1、 高考數學母題規劃,助你考入清華北大！楊培明(電話數學叢書,給您一個智慧的人生！高考數學母題 母題(17-19):橢圓與雙曲線的基本圖(437) 1129 橢圓與雙曲線的基本圖 母題(18-19):在雙曲線(a,b>0)中,左、右焦點分別為F1、F2,若點A、B在雙曲線的右支上,=,且AB的傾斜角為,則:cos=;|AF2|=,|BF2|=;=.解析:如圖,設雙曲線的右準線為l1,分別A、B過點作直線l的垂線垂足分別為、點,作BHA于H點,設|=m由=|AF2|=m,由雙曲線的第二定義知|A|=|AF2|=,|B|=|BF2|=|AH|=|A|-|B|=,|AB

2、|=|AF2|+|BF2|=(+1)m,由AF2x=BAH=cos=;又由=cos(其中d是點F2到右準線l的距離=)|AF2|-=|AF2|cos|AF2|=,|BF2|=sin.點評:同理可得:在橢圓(a>b>0)中,左、右焦點分別為F1、F2,若點A、B在橢圓上,且直線AB的傾斜角為,則:cos=;|AF1|=,|AF2|=;=.以上結論簡單優美,高考重復多次以不同形式進行考查,該題是高考的典型母題. 子題(1):(2010年全國高考試題)已知F是橢圓C的一個焦點,B是短軸的一個端點,線段BF的延長線交C于點D,且=2,則C的離心率為 .解析:設BFO=,在RtBFO中,co

3、s=e;又由cos=,=2cos=e=e=. 注:由雙曲線基本圖可產生有三類問題:已知,e,求;已知,e,求;已知,求e.本題是第三類問題. 子題(2):(2009年全國高考試題)己知雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點為F,過F且斜率為的直線交C于A、B兩點.若,則C的離心率為( ) (A) (B) (C) (D) 解析:由斜率為傾斜角=600,由cos=(由=4)e=.故選(A). 注: 由橢圓基本圖可產生有三類問題:已知,e,求;已知,e,求;已知,求e.本題是第三類問題.圓M與l的位置相離相切相交G是何種曲線 子題(3):(2000年第十一屆“希望杯”全國數學邀請賽(高二)

4、試題)圓錐曲線G的一個焦點是F,與之對應的準線是l,過F作直線與G交于A、B兩點,以AB為直徑作圓M,圓M與l的位置關系決定G是何種曲線之間的關系是:解析:在雙曲線中,如基本圖,則2|M|=|A|+|B|=|AF2|+|BF2|=|AB|<|AB|M|<|AB|,即圓心M到準線的距離<圓M的半徑圓M與l相交;同理可得:在橢圓中,圓M與l相離,在拋物線中,圓M與l相切. 1130 母題(17-19):橢圓與雙曲線的基本圖(437) 注:圓錐曲線C的焦點F對應的準線是l,以過F的焦點弦為直徑的圓M,則:圓M與l相交C是雙曲線;圓M與l相切C是拋物線;圓M與l相離C是橢圓. 子題系

5、列:1.(2000年第十一屆“希望杯”全國數學邀請賽(高二)試題)過橢圓的左焦點F作直線交橢圓于A、B兩點,若|AF|:|BF|=2:3,且直線與長軸的夾角為,則橢圓的離心率為 .2.(2002年第十三屆“希望杯”全國數學邀請賽(高二)試題)過橢圓的一個焦點F作與橢圓長軸的夾角為arccos的直線,交橢圓于A、B兩點.若|AF|:|BF|=13,那么橢圓的離心率等于 .3.(2014年全國高中數學聯賽四川預賽試題)過橢圓的左焦點F作傾斜角為450的直線l與該橢圓交于A、B 兩點若|BF|=2|AF|,則該橢圓的離心率是 .4.(2010年第二十一屆“希望杯”全國數學邀請賽(高二)試題)已知橢圓

6、C:=1(a>b>0),過左焦點F,并且斜率為1的直線交橢圓于A,B兩點,若,則橢圓的離心率等于 .5.(2010年全國高考試題)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,過右焦點F且斜率為k(k>0)的直線與C相交于A、B兩點.若=3,則k=( ) (A)1 (B) (C) (D)26.(2011年浙江高考試題)設F1,F2分別為橢圓+y2=1的焦點,點A,B在橢圓上,若=5.則點A的坐標是 .7.(2012年全國高中數學聯賽河北預賽試題)過橢圓+y2=1的右焦點F2作傾斜角為450弦AB,則|AB|為 .8.(1998年全國高中數學聯賽河南初賽試題)己知橢圓

7、+y2=1的兩個焦點為F1、F2,過右焦點F2作傾斜角為的弦AB,則ABF1的面積為 .9.(2007年重慶高考試題)過雙曲線x2-y2=4的右焦點F作傾斜角為1050的直線,交雙曲線于P、Q兩點,則|FP|FQ|的值為 .10.(2007年第十八屆“希望杯”全國數學邀請賽(高二)試題)設F是雙曲線C:=1(a>0,b>0)的右焦點,P是該雙曲線右支上異于頂點的一點,則以線段PF為直徑的圓與以該雙曲線的實軸為直徑的圓( )(A)外離 (B)外切 (C)相交 (D)外離或相交 子題詳解:1.解:由=cos=e=. 2.解:由=3cos=e=. 3.解:由=2cos=e=.4.解:由=cos=e=.5.解:由=3cos=sin=k=tan=.故選(B).6.解:延長AF1交橢圓于點D,由橢圓的對