1、命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件 考點(diǎn)與要求 1了解命題的概念2了解“若，則”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系3理解必要條件、充分條件與充要條件的意義 知識(shí)與方法梳理 一、基礎(chǔ)知識(shí)A命題1命題可以判斷 真假 的陳述句，叫做命題注：（1）數(shù)學(xué)命題的表達(dá)形式有：語(yǔ)言、符號(hào)、式子等（2）判斷一個(gè)語(yǔ)句是否是命題，一看“陳述句”，二看“可判斷真假”僅此兩點(diǎn)例如，今天天氣不錯(cuò)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；若，則以上四個(gè)句子中，雖是陳述句，但不能判斷其真假“天氣不錯(cuò)”的標(biāo)準(zhǔn)不明確是陳述句，且能判斷正確，因此是命題對(duì)于，當(dāng)時(shí)，為真；當(dāng)時(shí)，為假這句話雖是陳述句，但無真假可言，因此不是

2、命題. 顯然是命題2假命題、真命題真命題：可以判斷為 真 的命題，即當(dāng)題設(shè)成立時(shí)，結(jié)論一定成立，叫做真命題假命題：可以判斷為 假 的命題，即當(dāng)題設(shè)成立時(shí)，結(jié)論不一定成立或一定不成立，叫做假命題注:判斷一個(gè)命題的真假時(shí)，如果說一個(gè)命題是真命題，那么必須證明它的正確性；而判斷一個(gè)命題是假命題時(shí)，只要舉出一個(gè)反例，它符合命題的題設(shè)，但不滿足結(jié)論就可以了延伸閱讀: 開句、命題函數(shù)、開句的取真集（內(nèi)容不要求掌握）（1）開句、命題函數(shù)形如“”、“”等單獨(dú)的方程、不等式語(yǔ)句，都不是命題，因?yàn)樗鼈円矊?duì)也不對(duì)，即無真假可言這些語(yǔ)句在數(shù)理邏輯上叫做開句開句又叫做命題函數(shù)，意思是當(dāng)變?cè)ㄟ@里的）取不同的個(gè)體的時(shí)候，

3、就得到不同的命題開句常記作、，其中變?cè)窃谝欢ǚ秶镒兓?當(dāng)取某個(gè)個(gè)體時(shí)，開句就變成了命題（與開句相對(duì)，有的書上把命題叫做句）如：對(duì)于“”而言，當(dāng)時(shí)，為真；當(dāng)時(shí)，為假（2）開句的取真集對(duì)于開句，最為關(guān)心的是，哪些個(gè)體使句子為真，哪些個(gè)體使句子為假例如，對(duì)于“”而言，“”時(shí)為真，“”時(shí)為假.使開句取真的的范圍叫做的取真集，記作對(duì)開句來說，取真集為解方程，解不等式，本質(zhì)上是找開句的取真集（3）將命題函數(shù)變成命題命題函數(shù)變成命題的方法有兩個(gè)方法一：將命題函數(shù)中的用特殊個(gè)體代入，從而得到對(duì)特殊個(gè)體進(jìn)行判斷的命題，這種命題叫做單稱命題例如“張三是共產(chǎn)黨員”，其中“張三”是被判斷的個(gè)體，“是共產(chǎn)黨員”是謂

4、詞，“是”是判斷詞再如，命題函數(shù)，對(duì)賦值，可得到命題和，即，和當(dāng)然是真命題，是假命題方法二：利用量詞來限制個(gè)體的范圍例如：命題函數(shù)，前面添加量詞“所有的”或“有”，得到命題“所有的實(shí)數(shù)都有”或“有實(shí)數(shù)使” 前者是假命題，后者是真命題3命題的形式若，則其中叫做命題的條件（或題設(shè)），叫命題的結(jié)論注：絕大多數(shù)命題都能寫成上述形式，但有些則不能，如特稱命題B四種命題及其關(guān)系1四種命題及其關(guān)系（1）四種命題是指原命題、原命題的逆命題、否命題、逆否命題.（2）設(shè)原命題為：“若，則”，則原命題的逆命題、否命題、逆否命題分別定義如下：逆命題：條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件，其形式：“若，則”否命題：條件和

5、結(jié)論分別是原命題的條件和結(jié)論的否定，其形式：“若，則”逆否命題：條件和結(jié)論分別是原命題的結(jié)論和條件的否定，其形式：“若，則”延伸閱讀：偏逆命題（內(nèi)容不要求掌握）當(dāng)命題的條件和結(jié)論都是一個(gè)簡(jiǎn)單命題時(shí)，只要將它們進(jìn)行交換就得到了原命題的逆命題.如上面例子當(dāng)命題的條件和結(jié)論不只是一個(gè)簡(jiǎn)單命題時(shí)，將命題條件和結(jié)論中的簡(jiǎn)單命題任意進(jìn)行交換位置，就可以得到多個(gè)原命題的逆命題. 如命題“垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧”，命題條件有兩個(gè)：“：垂直于弦”、“：過圓心”；結(jié)論也有兩個(gè)：“：平分這條弦”、“：平分弦所對(duì)的兩條弧”.其形式即為：，該命題的所有偏逆命題有：弦的垂直平分線經(jīng)過圓心并且平分

6、弦所對(duì)的兩條弧；：垂直于弦且平分弦所對(duì)弧的直線經(jīng)過圓心并且平分這條弦；：平分弦的直徑垂直于這條弦并且平分弦所對(duì)的兩條弧；：平分弦所對(duì)的弧直徑垂直平分這條弦2四種命題的真假關(guān)系（1）四種命題間的三種基本關(guān)系：互逆、互否、互為逆否關(guān)系（2）具有互逆關(guān)系的命題：原命題與其逆命題、原命題的否命題與原命題的逆否命題具有互否關(guān)系的命題：原命題與其否命題、原命題的逆命題與原命題的逆否命題具有互為逆否關(guān)系的命題：原命題與其逆否命題、原命題的逆命題與原命題的否命題（3）等價(jià)命題：同真同假的兩命題稱為等價(jià)命題具有互為逆否關(guān)系的兩個(gè)命題等價(jià)注：同真同假的含義：其中任何一個(gè)命題的真與假必然導(dǎo)致另一命題的真與假（4）不

7、等價(jià)關(guān)系：兩命題的真假性 沒有關(guān)系 互逆命題 、 互否命題 不等價(jià)C充分條件與必要條件記命題“若，則”為“”，若命題“若，則”為真，則進(jìn)一步記作“”，為假時(shí)，則記作1基本概念（1）若，則稱是的充分條件，是的必要條件（2）若，且，則稱是的充分不必要條件，是的必要不充分條件（3）若，且，則稱是的充要條件，這時(shí)，也是的充要條件（4）若，且，則稱是的不充分不必要條件，這時(shí)，也是的不充分不必要條件注：（1）在判斷中，要完整地?cái)⑹鰲l件類型.比如：“充分不必要條件”不能只說成“充分條件”（2）敘述充要條件的等價(jià)語(yǔ)句：“當(dāng)且僅當(dāng)”、“必須且只須”、“若且僅若”等其中，“當(dāng)、必須、若”表達(dá)的是條件的充分性，而“

8、僅當(dāng)、只須、僅若”表達(dá)的是條件的必要性2對(duì)“充分條件”與“必要條件”的理解（1）從定義本身去理解充分條件：要使結(jié)論成立，只要具備條件就足夠了事實(shí)上，式子已經(jīng)表明，條件成立時(shí)，結(jié)論一定成立，就是說，要使結(jié)論成立，只要具備條件就足夠了必要條件：當(dāng)條件成立時(shí)，結(jié)論不一定成立，但條件不成立時(shí)，結(jié)論一定不成立.依題意，條件為、結(jié)論為一方面，雖然命題“”為真，但其逆命題“”卻未必為真，因此，當(dāng)條件成立時(shí)，結(jié)論不一定成立另一方面，命題“”為真，從而其逆否命題“”也真，即，據(jù)此可知，條件不成立時(shí)，結(jié)論一定不成立（2）利用開關(guān)電路圖理解“充分條件”與“必要條件”視“開關(guān)的閉合”為條件，“燈泡亮”為結(jié)論，則圖中，

9、條件是結(jié)論的 條件 充分不必要條件（）圖中，條件是結(jié)論的 條件 必要不充分條件（）圖中，條件是結(jié)論的 條件 充要條件（）圖中，條件是結(jié)論的 條件 不充分不必要條件（）（3）從集合間的包含關(guān)系理解“充分條件”與“必要條件”設(shè)條件對(duì)應(yīng)集合，條件對(duì)應(yīng)集合，即，若，則是的充分條件，若，則是的充分不必要條件事實(shí)上，若有，可得，即，是的充分條件若有，可得，且，是的充分不必要條件若，則是的必要條件，若，則是的必要不充分條件事實(shí)上，若有，可得，即，是的必要條件若有，可得，且，是的必要不充分條件若，則與互為充要條件事實(shí)上，若有，可得，即，若有，可得，即，、互為充要條件若且，則是的既不充分條件也不必要條件事實(shí)上，

10、若有，可得，即，同理，是的既不充分也不必要條件二、基本思想方法等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想示例 已知，若是的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍解：由得，由得，結(jié)合數(shù)軸有 解得點(diǎn)評(píng)與警示：本題利用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，把轉(zhuǎn)化為，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為是的子集，然后利用數(shù)軸列出不等關(guān)系 題型示例 A命題的判斷、命題的真假判斷例 判斷下列語(yǔ)句哪些是命題？若是命題，是真命題還是假命題？（1）空集是任何集合的真子集； 命題；假命題（2）三角函數(shù)是單調(diào)函數(shù)嗎？ 疑問句，不是命題（3）空間里垂直于同一條直線的兩條直線互相平行； 命題；假命題（4）； 開句，不是命題（5）若，則； 命題；真命題（二次三項(xiàng)式的判別式，在條件下，始終有）（6）若整

11、數(shù)是素?cái)?shù)，則是奇數(shù)；命題；假命題（時(shí)，由條件推不出結(jié)論）（7） 命題；假命題點(diǎn)評(píng)與警示：構(gòu)成命題的條件有兩個(gè)，一個(gè)是陳述句，另一個(gè)是能判斷真假B命題的形式例 把下列命題改寫成“若，則”的形式，并判斷命題的真假（1）周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形面積相等； （2）偶數(shù)能被2整除； （3）奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； （4）同弧所對(duì)的圓周角不相等； （5）菱形對(duì)角線互相平分； （6）垂直于同一條直線的兩條直線互相平行； （7）負(fù)數(shù)的立方是負(fù)數(shù)； （8）對(duì)頂角相等解：（1）若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等，則這兩個(gè)三角形面積相等 假命題（2）若一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則它能被2整除 真命題（3）若一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，則它的圖象關(guān)于原

12、點(diǎn)對(duì)稱 真命題（4）若兩個(gè)圓周角是同弧所對(duì)的圓周角，則它們不相等 假命題（5）若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相平分 真命題（6）若兩條直線垂直于同一條直線，則這兩條直線平行真命題（7）若一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的立方是負(fù)數(shù) 真命題.（8）若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則這兩個(gè)角相等 真命題選填C四種命題的概念例 把下列命題改寫成“若，則”的形式，并寫出它們的逆命題、否命題與逆否命題.（1）當(dāng)時(shí)，； （2）對(duì)頂角相等；（3）等底等高的兩三角形全等；（4）兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形全等解：（1）原命題：若，則 逆命題：若，則否命題：若，則 逆否命題：若，則（2）原命題：若兩個(gè)角是對(duì)頂角，則它們相等

13、 逆命題：若兩個(gè)角相等，則它們是對(duì)頂角否命題：若兩個(gè)角不是對(duì)頂角，則它們不相等. 逆否命題：若兩個(gè)角不相等，則它們不是對(duì)頂角（3）原命題：若兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)高和底分別相等，則這兩個(gè)三角形全等.逆命題：若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)高和底分別相等. 否命題：若兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)高和底不都相等，則這兩個(gè)三角形不全等. 逆否命題：若兩個(gè)三角形不全等，則這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)高和底不都相等（4）原命題：若兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)兩邊和夾角分別相等，則這兩個(gè)三角形全等逆命題：若兩個(gè)三角形全等，則這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)兩邊和夾角分別相等否命題：若兩三角形的應(yīng)邊兩對(duì)及夾角不都相等，則這兩個(gè)三角形不全等逆否命題：若兩個(gè)三

14、角形不全等，則這兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)兩邊及夾角不都相等點(diǎn)評(píng)與警示：正確敘述正面術(shù)語(yǔ)的否定形式，如“都”的否定應(yīng)為“不都”而非“都不”D四種命題之間的關(guān)系例 寫出下列命題的逆命題、否命題與逆否命題，并判斷它們的真假（1）垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線的直線垂直于平面； （2）若，則方程有實(shí)根；（3）若，則；（4）菱形對(duì)角線垂直且相等解：（1）原命題：若直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線，則直線垂直于平面 假命題.逆命題：若直線垂直于平面，則直線垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線 真命題. 否命題：若直線不垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線，則直線不垂直于平面 真命題逆否命題：若直線不垂直于平面，則直線不垂直于平面內(nèi)無數(shù)條直線 假命題（2）

15、逆命題： 若方程有實(shí)根，則 假命題否命題：若，則方程無實(shí)根 假命題逆否命題：若方程無實(shí)根，則 假命題（3）逆命題：若，則 真命題否命題：若，則中至少有一個(gè)不為0 真命題逆否命題：若中至少有一個(gè)不為0，則 真命題（4）逆命題：對(duì)角線垂直且相等的四邊形是菱形 假命題否命題：不是菱形的四邊形的對(duì)角線不垂直或不相等 假命題逆否命題：對(duì)角線不垂直或不相等的四邊形不是菱形 假命題E利用等價(jià)命題證明例 證明：若，則.分析：將“若，則”視作原命題.要證原命題為真命題，去證它的逆否命題“若中至少有一個(gè)不為0，則”為真命題證明：若中至少有一個(gè)不為0，不妨設(shè)，則，即. 因此，原命題的逆否命題為真命題，從而原命題也為

16、真命題F充要條件的判定例 指出下列各組命題中，是的什么條件？（1），直線與圓相切（2），（3）設(shè)均為直線，為平面，其中，（4）設(shè)，（5）中，內(nèi)角對(duì)邊的長(zhǎng)分別為， 解：（1）充分不必要條件；（2）充分不必要條件；（3）必要不充分條件；（4）充要條件；（5）充要條件G由充分條件、必要條件求參數(shù)取值范圍已知條件，條件，且是的一個(gè)充分不必要條件，則的取值范圍是A B C D解：不等式等價(jià)于即，解得，條件對(duì)應(yīng)的取值集合由，得當(dāng)，即時(shí)，解集為，這時(shí)條件對(duì)應(yīng)的取值集合；當(dāng)，即時(shí)，解集為，這時(shí)；當(dāng)，即時(shí)，解集為是的充分不必要條件，是的充分不必要條件，從而條件對(duì)應(yīng)的取值集合是條件對(duì)應(yīng)的取值集合的真子集當(dāng)時(shí)，由，

17、得解得；當(dāng)時(shí)，顯然有；當(dāng)時(shí)，由，得解得綜上，的取值范圍是答案：CH錯(cuò)解剖析寫出命題“若，則”的否命題和逆否命題否命題是： 逆否命題是： 錯(cuò)解：否命題：已知是實(shí)數(shù)，若與，與都不相等，則逆否命題：已知是實(shí)數(shù)，若，則與，與都不相等錯(cuò)因分析：事件“，”的正確否定應(yīng)為：與、與不都相等；或正解：否命題：已知是實(shí)數(shù)，若，中至少有一個(gè)不成立，則逆否命題：已知是實(shí)數(shù)，若，則，中至少有一個(gè)不成立M方法規(guī)律探究四種條件的判定方法.（1）定義推斷法：分別去判斷和是否成立，然后形成結(jié)論（2）原、逆命題推斷法：原真逆假條件為：充分不必要； 原假逆真條件為：必要不充分；原真逆真條件條件為：充要； 原假逆假條件為：不充分不必

18、要.（3）逆否命題判別法：判斷命題的真假，改為判斷其逆否命題的真假（4）集合推斷法：具體內(nèi)容見前面（5）傳遞法：即，得 課堂練習(xí) 一、選擇題1下列語(yǔ)句不是命題的有 ； 與一條直線相交的兩直線平行嗎？ ； A B C D解：開句，不是命題疑問句，不是命題陳述句，并能判斷為假，是命題，假命題開句，不是命題答案：C2若是兩個(gè)集合，則下列命題中的真命題是 A如果，那么 B如果，那么C如果，那么 D如果，那么答案：A3有下列四個(gè)命題：“若，則互為相反數(shù)”的逆命題； “若，則”的逆否命題； “若，則”的否命題；“若是無理數(shù)，則是無理數(shù)”的逆命題； 其中真命題的個(gè)數(shù)是 A0 B1 C2 D3解：逆命題為：互

19、為相反數(shù)，則 真命題逆否命題為：若，則 假命題否命題為：若，則 假命題（，）逆命題為：若是無理數(shù)，則是無理數(shù) 假命題（，時(shí)，不是無理數(shù)）答案：B二、判斷題4把下列命題改寫成“若，則”的形式，并判斷命題的真假（1）等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等；（2）當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值隨值的增加而增加解：（1）若一個(gè)三角形是等邊三角形，則它的三個(gè)內(nèi)角相等真命題（2）當(dāng)時(shí)，若的值增加，則函數(shù)的值也增加，真命題5把下列命題改寫成“若，則”的形式，并判斷命題的真假.（1）矩形的對(duì)角線相等； （2）線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等； （3）能被6整除的數(shù)既能被3整除也能被2整除；（4）實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)解：（1）若一個(gè)四邊形式矩形，則其對(duì)角線相等.真命題（2）若一個(gè)點(diǎn)在線段的垂直平分線上，則它到線段兩端點(diǎn)距離相等.真命題（3）若一個(gè)能被6整除，則它既能被3整除也能被2整除.真命題（4）若一個(gè)為實(shí)數(shù)，則這個(gè)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)真命題6.給出以下命題，判斷是的什么條件？（1），；（2）且，；（3）正方形，菱形；（4），解：（1）充分不必要條件；（2）充分不必要條件；（3）充分不必要條件；（4）不充分不必要條件二、解答題7把下列命題改寫成“若，則”的形式，并寫出它們的否命題與和逆否命題（1）；（2）當(dāng)時(shí)，無實(shí)根解：（1）若，則