1、題目 第八章圓錐曲線直線與圓錐曲線的位置關系高考要求 1掌握直線與圓錐曲線公共點問題、相交弦問題以及它們的綜合應用解決這些問題經常轉化為它們所對應的方程構成的方程組是否有解或解的個數問題2會運用“設而不求”解決相交弦長問題及中點弦問題3會利用圓錐曲線的焦半徑公式解決焦點弦的問題 掌握求焦半徑以及利用焦半徑解題的方法4會用弦長公式|AB|=|x2x1|求弦的長；5會利用“設點代點、設而不求”的方法求弦所在直線的方程（如中點弦、相交弦等）、弦的中點的軌跡等知識點歸納 1直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題：可以轉化為它們所對應的方程構成的方程組是否有解或解的個數問題，往往通過消元后最終轉化

2、為討論一元二次方程的解的問題或一元二次函數的最值問題，討論時特別要注意轉化的等價性，即解決直線與圓錐曲線的相交問題要用好化歸思想和等價轉化思想需要注意的是當直線平行于拋物線的對稱軸或雙曲線的漸近線時，直線與拋物線或雙曲線有且只有一個交點2涉及直線與圓錐曲線相交弦的問題：主要有這樣幾個方面：相交弦的長，有弦長公式|AB|=|x2x1|；弦所在直線的方程（如中點弦、相交弦等）、弦的中點的軌跡等，這可以利用“設點代點、設而不求”的方法（設交點坐標，將交點坐標代入曲線方程，并不具體求出坐標，而是利用坐標應滿足的關系直接導致問題的解決）3涉及到圓錐曲線焦點弦的問題：可以利用圓錐曲線的焦半徑公式（即圓錐曲

3、線的第二定義）4韋達定理的運用：由于二次曲線和二次方程的密切關系，在解決二次曲線問題時要充分重視韋達定理的運用5 弦長公式：若直線與圓錐曲線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為 ；若直線與圓錐曲線交于兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則弦長為 6 圓錐曲線的兩個重要參數：圓錐曲線的焦準距（焦點到準線的距離），焦參數（通徑長的一半）7平移坐標軸：使新坐標系的原點在原坐標系下的坐標是（h，k），若點P在原坐標系下的坐標是在新坐標系下的坐標是，則=，=題型講解 例1 已知直線l：y=tan（x+2）交橢圓x2+9y2=9于A、B兩點，若為l的傾斜角，且|AB|的長不小于短軸的長

4、，求的取值范圍分析：確定某一變量的取值范圍，應設法建立關于這一變量的不等式，題設中已經明確給定弦長2b，最后可歸結為計算弦長求解不等式的問題解：將l方程與橢圓方程聯立，消去y，得（1+9tan2）x2+36tan2·x+72tan29=0，|AB|=|x2x1|=·=由|AB|2，得tan2，tan的取值范圍是0，），）點評：對于弦長公式一定要能熟練掌握、靈活運用本題由于l的方程由tan給出，所以可以認定，否則涉及弦長計算時，還應討論=時的情況變式：若把本題條件|AB|的長不小于短軸的長去掉，改為求|AB|的長的取值范圍解： 設|AB|=y，由上面已得 |AB|=，即y=，

5、9ytan2+y=6tan2+6， （9y6）tan2+y6=0當y時，由0得y6當y=時，l與x軸垂直，故|AB|的范圍是，6例2 已知拋物線與直線求證：拋物線與直線相交；求當拋物線的頂點在直線的下方時，的取值范圍；當在的取值范圍內時，求拋物線截直線所得弦長的最小值分析：熟練掌握綜合運用判別式、不等式討論直線與圓錐曲線的位置關系、直線與曲線相交弦長等問題解：（1）由直線與拋物線總相交（2）其頂點為，且頂點在直線 的下方，即設直線與拋物線的交點為， 當點評：直線與圓錐曲線相交的問題經常轉化為它們所對應的方程構成的方程組是否有解的問題 運用“設而不求”求弦長例3 已知雙曲線和定點（I）過點可以做

6、幾條直線與雙曲線只有一個公共點；（II）雙曲線的弦中，以點為中點的弦是否存在？并說明理由分析：能夠綜合運用直線方程、雙曲線方程及對稱性等幾何性質來研究直線與雙曲線的位置關系解：（I）設過定點的直線的方程為：則，當時，即，解得或與雙曲線分別交于和當時，由得，即得切線切點為，另一切線為，切點為過點有4條直線與雙曲線只有一個公共點（II）設點為中點，則因為滿足雙曲線方程，所以 ，相減得 若弦存在，則必為，代入雙曲線方程得，方程的判別式，說明中點弦不存在 點評：要明確判斷直線與雙曲線僅有一個公共點的方法步驟；用“點差法”和“設而不求”的方法處理中點弦例4 在拋物線y2=4x上恒有兩點關于直線y=kx+

7、3對稱，求k的取值范圍分析：設B、C兩點關于直線y=kx+3對稱，易得直線BC：x=ky+m，由B、C兩點關于直線y=kx+3對稱可得m與k的關系式，而直線BC與拋物線有兩交點，0，即可求得k的范圍解法一：設B、C關于直線y=kx+3對稱，直線BC方程為x=ky+m，代入y24x，得y24ky4m=0，設B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中點M（x0，y0），則y02k，x02k2+m點M（x0，y0）在直線l上，2k=k（2k2m）+3m=又BC與拋物線交于不同兩點，16k216m0把m代入化簡得0，即0，解得1k0解法二：（點差法）設B（x1，y1）、C（x2，y2），BC中點M（x

8、0，y0）必在曲線內部且x1+x22 x0， y1+y22y0由 即BC中點M的坐標為必在曲線y2=4x內部 評述：對稱問題是高考的熱點之一，由對稱易得兩個關系式本題運用了“設而不求”，解決本題的關鍵是由B、C兩點在拋物線上得“0”例5 已知拋物線及定點是拋物線上的點，設直線與拋物線的另一個交點分別為，求證：當點在拋物線上變動時（只要存在且與是不同的兩點），直線恒過一定點，并求出定點的坐標分析：用點的坐標表示點的坐標，求出直線的方程，利用曲線過定點的解法求出定點坐標解： 設由三點共線，所以由三點共線，所以因為經過的直線方程為：整理得 將代入上式，并整理得：對任意恒成立，所以得到故所求的直線恒過

9、定點（1，2） 點評：必須熟練運用曲線系是否過定點的問題解法例6 已知橢圓的兩個焦點分別為，離心率（）求橢圓方程；（）一條不與坐標軸平行的直線l與橢圓交于不同的兩點M、N，且組段MN中點的橫坐標為，求直線l傾斜角的取值范圍分析：由焦點坐標可知, 由離心率可求解：（）設橢圓方程為由已知，由解得a=3，為所求（）解法一：設直線l的方程為y=kx+b(k0)解方程組將代入并化簡，得將代入化簡后，得解得 解法二：（點差法）設的中點為在橢圓內，且直線l不與坐標軸平行因此，兩式相減得 即 點評：通過兩種方法的比較，可以看出使用點差法運算簡潔例7 已知橢圓C：1（ab0），兩個焦點分別為F1和F2，斜率為k

10、的直線l過右焦點F2且與橢圓交于A、B兩點，設l與y軸交點為P，線段PF2的中點恰為B（1）若k，求橢圓C的離心率的取值范圍；（2）若k=，A、B到右準線距離之和為，求橢圓C的方程解：（1）設右焦點F2（c，0），則l：y=k（xc）令x=0，則y=ck，P（0，ck）B為F2P的中點，B（，）B在橢圓上，1k2·（1）（4e2）e25k，e25（5e24）（e25）0 e21 e1（2）k，e a2c2，b2c2橢圓方程為1，即x25y2c2直線l方程為y=（xc），B（，c），右準線為x=c設A（x0，y0），則 （cx0）（c），x02c，y0（c）A在橢圓上，（2c）25（c

11、）2c2解之得c=2或c（不合題意，舍去）橢圓方程為x25y25，即y21 小結：1解決直線和圓錐曲線的位置關系問題時，對于消元后的一元二次方程，必須討論二次項的系數和判別式，有時借助圖形的幾何性質更為方便2涉及弦的中點問題，除利用韋達定理外，也可以運用點差法，但必須以直線與圓錐曲線相交為前提，否則不宜用此法3求圓錐曲線的弦長時，可利用弦長公式d=再結合韋達定理解決焦點弦的長也可以直接利用焦半徑公式處理，可以使運算簡化學生練習 1過點（2，4）作直線與拋物線y28x只有一個公共點，這樣的直線有A1條 B2條 C3條 D4條答案：B解析：數形結合法，同時注意點在曲線上的情況2已知雙曲線C：x2=

12、1，過點P（1，1）作直線l，使l與C有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l共有A1條 B2條 C3條 D4條答案：D解析：數形結合法，與漸近線平行、相切3雙曲線x2y21的左焦點為F，點P為左支下半支上任意一點（異于頂點），則直線PF的斜率的變化范圍是A （，1）（1，） B（，0）C（，0）（1，+） D（1，）答案：C 解析：數形結合法，與漸近線斜率比較4已知對，直線與橢圓恒有公共點，則實數的取值范圍是 （ ）A B C D答案:C 解析:直線恒過點，當點在橢圓上或橢圓內時此直線恒與橢圓有公共點5已知雙曲線中心在原點且一個焦點為F（，0）直線y=x1與其相交于M、N兩點，MN中點的橫

13、坐標為，則此雙曲線的方程是（ ）A BC D答案:D 解析設雙曲線方程為分別代入雙曲線方程并相減即可求解6設拋物線與直線有兩個交點，其橫坐標分別是，而直線與軸交點的橫坐標是，那么的關系是ABCD答案:B 解析:由題意得：故選（B）7若雙曲線x2y21的右支上一點P（a，b）到直線y=x的距離為，則a+b的值為A B C± D±2答案：B解析：P（a，b）點在雙曲線上，則有a2b2=1，即（a+b）（ab）=1d=，|ab|=2又P點在右支上，則有a>b，ab=2|a+b|×2=1，a+b=8已知對kR，直線ykx1=0與橢圓+=1恒有公共點，則實數m的取值范

14、圍是A（0，1） B（0，5） C1，5）（5，+） D1，5）答案：C 解析：直線ykx1=0恒過點（0，1），僅當點（0，1）在橢圓上或橢圓內時，此直線才恒與橢圓有公共點所以，1且m0，得m1 9橢圓與直線交于兩點，過原點與線段中點所在直線的斜率為，則的值是 （ ）ABCD答案:A解析:設則，兩式相減得，所以10設拋物線與過焦點的直線交于兩點，則的值A BC D答案:B 解析:11拋物線截直線得弦，若，是拋物線的焦點，則的周長等于答案:12雙曲線的左焦點為，為左支下半支上任意一點（異于頂點），則直線的斜率的變化范圍是（目的：能夠理解直線與雙曲線的位置與雙曲線的漸進線斜率有關）答案:13直線，以橢圓的焦點為焦點作另一橢圓與直線有公共點且使所作橢圓長軸最短時，公共點坐標是答案:解析:設橢圓與直線的公共點為，其長軸長欲使的值最小，需在直線上找一點使其到兩定點的距離和最小14若直線與橢圓相交于兩點，當變化時，的最大值是答案: 解析:15已知拋物線與直線求證：拋物線與直線相交；求當拋物線的頂點在直線的下方時，的取值范圍；當在的取值范圍內時，求拋物線截直線所得弦長的最小值解：