1、第12講 和差角公式和二倍角公式滿分晉級 三角函數6級正弦型函數的圖象性質及綜合應用三角函數8級三角恒等變換三大問題三角函數7級和差角公式和二倍角公式12.1和角公式與差角公式知識點睛1兩角和與差的余弦公式<教師備案> 推導：證法一：如圖，在直角坐標系內作單位圓，并作出角，與，使角的始邊為，交于點，終邊交于點；角的始邊為，終邊交于點，角的始邊為，終邊交于點則，由及兩點間的距離公式，得展開并整理，得于是證法二：以坐標原點為中心作單位圓，以為始邊作角與，它們終邊分別與單位圓相交于點，則，因此存在，使或成立因為所以于是2兩角和與差的正弦公式<教師備案>推導：3兩角和與差的正切

2、公式<教師備案>推導：把后面一個分式的分子、分母分別除以得把公式中的換為，得<教師備案> 練習1和練習2是和差角公式直接應用的配套練習，如果學校已經學習過可以不做，可能有些學校的進度較慢，有些學生沒有學習過，供老師們選擇使用練習1：已知，是第三象限角，求，的值【解析】 由，得，；由，是第三象限角得，練習2：若，是第三象限的角，則（ ）A B C D【解析】 B因為 ，是第三象限的角，所以，則，經典精講考點1：公式的逆用<教師備案> 公式的正用就象上面的練習1和練習2，直接使用公式就可以算出來而公式的逆用是從右到左的，鋪墊是兩個小例子，讓同學熟悉這樣的形式，在

3、講完鋪墊后老師就可以講例1與例2了【鋪墊】（2019福建理1）計算的結果等于（ ）ABCD 可以化為（ ），A B C D【解析】 A B<教師備案> 例1里都是正余弦公式逆用的題【例1】 的值為（ ）ABCD的結果等于（ ）ABCD【解析】 A D；<教師備案> 例2是兩角和與差的正切公式的變形和逆用，常見的變形有：老師在說完這種變形之后，就可以講例2了【例2】 求值：_ ，所以 則 而所以原式值為原式考點2：公式的靈活運用<教師備案> 與相加減可得含與的式子，相比即得；與相加減可得含與的式子，相比即得在具體講解的時候，老師可以講例3第一問，讓學生做第二問

4、【例3】 已知，則的值為_已知，則的值為_ 依題意有，所以依題意有，所以，<教師備案> 下面的題目是一種常見的變形，尋找兩個式子之間的聯系處理的方式一般是兩式平方再相加會得出我們想要的形式老師可以拿下題來講解，再讓學生做例4已知，則= 即，得到，從而【例4】 已知，則下列結論正確的是（ ）A B C D已知，則的值為 已知，則的值為 【解析】 D；依題意有，化簡整理得：，所以所以有，即，所以考點3：公式在三角形中的應用<教師備案> 1在隱含條件：，即，常用等式：，2在，與是等價的證明： 若，則，因為，所以，根據正弦函數的單調性，易得（均為銳角）或（），所以若，則， 若，

5、則，因為，所以，當時，則，則，當為銳角時，則或，因為，所以，若，則，與矛盾，所以，所以備注：學完正弦定理這個結論能更快得到<教師備案> 因為三角形的內角都在上，所以它們的正弦值都為正，但已知內角的正弦值求余弦值就需要對角度大小進行判斷，以確定余弦值是正是負，有時需要用到上面的結論去估計角的大小范圍，如下面例5【例5】 在中，則的值為_已知在中，則的值為（ ）A或 B或 C D、為的內角， D在中，因為，所以又，所以，所以，所以為銳角，故從而<教師備案>例6主要是判斷三角形的形狀，我們現在判斷三角形形狀只能根據內角和為等基本條件，能解決的問題也有限，更多的判斷三角形形狀會

6、在我們學完解三角形后遇到【例6】 在中，若，則這個三角形是（ ）等腰直角三角形 等腰三角形 銳角三角形 鈍角三角形在中，已知，則是（ ）A銳角三角形 B鈍角三角形 C直角三角形D等腰非直角三角形【解析】 C；由知，且（如果同負會出現兩個鈍角，不可能），故均為銳角，即，即，為銳角，從而三角形的三個內角都是銳角，所以為銳角三角形 C；將展開整理得：，為直角三角形【備選】已知為非直角三角形，求證：【解析】 證明：因為，所以所以即，所以12.2二倍角公式知識點睛1二倍角的正弦、余弦、正切2 公式的逆向變換及常用變形備注：由公式的變形，還可以得到，由這組公式我們可以由的三角函數值，結合角的范圍得到，這組

7、公式又被稱為半角公式這些公式現在課本不再單獨提出，直接作為二倍角公式的變形使用，它的應用還是挺廣泛的<教師備案> 設置挑戰五分鐘的目的是為了讓學生盡快熟悉公式的形式和變形式，通過一些簡單的練習來加強公式的記憶而例7是公式的變形使用，在做完挑戰五分鐘后，老師就可以講解例7了【挑戰5分鐘】求下列各三角函數的值：，求；，求；，求；，并且，求經典精講考點4：二倍角公式及其變形的應用【例7】 若，則_若角的終邊經過點，則的值為 （2019山東理7）若，則（ ），于是 D；<教師備案> 靈活應用可以解決一些連乘問題，這需要連乘的對象是余弦，從而可以一直變形下去，還需要角度成比例關系（即等比數列）才可以遞推，所以如果不是這個形式，需要通過誘導公式進行變形轉化【例8】 求值：；原式原式【備選】原式<教師備案> 例9是一類分數形式的化簡問題，需要將分子和分母朝有聯系的方向進行化簡，從而找到公因式等消去得到結果【例9】 _若，則的值為（）ABCD若，求的值 C 所以若，是第三象限的角，求的值因為，是第三象限的角，所以實戰演練 【演練1】若，是同一象限的角，且，則_【解析】 由知，、為第四象限角，從而， 【演練2】設，則的值為