1、第14講 二次函數的應用【知識梳理】（一）基本知識點1.實際問題中二次函數關系式的確定列二次函數解析式解決實際問題與列整式方程的思路和方法類似，不同之處是，表示量與量的關系的式子是含有兩個變量的等式，而求出二次函數的最大值和最小值是解決實際問題的關鍵。運用二次函數解決實際問題的一般步驟：（1）審清題意，找出其中的等量關系；（2）設出適當的未知數，分清自變量和函數；（3）列出二次函數解析式；（4）結合已知條件或點的坐標，求出解析式；（5）根據題意求解，檢驗所求得的解是否符號實際，即是否為所提問題的答案；（6）寫出答案。注意：（1）實際問題情境下二次函數中自變量的取值范圍不一定是全體實數，所對應的

2、圖象也可能是拋物線的一部分；（2）實際問題情境下的二次函數的最值不一定是整個拋物線的頂點的縱坐標。2.二次函數與最大利潤問題這類問題反映的是銷售額與單價、銷售量及利潤與每件利潤、銷售量間的關系，為解決這類實際問題，我們需要掌握幾個反映其關系的公式：（1）銷售額=銷售單價×銷售量；（2）利潤=銷量額-總成本=每件利潤×銷售量（3）每件利潤=銷售單價-成本單價。3.二次函數與最大(小)面積 (1)規則圖形面積由面積公式直接計算(如：圓、三角形、矩形、梯形)。（2）不規則圖形的面積多采用分割法求得，即把圖形分割成幾個規則圖形，分別求得面積再把它們加起來，然后聯系二次函數的頂點坐標

3、公式求解。注意：表示圖形面積的各量之間的關聯變化及其取值的實際意義。4.二次函數與拋物線形建筑問題拋物線在實際生活中有著廣泛的應用，如拱形橋洞的修建、涵洞和隧道的修建、公園里噴泉水柱運行的軌跡、投出的鉛球和籃球的運動軌跡、兩端固定自然下垂的繩子等。解決此類問題的關鍵是根據已知條件選擇合適的位置建立直角坐標系，結合問題中的數據求出函數解析式，再利用二次函數的性質解決問題。【考點解析】考點一：求利潤最大問題【例1】九年級（3）班數學興趣小組經過市場調查整理出某種商品在第x天（1x90，且x為整數）的售價與銷售量的相關信息如下已知商品的進價為30元/件，設該商品的售價為y（單位：元/件），每天的銷售

4、量為p（單位：件），每天的銷售利潤為w（單位：元）時間x（天）1306090每天銷售量p（件）1981408020（1）求出w與x的函數關系式；（2）問銷售該商品第幾天時，當天的銷售利潤最大？并求出最大利潤；（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天的銷售利潤不低于5600元？請直接寫出結果【考點】二次函數的應用；一元一次不等式的應用【分析】（1）當0x50時，設商品的售價y與時間x的函數關系式為y=kx+b，由點的坐標利用待定系數法即可求出此時y關于x的函數關系式，根據圖形可得出當50x90時，y=90再結合給定表格，設每天的銷售量p與時間x的函數關系式為p=mx+n，套入數據利用待定系數法即

5、可求出p關于x的函數關系式，根據銷售利潤=單件利潤×銷售數量即可得出w關于x的函數關系式；（2）根據w關于x的函數關系式，分段考慮其最值問題當0x50時，結合二次函數的性質即可求出在此范圍內w的最大值；當50x90時，根據一次函數的性質即可求出在此范圍內w的最大值，兩個最大值作比較即可得出結論；（3）令w5600，可得出關于x的一元二次不等式和一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范圍，由此即可得出結論【解答】解：（1）當0x50時，設商品的售價y與時間x的函數關系式為y=kx+b（k、b為常數且k0），y=kx+b經過點（0，40）、（50，90），解得：，售價y與時間x的函數關

6、系式為y=x+40；當50x90時，y=90售價y與時間x的函數關系式為y=由書記可知每天的銷售量p與時間x成一次函數關系，設每天的銷售量p與時間x的函數關系式為p=mx+n（m、n為常數，且m0），p=mx+n過點（60，80）、（30，140），解得：，p=2x+200（0x90，且x為整數），當0x50時，w=（y30）p=（x+4030）（2x+200）=2x2+180x+2000；當50x90時，w=（9030）（2x+200）=120x+12000綜上所示，每天的銷售利潤w與時間x的函數關系式是w=（2）當0x50時，w=2x2+180x+2000=2（x45）2+6050，a=2

7、0且0x50，當x=45時，w取最大值，最大值為6050元當50x90時，w=120x+12000，k=1200，w隨x增大而減小，當x=50時，w取最大值，最大值為6000元60506000，當x=45時，w最大，最大值為6050元即銷售第45天時，當天獲得的銷售利潤最大，最大利潤是6050元（3）當0x50時，令w=2x2+180x+20005600，即2x2+180x36000，解得：30x50，5030+1=21（天）；當50x90時，令w=120x+120005600，即120x+64000，解得：50x53，x為整數，50x53，5350=3（天）綜上可知：21+3=24（天），故

8、該商品在銷售過程中，共有24天每天的銷售利潤不低于5600元考點二：利用二次函數解決拋物線形建筑問題【例2】（2015遼寧省朝陽,第15題3分）一個足球被從地面向上踢出，它距地面的高度h（m）與足球被踢出后經過的時間t（s）之間具有函數關系h=at2+19.6t，已知足球被踢出后經過4s落地，則足球距地面的最大高度是19.6m考點：二次函數的應用分析：首先由題意得：t=4時，h=0，然后再代入函數關系h=at2+19.6t可得a的值，然后再利用函數解析式計算出h的最大值即可解答：解：由題意得：t=4時，h=0，因此0=16a+19.6×4，解得：a=4.9，函數關系為h=4.9t2+

9、19.6t，足球距地面的最大高度是：=19.6（m），故答案為：19.6點評：此題主要考查了二次函數的應用，關鍵是正確確定函數解析式，掌握函數函數圖象經過的點必能滿足解析式考點三：利用二次函數求跳水、投籃等實際問題【例3】（2017溫州）小明家的洗手盆上裝有一種抬啟式水龍頭（如圖1），完全開啟后，水流路線呈拋物線，把手端點A，出水口B和落水點C恰好在同一直線上，點A至出水管BD的距離為12cm，洗手盆及水龍頭的相關數據如圖2所示，現用高10.2cm的圓柱型水杯去接水，若水流所在拋物線經過點D和杯子上底面中心E，則點E到洗手盆內側的距離EH為2482cm【考點】HE：二次函數的應用【專題】153

10、：代數幾何綜合題【分析】先建立直角坐標系，過A作AGOC于G，交BD于Q，過M作MPAG于P，根據ABQACG，求得C（20，0），再根據水流所在拋物線經過點D（0，24）和B（12，24），可設拋物線為y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入拋物線，可得拋物線為y=320x2+95x+24，最后根據點E的縱坐標為10.2，得出點E的橫坐標為6+82，據此可得點E到洗手盆內側的距離【解答】解：如圖所示，建立直角坐標系，過A作AGOC于G，交BD于Q，過M作MPAG于P，由題可得，AQ=12，PQ=MD=6，故AP=6，AG=36，RtAPM中，MP=8，故DQ=8=OG，

11、BQ=128=4，由BQCG可得，ABQACG，BQCG=AQAG，即4CG=1236，CG=12，OC=12+8=20，C（20，0），又水流所在拋物線經過點D（0，24）和B（12，24），可設拋物線為y=ax2+bx+24，把C（20，0），B（12，24）代入拋物線，可得&24=144a+12b+24&0=400a+20b+24，解得&a=-320&b=95，拋物線為y=320x2+95x+24，又點E的縱坐標為10.2，令y=10.2，則10.2=320x2+95x+24，解得x1=6+82，x2=682（舍去），點E的橫坐標為6+82，又ON=30，

12、EH=30（6+82）=2482故答案為：2482【點評】本題以水龍頭接水為載體，考查了二次函數的應用以及相似三角形的應用，在運用數學知識解決問題過程中，關注核心內容，經歷測量、運算、建模等數學實踐活動為主線的問題探究過程，突出考查數學的應用意識和解決問題的能力，蘊含數學建模，引導學生關注生活，利用數學方法解決實際問題考點四：利用二次函數求最大面積【例4】【中考熱點】（2017溫州）如圖，過拋物線y=14x22x上一點A作x軸的平行線，交拋物線于另一點B，交y軸于點C，已知點A的橫坐標為2（1）求拋物線的對稱軸和點B的坐標；（2）在AB上任取一點P，連結OP，作點C關于直線OP的對稱點D；連結

13、BD，求BD的最小值；當點D落在拋物線的對稱軸上，且在x軸上方時，求直線PD的函數表達式【考點】HA：拋物線與x軸的交點；H8：待定系數法求二次函數解析式【分析】（1）思想確定點A的坐標，利用對稱軸公式求出對稱軸，再根據對稱性可得點B坐標；（2）由題意點D在以O為圓心OC為半徑的圓上，推出當O、D、B共線時，BD的最小值=OBOD；當點D在對稱軸上時，在RtOD=OC=5，OE=4，可得DE=OD2-OE2=52-42=3，求出P、D的坐標即可解決問題；【解答】解：（1）由題意A（2，5），對稱軸x=-22×14=4，A、B關于對稱軸對稱，B（10，5）（2）如圖1中，由題意點D在以

14、O為圓心OC為半徑的圓上，當O、D、B共線時，BD的最小值=OBOD=52+1025=555如圖2中， 圖2當點D在對稱軸上時，在RtODE中，OD=OC=5，OE=4，DE=OD2-OE2=52-42=3，點D的坐標為（4，3）設PC=PD=x，在RtPDK中，x2=（4x）2+22，x=52，P（52，5），直線PD的解析式為y=43x+253【點評】本題考查拋物線與X軸的交點、待定系數法、最短問題、勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握二次函數的性質，學會利用輔助圓解決最短問題，屬于中考常考題型【達標檢測】1. 某公司計劃從甲、乙兩種產品中選擇一種生產并銷售，每年產銷x件已知產銷兩種產品的

15、有關信息如下表：產品每件售價（萬元）每件成本（萬元）每年其他費用（萬元）每年最大產銷量（件）甲6a20200乙2010400.05x280其中a為常數，且3a5（1） 若產銷甲、 乙兩種產品的年利潤分別為y1萬元、y2萬元，直接寫出y1、y2與x的函數關系式；（2）分別求出產銷兩種產品的最大年利潤；（3）為獲得最大年利潤，該公司應該選擇產銷哪種產品？請說明理由【考點】二次函數的應用，一次函數的應用【答案】 （1）y1=(6-a)x-20（0x200），y2=-0.05x²+10x-40（0x80）；（2） 產銷甲種產品的最大年利潤為(1180-200a)萬元，產銷乙種產品的最大年利潤

16、為440萬元；（3）當3a3.7時，選擇甲產品；當a=3.7時，選擇甲乙產品；當3.7a5時，選擇乙產品【解析】解：（1） y1=(6-a)x-20（0x200），y2=-0.05x²+10x-40（0x80）；（2）甲產品：3a5，6-a0，y1隨x的增大而增大當x200時，y1max1180200a（3a5）乙產品：y2=-0.05x²+10x-40（0x80）當0x80時，y2隨x的增大而增大當x80時，y2max440（萬元）產銷甲種產品的最大年利潤為(1180-200a)萬元，產銷乙種產品的最大年利潤為440萬元；（3）1180200440，解得3a3.7時，此時

17、選擇甲產品；1180200440，解得a=3.7時，此時選擇甲乙產品；1180200440，解得3.7a5時，此時選擇乙產品當3a3.7時，生產甲產品的利潤高；當a=3.7時，生產甲乙兩種產品的利潤相同；當3.7a5時，上產乙產品的利潤高2. 某片果園有果樹80棵，現準備多種一些果樹提高果園產量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每棵樹所受光照就會減少，單棵樹的產量隨之降低若該果園每棵果樹產果y（千克），增種果樹x（棵），它們之間的函數關系如圖所示（1）求y與x之間的函數關系式；（2）在投入成本最低的情況下，增種果樹多少棵時，果園可以收獲果實6750千克？（3）當增種果樹多少棵時，果園的總產量

18、w（千克）最大？最大產量是多少？【考點】二次函數的應用【分析】（1）函數的表達式為y=kx+b，把點（12，74），（28，66）代入解方程組即可（2）列出方程解方程組，再根據實際意義確定x的值（3）構建二次函數，利用二次函數性質解決問題【解答】解：（1）設函數的表達式為y=kx+b，該一次函數過點（12，74），（28，66），得，解得，該函數的表達式為y=0.5x+80，（2）根據題意，得，（0.5x+80）（80+x）=6750，解得，x1=10，x2=70投入成本最低x2=70不滿足題意，舍去增種果樹10棵時，果園可以收獲果實6750千克（3）根據題意，得w=（0.5x+80）（80+

19、x） =0.5 x2+40 x+6400=0.5（x40）2+7200a=0.50，則拋物線開口向下，函數有最大值當x=40時，w最大值為7200千克當增種果樹40棵時果園的最大產量是7200千克3. （2016·湖北黃石·8分）科技館是少年兒童節假日游玩的樂園如圖所示，圖中點的橫坐標x表示科技館從8：30開門后經過的時間（分鐘），縱坐標y表示到達科技館的總人數圖中曲線對應的函數解析式為y=，10：00之后來的游客較少可忽略不計（1）請寫出圖中曲線對應的函數解析式；（2）為保證科技館內游客的游玩質量，館內人數不超過684人，后來的人在館外休息區等待從10：30開始到12：0

20、0館內陸續有人離館，平均每分鐘離館4人，直到館內人數減少到624人時，館外等待的游客可全部進入請問館外游客最多等待多少分鐘？【分析】（1）構建待定系數法即可解決問題（2）先求出館內人數等于684人時的時間，再求出直到館內人數減少到624人時的時間，即可解決問題【解答】解（1）由圖象可知，300=a×302，解得a=，n=700，b×（3090）2+700=300，解得b=，y=，（2）由題意（x90）2+700=684，解得x=78，=15，15+30+（9078）=57分鐘所以，館外游客最多等待57分鐘【點評】本題考查二次函數的應用、一元二次方程等知識，解題的關鍵是熟練掌

21、握待定系數法，學會用方程的思想思考問題，屬于中考常考題型4. 如圖，拋物線y=a（x1）（x3）與x軸交于A，B兩點，與y軸的正半軸交于點C，其頂點為D（1）寫出C，D兩點的坐標（用含a的式子表示）；（2）設SBCD：SABD=k，求k的值；（3）當BCD是直角三角形時，求對應拋物線的解析式【考點】HF：二次函數綜合題【分析】（1）令x=0可求得C點坐標，化為頂點式可求得D點坐標；（2）令y=0可求得A、B的坐標，結合D點坐標可求得ABD的面積，設直線CD交x軸于點E，由C、D坐標，利用待定系數法可求得直線CD的解析式，則可求得E點坐標，從而可表示出BCD的面積，可求得k的值；（3）由B、C、

22、D的坐標，可表示出BC2、BD2和CD2，分CBD=90°和CDB=90°兩種情況，分別利用勾股定理可得到關于a的方程，可求得a的值，則可求得拋物線的解析式【解答】解：（1）在y=a（x1）（x3），令x=0可得y=3a，C（0，3a），y=a（x1）（x3）=a（x24x+3）=a（x2）2a，D（2，a）；（2）在y=a（x1）（x3）中，令y=0可解得x=1或x=3，A（1，0），B（3，0），AB=31=2，SABD=×2×a=a，如圖，設直線CD交x軸于點E，設直線CD解析式為y=kx+b，把C、D的坐標代入可得，解得，直線CD解析式為y=2a

23、x+3a，令y=0可解得x=，E（，0），BE=3=SBCD=SBEC+SBED=××（3a+a）=3a，SBCD：SABD=（3a）：a=3，k=3；（3）B（3，0），C（0，3a），D（2，a），BC2=32+（3a）2=9+9a2，CD2=22+（a3a）2=4+16a2，BD2=（32）2+a2=1+a2，BCDBCO90°，BCD為直角三角形時，只能有CBD=90°或CDB=90°兩種情況，當CBD=90°時，則有BC2+BD2=CD2，即9+9a2+1+a2=4+16a2，解得a=1（舍去）或a=1，此時拋物線解析式為y=x24x+3；當CDB=90°時，則有CD2+BD2=BC2，即4+16a2+1+a2=9+9a2，解得a=（舍去）或a=，此時拋物線解析式為y=x22x+；綜上可知當BCD是直角三角形時，拋物線的解析式為y=x24x+3或y=x22x+5. 如圖，直線y=x+分別與x軸、y軸交于B、C兩點，點A在x軸上，ACB=90°，拋物線y=ax2+bx+經過A，B兩點（1）求A、B兩點的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）點M是直線BC上方拋物線上的一點，過點M作M