Ð13 +

34、 Ð14 + Ð15) + Ð13 ； Ð13 + Ð14 + Ð15 = 180D ， Ð13 = Ð16 ； Ð1 + Ð2 + Ð3 + Ð4 = 180D + Ð16 ；同理， Ð5 + Ð6 + Ð7 + Ð8 = 180D + Ð17 ， Ð9 + Ð10 + Ð11 + Ð12 = 180D + Ð18 ；0D ´ 3 + (Ð16

35、+ Ð17 + Ð18) ； Ð16 + Ð17 + Ð18 = 180D ；0D 。2014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵【第 24 題】有一些正整數(shù)，它們除以5 的【分析與解】與除以6 的商之和等于11。求滿足這樣條件的所有數(shù)的和。數(shù)論，。若這個數(shù)¸5 的為0 ，則這個數(shù)¸6 的11 - 0 = 11；6 ´11 = 66 ， 6 ´11 + 5 = 71 ，從66 71中， ¸5 余0 的數(shù)有70 ；若這個數(shù)¸5 的為1 ，則這個數(shù)¸6 的11 -1 = 10

36、；6 ´10 = 60 ， 6 ´10 + 5 = 65 ，從60 65 中， ¸5 余1 的數(shù)有61；若這個數(shù)¸5 的為2 ，則這個數(shù)¸6 的11 - 2 = 9 ；6 ´ 9 = 54 ， 6 ´ 9 + 5 = 59 ，從54 59 中， ¸5 余2 的數(shù)有57 ；若這個數(shù)¸5 的為3 ，則這個數(shù)¸6 的11 - 3 = 8 ；6 ´ 8 = 48 ， 6 ´ 8 + 5 = 53 ，從48 53 中， ¸5 余3 的數(shù)有48 和53 ；若這個數(shù)¸5

37、 的為4 ，則這個數(shù)¸6 的11 - 4 = 7 ；6 ´ 7 = 42 ， 6 ´ 7 + 5 = 47 ，從42 47 中， ¸5 余4 的有44 ；故滿足這樣條件的所有數(shù)的和70 + 61 + 57 +53 + 44 = 333 。【第 25 題】將正整數(shù) N 接寫在任意一個正整數(shù)的右面（例如，將 21 接寫在35 的右面得3521 ），如果得到的新數(shù)都能被 N整除，那么 N 稱為“魔術(shù)數(shù)”。請問，在小于【分析與解】數(shù)論，約數(shù)倍數(shù)。如果 N 為一位數(shù)；則由題意，得 N |1+ N ，則 N |10m ；因為 m 為任意正整數(shù)；所以 N |10 ；0

38、 的正整數(shù)中有多少個“魔術(shù)數(shù)”？10 = 2 ´ 5 有(1 + 1) ´ (1 + 1) = 4 個約數(shù)：1 、 2 、5 、10 ；故 N = 1、 2 、5 。如果 N 為兩位數(shù)；則由題意，得 N |1m + N ，則 N |100m ； 因為 m 為任意正整數(shù)；所以 N |100 ；100 = 22 ´ 52 有(2 + 1) ´ (2 + 1) = 9 個約數(shù)：1 、 2 、 4 、5 、10 、 20 、 25 、50 、100 ；故 N = 10 、 20 、50 。如果 N 為三位數(shù)；則由題意，得 N |m + N ，則 N |1000m

39、因為 m 為任意正整數(shù)；所以 N |1000 ；1000 = 23 ´ 53 有(3 + 1) ´ (3 + 1) = 16 個約數(shù)：1 、 2 、 4 、5 、8 、10 、 20 、 25 、 40 、50 、100 、125 、 200 、 250 、500 、1000 ；故 N = 100 、125 、 200 、 250 、500 。綜上所述，在小于600 的正整數(shù)中有12 個“魔術(shù)數(shù)”。2014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵【第 26 題】如圖，將三角形 ABC 沿線段 DE 折疊，得到一個七ADECFGH 。如果該七與原三角形的面積比是5: 7 ，且折

40、疊后的重疊部分面積是8cm2 ，試求原三角形 ABC 的面積。AGHFDCBE【分析與解】幾何，面積；量率對應。= 5 : 7 ；因為 S七ADECFGH : S ABC又因為ABC 比七ADECFGH 大的面積恰好為陰影部分；ADECFGH : S ABC : S陰影 = 5 : 7 : 2 ；所以 S七因為 S陰影 = 8 平方厘米；= 8 ¸ 2 ´ 7 = 28 平方厘米。所以 S ABC2014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵【第 27 題】從2014 到6999 的正整數(shù)中，有多少個數(shù)的各位數(shù)字之和能被5 整除？【分析與解】計數(shù)，乘法原理。（一）先考慮20

41、00 6999 ：千位數(shù)字可以是2 6 ，有5 種選擇； 百位數(shù)字可以是0 9 ，有10 種選擇； 十位數(shù)字可以是0 9 ，有10 種選擇；個位數(shù)字， 4 個數(shù)字相加個位是0，有2 種選擇；（例如：千位是2 、百位是0 、十位是1 ， 2 + 0 + 1 = 3 ，最后個位只能選2 或7 ）由乘法原理，從2000 到6999 的正整數(shù)中，有5 ´10 ´10 ´ 2 = 1000 個數(shù)各位數(shù)字之和能被5 整除。而2000 2013 中，各位數(shù)字之和能被5 整除的數(shù)有2003 、 2008 、 2012 ；故從2014 到6999 的正整數(shù)中，有1000 - 3 =

42、 997 個數(shù)的各位數(shù)字之和能被5 整除。（二）我們考慮個位數(shù)字為0 9 ，且其位上的數(shù)字都相同的連續(xù)10 個自然數(shù)（例如2010 2019 ）；這樣的10 個連續(xù)的自然數(shù)，數(shù)字之和也是連續(xù)的；而10 個連續(xù)的自然數(shù)中，有且僅有2 個數(shù)能被5 整除；故這樣的10 個連續(xù)的自然數(shù)中，有且僅有2 個數(shù)它的數(shù)字之和能被5 整除；2020 6999 一共有4980 個數(shù)，有4980 ¸10 ´ 2 = 996 個數(shù)各位數(shù)字之和能被5 整除； 2019 中，各位數(shù)字之和能被5 整除的數(shù)有2017 ；而故從2014 到6999 的正整數(shù)中，有996 + 1 = 997 個數(shù)的各位數(shù)字之

43、和能被5 整除。2014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵【第 28 題】，在一張四邊被圍住，長為9cm ，寬為7cm 的長方形桌上，一個小球從 A 點以45 度角的方向射出， 到達 E 點后以45 度角反彈，繼續(xù)向前滾動。在整個運行過程中，小球每次碰到桌邊就以45 度角反彈。試問， 從 A 點出發(fā)后，小球經(jīng)過多少次反彈后第一次到達C 點？FDCE9AB7【分析與解】（一）6112DC7110125148AB1349，按照要求畫出球的路線圖，小球經(jīng)過14 次反彈后第一次到達C 點。二）（DFCF'AB2014 年第 25 屆亞太小學第一回合城隍喵E把長方形 ABCD 沿 BC 翻折

44、；小球從 A ® E ® F 與小球從 A ® E ® F ' 相同。當小球再一次回到長方形某個頂點的時候，與則原長方形翻折組成圖形為一個正方形；9, 7 = 9 ´ 7 = 63 ；用63 個長7 寬9 的長方形可以組成邊長為63 的正方形； 小球經(jīng)歷的碰撞次數(shù)與小球穿過翻折面的次數(shù)相同；正方形的對角線穿過(63 ¸ 7 - 1) + (63 ¸ 9 - 1) = 14 個翻折面；故當小球再一次回到長方形某個頂點的時候，它經(jīng)歷了14 次碰撞。【第 29 題】個英文字母 A ， B ， C ， D ， E ， X ，

45、 Y ， Z ，任意選取5 個字母（字母重復）組成一個“詞”，將所有可能的“詞”按“辭典順序”（即英漢辭典中英語詞匯排列的順序）排列，得到一個“詞表”：AAAAA ， AAAAB ， AAAAZ ， AAABA ， AAABB ， ZZZZY ， ZZZZZ 。試求位于“詞” CZYEB 與“詞” XCEDA 之間（這兩個詞除外）的“詞”的個數(shù)。【分析與解】數(shù)論，進制與位置。8 個英文字母 A ， B ， C ， D ， E ， X ， Y ， Z 分別對應數(shù)字0 、1 、 2、 4 、5 、6 、7 ；那么 AAAAA ， AAAAB ， AAAAZ ， AAABA ， AAABB ， ZZ

46、ZZY ， ZZZZZ 的排列順序與五位八進制數(shù)00000 ， 00001 ， 00007 ， 00010 ， 00011 ， 77776 ， 77777 的排列順序相同； 故位于“詞” CZYEB 與“詞” XCEDA 之間（這兩個詞除外）的“詞”的個數(shù)與位于五位八進制數(shù)27641與52430 之間（這兩個數(shù)除外）的五位八進制數(shù)的個數(shù)。(27641)()= 2 ´ 8 + 7 ´ 8 + 6 ´ 8 + 4 ´ 8 + 1´ 8 = 2 ´ 4096 + 7 ´ 512 + 6 ´ 64 + 4 ´ 8 + 1´1 = 1