1、精品文檔第三章 空間向量與立體幾何1. 空間向量的概念 ：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1）向量一般用有向線段表示 同向等長的有向線段表示同一或相等的向量。（2）空間的兩個向量可用同一平面內的兩條有向線段來表示。2. 空間向量的運算。定義：與平面向量運算一樣， 空間向量的加法、減法與數乘運算如下（如圖）。uuuruuur uuur r vuuuruuuruuurrr uuurrOBOA AB a b ;BA OA OBab ; OPa(R)運算律：加法交換律： abba加法結合律： ( a b) c a (bc)數乘分配律： ( a b)ab3. 共線向量。（1）如果表示空

2、間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量，a 平行于 b ，記作 a / b 。當我們說向量 a 、 b 共線（或 a / b ）時，表示 a 、 b 的有向線段所在的直線可能是同一直線，也可能是平行直線。（2）共線向量定理：空間任意兩個向量a 、 b （ b 0 ）， a / b 存在實數 ，使 a b 。4. 共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內的向量叫做共面向量。說明：空間任意的兩向量都是共面的。（2）共面向量定理：如果兩個向量r rrr ra, b 不共線， p與向量 a, b 共面的條件rrr是存在實數 x, y 使 pxayb 。5. 空

3、間向量基本定理： 如果三個向量r rrr，a, b, c 不共面，那么對空間任一向量 p存在一個唯一的有序實數組x, y, z，使rrrrpxaybzc 。r r rr r rr rr若三向量 ab,c不共面，我們把 a,b , c 叫做空間的一個基底， a,b ,c 叫做基向量，空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底。推論：設 O, A, B, C 是不共面的四點，則對空間任一點P ，都存在唯一的三uuuruuuruuuruuur個有序實數 x, y, z，使 OPxOAyOBzOC 。.精品文檔6. 空間兩向量的夾角： 已知兩個非零向量、 ，在空間任取一點 O，作，（兩個向量的起

4、點一定要相同），則叫做向量與的夾角，記作，且。7. 空間向量的直角坐標系：（1）空間直角坐標系中的坐標：在空間直角坐標系Oxyz 中，對空間任一點A ，存在唯一的有序實數組( x, y, z) ，使 OAxiyizk ，有序實數組 ( x, y, z) 叫作向量 A 在空間直角坐標系O xyz 中的坐標，記作 A(x, y, z) ， x 叫橫坐標， y 叫縱坐標， z 叫豎坐標。(2) 右手直角坐標系：右手握住 z 軸，當右手的四指從正向 x 軸以 90°角度轉向正向 y 軸時，大拇指的指向就是 z 軸的正向；（3）若空間的一個基底的三個基向量互相垂直， 且長為 1，這個基底叫單位

5、正 r r r交基底，用 i , j , k 表示。.精品文檔（4）空間向量的直角坐標運算律：rr若 a (a1, a2 , a3 ) ， b(b1,b2 ,b3 ) ，則r ra b (a1b1 , a2b2 , a3b3 ) ，r rra b (a1b1, a2b2 , a3b3 ) ， a ( a1, a2 , a3 )(R) ，r ra b a1b1a2b2 a3b3 ，r rb3 (R) 或 a1a2a3a / b a1b1 , a2b2 , a3r rb1b2b3a3b3a b a1b1 a2b20 。uuur若 A( x1, y1 , z1 ) ， B( x2 , y2, z2

6、) ，則 AB (x2x1 , y2y1, z2 z1) 。一個向量在直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標。rr（5）模長公式：若 a(a1 , a2, a3 ) ， b (b1 ,b2 , b3 ) ，rr ra22a32rr r則 | a |a aa12， |b |b brrr rra br（6）夾角公式： cos a b2| a | |b |a1（7）兩點間的距離公式：若A( x1 , y1, z1 ) ，b12b22b3 2a1b1 a2b2a3b3。22222a2 a3 b1 b2 b3 B(x2 , y2, z2 ) ，uuuruuur 2x1 )

7、2y1) 2(z2 z1) 2 ，則|AB|AB( x2( y2或 d A, B( x2x1) 2( y2y1 )2(z2z1 )2（ 8 ） 空 間 線 段 P1( x1 , y1, z1 ), P2 ( x2 , y2 , z2 ) 的 中 點 M (x, y, z) 的 坐 標 ：x1x2 , y1y2 , z1z2222（9）球面方程： x2y 2z2R28. 空間向量的數量積。（1）空間向量的夾角及其表示：已知兩非零向量r ra,b ，在空間任取一點 O ，uuurr uuurrAOB 叫做向量rrr r作 OAa,OBb ，則a 與 b 的夾角，記作a, b ；且規定rr，顯然有r

8、 rr r；若r r，則稱rr0 a,ba, bb ,aa,ba 與 b 互相垂直，rr2記作： ab 。uuurruuurr（2）向量的模：設 OAa ，則有向線段 OA 的長度叫做向量 a 的長度或模，r記作： | a |。r rrrr rr r（3）向量的數量積：已知向量 a,b ，則 | a | b | cos a, b叫做 a, b 的數量積，記作r rr rr rr r。a b，即 a b| a| |b | cos a,b（4）空間向量數量積的性質：.r rrrrrrrr a e| a | cosa, e。 aba b（5）空間向量數量積運算律：rrrrrr ( a) b( a b

9、 ) a ( b ) 。r rrr a bb a （交換律）。r rrrrrr a (bc )aba c （分配律）。精品文檔r 2r r2， a(a)20 。 | a |a a = (a)9、空間向量在立體幾何證明中的應用：AB (a1,a2 , a3 ), CD (b1 , b2 , b3 )uuur uuur（ 1）證明 AB / CD ，即證明 AB / CD ，也就是證明 a1b1 , a2b2 , a3b3 或a1a2a3b1b2b3uuur uuur0，也就是證明 a1b1a3b3 0（ 2）證明 ABCD ，即證明 AB CDa2b2uuuruuur（ 3）證明 AB / （平

10、面）（或在面內），即證明 AB 垂直于平面的法向量或證明AB與平面內的基底共面；uuur（ 4）證明 ABuuur，即證明 AB 平行于平面的法向量或證明AB 垂直于平面內的兩條相交的直線所對應的向量；（ 5）證明兩平面 / （或兩面重合），即證明兩平面的法向量平行或一個面的法向量垂直于另一個平面；（ 6）證明兩平面 ，即證明兩平面的法向量垂直或一個面的法向量在另一個面內。10. 運用向量的坐標運算解題的步驟：（ 1）建坐標系，求相關點的坐標（ 2）求相關向量的坐標（ 3）運用向量運算解題11. 用向量方法來解決立體幾何中的空間角的問題：（ 1） 兩條直線的夾角：r r設直線 l , m 的方

11、向向量分別為 a, b ，r r兩直線 l , m 所成的角為 ( 0 ), cosa br r = cos a,b2a b.精品文檔（2） 直線與平面的夾角：設直線 l 的方向向量分別為a ，平面直線 l 與平面所成的角為( 0 2（3） 二面角：0方向向量法：法向量法：的法向量分別為u ，r r a u), sinrr = cos a,u；a u法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角.精品文檔12.利用“方向向量”與“法向量”來解決距離問題.（ 1）點與直線的距離：dAP sin(先求 cosAP, a)（ ）點到平面的距離： duuurr| P

12、An |2=uur.| n |r如圖 A, 空間一點 P 到平面的距離為 d, 已知平面的一個法向量為 n , 且uuurrAP 與 n 不共線 ,于連結分析: 過P作PO,OA.Oduuur|=uuurAPO .PO| PA | cos則 =|ruuurruuur PO , n, PO n .uuurr cosAPO=|cos PA ,n |.ruuuruuur ruuurd|cos| =| PAn |PAPA, n. =|uur| n |n ABdCDn（ 3）異面直線間的距離：已知 a,b 是異面直線 ,CD 為 a,b 的公垂線 , n是直線 CD 的方向向量， A，B 分別在直線 a

13、,b 上n ABdCDn.精品文檔（ 4）其它距離問題： 平行線的距離 ( 轉化為點到直線的距離） 直線與平面的距離（轉化為點到平面的距離） 平面與平面的距離（轉化為點到平面的距離）13. 補充：（1） 三余弦定理設 AC是內的任一條直線， 且 BCAC，垂足為 C，又設 AO與 AB所成的角為1 ， AB 與 AC所成的角為 2 ，AO與 AC所成的角為則 coscos 1 cos 2 .（2）三射線定理若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是1 ,2,與 二 面 角 的 棱 所 成 的 角 是 ， 則 有sin 2sin2sin 21sin 22 2sin1 sin2

14、cos;|12 |180o(1 2) ( 當且僅當90o 時等號成立 ).（3）點 Q 到直線 l 距離h1(| a |b |) 2(ab)2uuuruuur| a |( 點 P 在直線 l 上，直線 l 的方向向量 a= PA ，向量b= PQ ).（4）異面直線上兩點距離公式dh2m2n2 m2mncos .dh2m 2n22mn cosuuur uuurEA', AF.dh2m2n22mncos（EAA'F ）.( 兩條異面直線 a、b 所成的角為， 其公垂線段 AA ' 的長度為 h. 在直線 a、b 上分別取兩點 E、F， A' Em , AFn ,

15、EFd ).（5）三個向量和的平方公式r rr rrrrr 2r 2r 2r r(a bc) 2abc2a b2b c2c ar rrrr rr 2r 2r 2rrr rrrabc2 |a | | b | cos a,b2 |b | c | cosb,c2 | c | a | cosc, a（ 6 ）長 度為 l 的線 段在三 條兩兩互 相垂直 的直線 上的射 影長分別 為l1、 l2、 l3 ，夾角分別為1、2、3,則有l 2l12l 22l 32cos21cos22 cos231sin21sin 22sin232.（立體幾何中長方體對角線長的公式是其特例）.（7）面積射影定理S'Scos.( 平面多邊形及其射影的面積分別是S 、S' ，它們所在平面所成銳二面角的為 ).精品文檔（8）斜棱柱的直截面已知斜棱柱的側棱長是 l , 側面積和體積分別是 S斜棱柱側 和 V斜棱柱 , 它的直截面的周長和面積分別是 c1 和 S1 , 則 S斜棱柱側c1l . V斜棱柱S1l .（ 9）歐拉定理 ( 歐拉公式 )V F E 2( 簡單多面體的頂點數 V、棱數 E 和面數 F). E =各面多邊形邊數和的一半 . 特別地 , 若每