1、第一講二階矩陣、二階矩陣與平面向量的乘法、二階矩陣與線性變換。一、二階矩陣1.矩陣的概念23yx23OP(2, 3) = (2, 3)，將的坐標排成一列，并簡記為 某電視臺舉辦歌唱比賽，甲、乙兩名選手初、復賽成績如下：初賽復賽甲8090乙868823m324簡記為 概念一：象 的矩形數字（或字母）陣列稱為矩陣.通常用大寫的拉丁字母A、B、C表示， 橫排叫做矩陣的行,豎排叫做矩陣的列.名稱介紹：上述三個矩陣分別是2×1矩陣，2×2矩陣（二階矩陣），2×3矩陣，注意行的個數在前。矩陣相等：行數、列數相等，對應的元素也相等的兩個矩陣，稱為AB。行矩陣：a11,a12（僅

2、有一行）列矩陣：（僅有一列）向量（x,y），平面上的點P（x,y）都可以看成行矩陣或列矩陣，在本書中規定所有的平面向量均寫成列向量的形式。練習1：1.已知,，若A=B，試求2.設，若A=B，求x,y,m,n的值。概念二：由4個數a,b,c,d排成的正方形數表稱為二階矩陣。a,b,c,d稱為矩陣的元素。零矩陣：所有元素均為0，即，記為0。二階單位矩陣：，記為E2.二、二階矩陣與平面向量的乘法定義：規定二階矩陣A=，與向量的乘積為，即練習2：1.（1）（2） 2.=，求三、二階矩陣與線性變換1.旋轉變換問題1:P（x,y）繞原點逆時針旋轉180o得到P(x,y),稱P為P在此旋轉變換作用下的象。其

3、結果為，也可以表示為，即怎么算出來的？問題2. P（x,y）繞原點逆時針旋轉30o得到P(x,y),試完成以下任務寫出象P； 寫出這個旋轉變換的方程組形式；寫出矩陣形式.30o問題3.把問題2中的旋轉30o改為旋轉角，其結果又如何？2.反射變換定義：把平面上任意一點P對應到它關于直線的對稱點P的線性變換叫做關于直線的反射。研究：P（x,y）關于x軸的反射變換下的象P(x,y)的坐標公式與二階矩陣。3.伸縮變換定義：將每個點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標變為原來的倍，（、均不為0），這樣的幾何變換為伸縮變換。試分別研究以下問題：.將平面內每一點的縱坐標變為原來的2倍，橫坐標不變的伸縮變換的坐標公式

4、與二階矩陣. 將每個點的橫坐標變為原來的倍，縱坐標變為原來的倍的伸縮變換的坐標公式與二階矩陣.4.投影變換定義：將平面上每個點P對應到它在直線上的投影P（即垂足），這個變換稱為關于直線的投影變換。研究：P（x,y）在x軸上的（正）投影變換的的坐標公式與二階矩陣。5.切變變換定義：將每一點P（x,y）沿著與x軸平行的方向平移個單位，稱為平行于x軸的切變變換。將每一點P（x,y）沿著與y軸平行的方向平移個單位，稱為平行于y軸的切變變換。研究：這兩個變換的坐標公式和二階矩陣。練習：P10 .4 四、簡單應用1.設矩陣A=，求點P(2,2)在A所對應的線性變換下的象。練習：P13 .4.5【第一講.作

5、業】1.關于x軸的反射變換對應的二階矩陣是 2.在直角坐標系下，將每個點繞原點逆時針旋轉120o的旋轉變換對應的二階矩陣是 3.如果一種旋轉變換對應的矩陣為二階單位矩陣，則該旋轉變換是 4.平面內的一種線性變換使拋物線的焦點變為直線y=x上的點，則該線性變換對應的二階矩陣可以是 5.平面上一點A先作關于x軸的反射變換，得到點A1,在把A1繞原點逆時針旋轉180o，得到點A2，若存在一種反射變換同樣可以使A變為A2，則該反射變換對應的二階矩陣是 6.P（1，2）經過平行于y軸的切變變換后變為點P1(1,-5)，則該切變變換對應的坐標公式為 7. 設，且A=B.則x 8.在平面直角坐標系中，關于直

6、線y=-x的正投影變換對應的矩陣為 9.在矩陣對應的線性變換作用下，點P(2,1)的像的坐標為 10.已知點A（2，1），B（2，3），則向量在矩陣對應的線性變換下得到的向量坐標為 11.向量在矩陣的作用下變為與向量平行的單位向量，則 12.已知，設，求，；13.已知，若與的夾角為135o，求x.14.一種線性變換對應的矩陣為。若點A在該線性變換作用下的像為（5，5）,求電A的坐標；解釋該線性變換的幾何意義。15.在平面直角坐標系中，一種線性變換對應的二階矩陣為。求點A（1/5,3）在該變換作用下的像；圓上任意一點在該變換作用下的像。答案：1.2. 3. 4. 5.6.7.18. 9.（0，5

7、）10.（2，8）11.，12.、13.2/3 14.(5,y) 15. ,第二講 線性變換的性質·復合變換與二階矩陣的乘法一、 數乘平面向量與平面向量的加法運算1.數乘平面向量：設，是任意一個實數，則2.平面向量的加法：設，則性質1：設A是一個二階矩陣，是平面上的任意兩個向量，是任意一個實數，則數乘結合律：；分配律：【探究1】對以上的性質進行證明，并且說明其幾何意義。二、直線在線性變換下的圖形研究分別在以下變換下的像所形成的圖形。伸縮變換：旋轉變換：切變變換：特別地：直線x=a關于x軸的投影變換？性質2：二階矩陣對應的變換（線性變換）把平面上的直線變成 .（證明見課本P19）三、平

8、面圖形在線性變換下的像所形成的圖形分別研究單位正方形區域在線性變換下的像所形成的圖形。 恒等變換： 轉變換： 變變換：反射變換：投影變換：【練習：P27】【應用】試研究函數在旋轉變換作用下得到的新曲線的方程。四、復合變換與二階矩陣的乘法1.研究任意向量先在旋轉變換：作用，再經過切變變換：作用的向量2.二階矩陣的乘積定義：設矩陣A，B，則A與B的乘積AB【應用】1.計算 2.A ，B ，求AB3.求在經過切變變換：A=，及切變變換：B=兩次變換后的像。4.設壓縮變換：A，旋轉變換：B，將兩個變換進行復合，求向量在復合變換下的像；求在復合變換下的像；在復合變換下單位正方形變成什么圖形？5.試研究橢

9、圓伸縮變換：旋轉變換： ；切變變換：；反射變換：；投影變換：五種變換作用下的新曲線方程。進一步研究在，等變換下的新曲線方程。【練習：P35】【第二講.作業】A.B.C.D.1.下列線性變換中不會使正方形變為其他圖形的是（ ）A.反射變換B.投影變換C.切變變換D.伸縮變換2. 在切變變換：作用下，直線y=2x-1變為 3. 在A作用下，直線變為y=-2x-3,則直線為 4.在對應的線性邊變換作用下，橢圓變為5.已知平面內矩形區域為（0x11,0x22）,若一個線性變換將該矩形變為正方形區域，則該線性變換對應的矩陣為6.將橢圓繞原點順時針旋轉45后得到新的橢圓方程為7.在對應的線性邊變換作用下，

10、圓(x+1)2+(y+1)2=1變為8.計算：9.向量經過和兩次變換后得到的向量為10.向量先逆時針旋轉45o，再順時針旋轉15o得到的向量為11.函數的圖像經過的伸縮變換，和的反射變換后的函數是12. 橢圓先后經過反射變換和伸縮變換后得到的曲線方程為13.已知，且，求矩陣。14.分別求出在、對應的線性邊變換作用下，橢圓變換后的方程，并作出圖形。15.函數先后經過怎樣的變換可以得到？寫出相應的矩陣。答案：1.2.y=-1 3.3x-y+3=0 4.y=-x 5. 6. 7.y=x（2x0）8. 、9. 10. 11.12.13. 14.y=-2x(2x2)、y=0(2x2)、 15. 第三講

11、矩陣乘法的性質·逆變換、逆矩陣二、 矩陣乘法的性質1.設，由A、B、C研究矩陣是否滿足，結合律；交換律；消去律。結論：2.由結合律研究矩陣的乘方運算。3.單位矩陣的性【應用】1.設，求82. 【練習：P41】二、逆變換與逆矩陣1.逆變換：設是一個線性變換，如果存在一個線性變換，使得，（是恒等變換）則稱變換可逆，其中是的逆變換。2.逆矩陣：設是一個二階矩陣，如果存在二階矩陣，使得BA=AB=E2,則稱矩陣可逆，其中為的逆矩陣。符號、記法：，讀作的逆。【應用】1.試尋找30o的逆變換。【應用】1.A，問A是否可逆？若可逆，求其逆矩陣。2. A，問A是否可逆？若可逆，求其逆矩陣。由以上兩題

12、，總結一般矩陣A可逆的必要條件。三、逆矩陣的性質1.二階矩陣可逆的唯一性。2.設二階矩陣A、B均可逆，則也可逆，且【練習：P50】【第三講.作業】1.已知非零二階矩陣A、B、C，下列結論正確的是（）A.AB=BA B.(AB)C=A(BC) C.若AC=BC則A=B D. 若CA=CB則A=B2.下列變換不存在逆變換的是（）A.沿x軸方向，向y軸作投影變換。B.變換。C.橫坐標不變，縱坐標增加橫坐標的兩倍的切變變換。D.以y軸為反射變換3.下列矩陣不存在逆矩陣的是（）A. B. C. D. 4.設A,B可逆，下列式子不正確的是 （ ）A. B. C. D. 5.，則26. 7. 8.設，則向量

13、經過先再的變換后的向量為經過先再A的變換后的向量為9.關于x軸的反射變換對應矩陣的逆矩陣是10.變換將（3，2）變成（1，0），設的逆變換為1，則1將（1，0）變成點 11.矩陣的逆矩陣為 12.設：，點（2，3）在1的作用下的點的坐標為 13.A，則= 14.ABC的頂點A(0,0),B(2,0),C(0,1)。如果將三角形先后經過和兩次變換變成ABC,求ABC的面積。15.已知A，B，求圓在變換作用下的圖形。16.已知，試分別計算：,答案：1.B 2.A 3.D 4.A 5. 6. 7. 8.、9. 10.（3，2）11. 12.（1，3）13. 14.115.16. 、第四講 二階行列式

14、與逆矩陣·逆矩陣與二元一次方程組一.二階行列式與逆矩陣【概念】如果矩陣A是可逆的，則0.其中稱為二階行列式，記作，即，也稱為行列式的展開式。符號記為：detA或|A|【可逆矩陣的充要條件】定理：二階矩陣A可逆，當且僅當detA=0.此時 （請同學一起證明此定理）【應用】1.計算二階行列式： 2.判斷下列二階矩陣是否可逆，若可逆，求出逆矩陣。AB【練習：P55】二、二元一次方程組的矩陣形式1.二元一次方程組的矩陣形式一般的，方程組可寫成矩陣形式為： 2. 二元一次方程組的線性變換意義設變換：，向量、，則方程組，意即：三、逆矩陣與二元一次方程組1.研究方程組：的矩陣形式與逆矩陣的關系。【

15、定理】如果關于x,y的二元一次方程組的系數矩陣A是可逆的，則該方程組有唯一解：【推論】關于x,y的二元一次方程組（a,b,c,d,均不為0），有非零解0【應用】1.用逆矩陣解二元一次方程組【思考】課本60頁思考的系數矩陣A不可逆，方程組的解如何？【練習：P61】【應用】1.為何值時，二元一次方程組有非零解？三、三階矩陣與三階行列式1.三階矩陣的形式2.三階行列式的運算【第四講.作業】1.矩陣A，則|A|= 2.矩陣A，若A是不可逆的，則x= 3. 的逆矩陣為 4. A，B，則 5. A，若A不可逆，則 6.若關于x,y的二元一次方程組有非零解，則m 7.設二元一次方程組沒有非零解，則m所有值的

16、集合為 8.向量在旋轉變換的作用下變為，則向量 9. 若，則x+y 10. A，B，向量滿足，則向量 11.用逆矩陣的方法解方程組： 12.求下列未知的二階矩陣X： 13.當為何值時，二元一次方程組有非零解？14.設A，矩陣B滿足，求矩陣B.答案：1.22.3. 4. 5.6.-33/47.8. 9.310. 11.x=k,y=3k 12. 、 13.1或4 14. 第五講 變換的不變量與特征向量一. 特征值與特征向量【探究】1. 計算下列結果：以上的計算結果與，的關系是怎樣的？2. 計算下列結果：以上的計算結果與，的關系是怎樣的？【定義】設矩陣A，如果存在實數及非零向量，使得，則稱是矩陣A的

17、一個特征值。是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量。（結合探究1、2說明，特征值與特征向量）【定理1】如果是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量，則對任意的非零常數k，k也是矩陣A的屬于特征值的特征向量。其幾何意義是什么？【定理2】屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線。【應用】從幾何角度解釋旋轉變換的特征值與特征向量。二、特征值與特征向量的計算1. 設A，求A的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量。 【總結規律】一般的，矩陣A的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量的求法。【應用】求A的特征值及屬于每個特征值的一個特征向量。【練習：P70】【第五講.作業】1.設反射變換對應的矩陣為A，則下列不是A的特征

18、向量的是 （ ） A. B. C. D. 2.下列說法錯誤的是 （ ）A.矩陣A的一個特征向量只能屬于A的一個特征值 B.每個二階矩陣均有特征向量 C.屬于矩陣A的不同特征值的特征向量一定不共線 D. 如果是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量，則對任意的非零常數k，k也是矩陣A的屬于特征值的特征向量。3.設，分別是恒等變換與零變換的特征值，則 4.投影變換的所有特征值組成的集合為 5.矩陣的特征多項式為 6.已知A是二階矩陣，且A20，則A的特征值為 7.若0是矩陣A的一個特征值，則A的屬于0的特征向量為 8.已知1、2是矩陣A的特征值，則 9.若向量是矩陣的一個特征向量，則m 10.求下列矩陣

19、的特征值及其對應的所有特征向量： 11.已知向量是矩陣的一個特征向量，求m的值。12.設A，分別求滿足下列條件的所有矩陣A：是A的屬于2的一個特征向量。是A的一個特征向量。13.對任意實數x，矩陣總存在特征向量，求m的取值范圍。14設A是可逆的二階矩陣，求證：A的特征值一定不是0；若是A的特征值，則1/是A1的特征值。1.2.3.4.0，15.6.07.8. 9.10. 或；或或11.012.13.3214.有特征多項式證明； ， 得征。第六講 特征向量的應用一. 的簡單表示【探究1】關于x軸的反射變換的坐標公式為：相應的二階矩陣為A矩陣A的特征值為：對應于每個特征值的特征向量為：試研究對特征

20、向量作了n次變換后的結果：【定義】設矩陣A， 是矩陣A的屬于特征值的任意一個特征向量，則 （）【探究2】設探究1中的兩個特征向量為、，因為這兩個向量不共線，所以平面上任意一個向量可以用、為基底表示為：試研究的值。【性質1】設、是二階矩陣A的兩個不同特征值，、是矩陣A的分別屬于特征值、的特征向量，對于平面上任意一個非零向量，設，則【應用】1. 【P76 1、2】2.人口遷移問題課本P73【第五講.作業】1.求矩陣A的特征值及其對應的所有特征向量。2.設是矩陣A的一個特征值，求證：是的一個特征值。若。求證A的特征值為0或1。3.設是矩陣A的屬于特征值的一個特征向量，求證：是的屬于特征值的一個特征向量。【42綜合·作業】一、選擇題1.設矩陣A，B，若AB，則x的值為（ ）A.3 B.9 C.-3 D.±32.矩陣的逆矩陣為 （ ）A. B. C