1、2.3 逆矩陣2.4 矩陣分塊法定義定義1 由 m n個數 (1,2,;1,2, )ija im jnmn排成的行列的數表, 稱為 行 列的矩陣,簡稱 矩陣. 記作:mnm n111212122212nnmmmnaaaaaaaaa, ,A B C ijamnA()i jm nAa2.1 矩陣的基本概念2.1.1 矩陣的定義2.1.2 幾種特殊形式的矩陣 1.行矩陣與列矩陣 12( ,)nAaaa12maaAa2.同型矩陣與矩陣的相等兩個矩陣行數相等、列數也相等時,稱為同型矩陣.如果矩陣 與矩陣 是同型矩陣,且它們的對應元素相等,即()ijAa()ijBb(1,2,;1,2, )ijijab i

2、m jn那么就稱這兩個矩陣相等.記作 AB3.零矩陣元素都是零的矩陣稱為零矩陣.記作 m nOO注意:不同型的零矩陣是不同的.或4.方陣行數與列數都等于 的矩陣稱為 階矩陣或 階方陣nnn111212122212 nnnnnnnaaaaaaAAaaan階方陣()ijn nAa的元素 稱為主對角線元素1122,nnaaa5.上(下)三角矩陣 11121222000nnnnaaaaaAa11212212000nnnnaaaAaaa6.對角矩陣 2121di0000=0ag(,0,)nn 7.單位矩陣 100010001nEE2.2 矩陣的運算 2.2.1 矩陣的加法 111112121121212

3、222221122nnnnmmmmmnmnababababababABababab()i jm nAa()i jm nBb1.定義定義2 2.運算規律 , ()()ABBAABCABC3.負矩陣 ()ijAa()ijAa ()AAO 4.矩陣的減法 ()ABAB 例例1123153A013211BAOA123013130153211162AB013123116211153344BA2.2.2 數與矩陣的乘法1.定義定義3 數 與矩陣 的乘積記作 或 規定為AAA111212122212nnmmmnAAaaaaaaaaaA注：與 為同型矩陣.A0AO2.運算規律 ()()AA ()AAA()AB

4、AB例例2 135210A113001B設 求 2AB解解: 135210A 2226002B1322112526012100212AB 2.2.3 矩陣與矩陣的乘法 1. 定義定義4 ()i jm sAa()i js nBb()i jm nABCc1 1221si jijijissjikkjkca ba ba ba b(1,2,;1,2, )im jn其中 注意:(1)(2)只有當第一個矩陣的列數等于第二個矩陣的行數時,兩個矩陣才能相乘 AB的元素 就是第一個矩陣i jcA二個矩陣 的第 列的對應元素的乘積和.的第 行與第iBj例例3 1011101,11212101010AB設 求 AB解

5、解: 記 ABC則 2 33 42 4ABC1112131421222324ccccCcccc設 111213141 1 0 1 1 ( 1)01 00 1 1 001 1 0 2 1 ( 1)01 1 0 ( 1) 1 01cccc 則:212223242 1 1 1 0 ( 1)32 0 1 1 0 012 1 1 20 ( 1)42 1 1 ( 1)0 01cccc 00013141AB注：（1）矩陣的乘法一般不滿足交換律,即一般來說,（2）進行矩陣乘法時,一定要注意乘的次序,不能隨意改變 ABBA例例4 設1(114),12AB 求 與 .ABBA解解: 1 33 11 13 11 3

6、3 31(114) 1(1 1( 1) 14 2)(8),211141 (114)114.2228A BBA 例例5 設2 4 2 4, 1236AB求 與 .ABBA解解: 2 4 2 41632 1236 8 16AB 2 42 40036 1200BA注意: ABO,AOBO或(),A XYO AXAYXYABBA注：對于兩個 階矩陣n,A B,若 ABBA則稱方陣 AB與是可以交換的.12naaAa如: 12nbbBb1 122nnaba bABBAa b2. 運算規律(假定運算都是可行的) :()()AB CA BC()()()ABA BAB,(其中為數) ()A BCABAC(左分

7、配律) ()BC ABACA(右分配律) ,m nn sm ss mm ns nAOOOAOmm nm nnm nE AAEAnnnnnE AA EA3. 矩陣的冪 nA12,AA AAA1 kkkAAAAAAA 個為正整數. k矩陣的冪滿足下列運算規律: ,()klk lklklA AAAA注: 一般來說 ()kkkABA B22222()2,()()ABAABBAB ABAB例例6 10,1AkA2101010,1121A3 1010 1021131A 101kAk12n 例例7 1122kkkkknn 解：解： 解：解：則則 kA求求 .，求，求 .例例8 線性方程組線性方程組 11 1

8、1221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb111212122212()nnijm nmmmnm naaaaaaAaaaa若設 121(), jmnxxxx,x121()jmmbbbbb則其矩陣形式為： A xb2.2.4 矩陣的轉置1.定義定義6 111212122212()nnijm nmmmnm naaaaaaAaaaa112111222212()nnTjin mmmnmn maaaaaaAaaaa設稱為矩陣A的轉置矩陣. 即把矩陣的行換成同序號的列得到的一個新矩陣. A2.運算規律(假定運算都是可行的): 2 412

9、037235A如 T4 217220335ATT()AATTT()ABABTT()AATTT()ABB Ay例例9 21112,13234ABTAABT211312AT21211631313231412AAT63127531434618AAB解：解： . . 3. 定義定義7 AnTAA設矩陣為階方陣,如果滿足即 ( ,1,2, )i jjiaai jn那么A稱為對稱矩陣如果滿足TAA 即 ( ,1,2, )i jjiaai jn 那么A稱為反對稱矩陣 注:(1)對稱矩陣的特點是:它的元素以主對角線為對稱軸對應相等 ；(2)反對稱矩陣的特點是:它的元素以主對角線為軸對應互為相反數,且主對角線元

10、素全為零.； 階方陣2.2.5 方陣的行列式nAAAdet A1. 定義定義8 由素的位置不變),稱為方陣的行列式.記作或.的元素所構成的行列式(每個元2. 方陣的行列式滿足的運算規律： TAAnAAABA BBA3. 奇異矩陣與非奇異矩陣 0A 0A 當時,稱為奇異矩陣;時,稱當 為非奇異矩陣 AA. . 2.2.6 方陣A的伴隨矩陣1.定義定義9 nAAi jAn由階方陣的行列式的各個元素的代數所構成的階方陣 112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA稱為A的伴隨矩陣,簡稱伴隨陣. 余子式例例10 abAcd1121,Ad Ab 1221,Ac Aa dbAca 例例11 1

11、23221343B112131122232132333264365222BBBBBBBBB 2 6436 5 2 22B ，求，求 .解：解： ，求，求 .解：解： AAB2. 方陣的伴隨矩陣滿足的性質AAAAA AA EA1nAA(2n,正整數); 0A 0A若,則 2()nAAA (3n,正整數); 2.2.7 共軛矩陣1. 定義定義10 設 ()ijAa為復矩陣, ija表示 ija的共軛 (),ijAa A稱為 A的共軛矩陣. 2. 運算規律: ABAB AA ABA B復數,記2.3 逆矩陣 2.3.1 逆矩陣的定義及性質AnnBABBAEABA1. 定義定義11 設為階方陣,若存在

12、階方陣,使,則稱方陣可逆,稱為的逆矩陣. 注：注：AA(1)如果矩陣是可逆矩陣,那么的逆矩陣是惟一的, A1A的逆矩陣記作11AAA AE，即 ABBAE(2)滿足AB的與互為逆矩陣, 1AB即1BA. , 可逆,且A1 A2.3.2 方陣可逆的充分必要條件及的求法 A0A A定理定理1 若矩陣可逆,則,即為非奇異矩陣.0A A1*1AAAAA定理定理2 若,則矩陣,其中,為矩陣的伴隨矩陣. 由以上兩定理可知: A0A 矩陣可逆 是,即可逆矩陣就是非奇異矩陣; A1*1AAA*1AA A若可逆,則 A若可逆,則*AAEAAAA于是*A1*1()AAA可逆,且, . 時, 矩陣,A BABEBA

13、E,A B11,BAAB推論推論 若方陣滿足(或),則都可逆,且 例例12 abAcdAadbc解： 當 0adbcA0adbcA可逆,時, 矩陣不可逆. 當 dbAca因為 , 從而, 當 0adbc1 1 dbAcaadbc. 1 A,求求 . 123221343B例例13 112131122232132333264365222BBBBBBBBB 20B 2 6436 5 2 22B 1 1 32 2 6413536 53 222 2 22 1 11B ,求求 . B解：解： ，則，則 . 例例14 2153A123221343B123301C求矩陣 X,使 . AXBC解：解： 若 存在

14、，則11,AB1111A AXBBA CB11XA CB1A ,2B 1 315 2A1 2 64136 52 2 22B， ， 111 233010 6 8220 14111101 2 64 31136 55 22 2 22 2 6433 6 402822110736 5 2 222014XA CB則：則： . 例例15 nA232AAEO,3A AE設階矩陣滿足，證明： 都可逆，并求它們的逆矩陣. 證明：證明： 由 232AAEO，得 (3 )2A AEE，于是 由 1(3 )2AAEE,知A可逆，且 11(3 )2AAE由 ，知可逆,且 1(3 )2AAEE3AE11(3 )2AEA.

15、， 2.3.3 可逆矩陣的性質 A1A若可逆,則也可逆,且 1111(),AA AAA若可逆,則也可逆,且 A若可逆,數 則也可逆,且 若為同階可逆矩陣,則也可逆,且 TAT11 T()()AA0A111()AA,A BAB111()ABB AA若可逆,則也可逆,且 nA11()()nnAA. ； A0452EAAEA31)3( EA020)8)(3(452EEAEAEAAEEAEA20)8)(3(EEAEA)8)(201)(3(EA3)8(201)3(1EAEA例16 設方陣滿足，證明：可逆，并求 .證明：由,所以，可逆，且2.4 矩陣分塊法 AA1. 定義用若干條縱線和橫線分成許多小矩陣,

16、的子塊,以子塊為元素的形式上的將矩陣2.4.2 分塊矩陣的運算 1. 分塊矩陣的加法與減法 設矩陣,A B為同型矩陣,采用相同的分塊法,有 1111rssrAAAAA1111rssrBBBBB11111111rrsssrsrABABABABAB每一個小矩陣稱為矩陣稱為分塊矩陣. 2. 數與分塊矩陣的乘法 1111rssrAAAAA1111rssrAAAAA3. 分塊矩陣的乘法1111tsstAAAAA1111rttrBBBBB,m ll nAB12,iiitAAA的列數分別等于 12,jjt jBBB的行數,則 1111rssrCCABCC1(1,2, ;1,2, )ti jikk jkCA Bis jr4. 分塊矩陣