1、第十一章 無窮級數§11.1 常數項級數的概念和性質內容概要名稱主要內容常數項級數 （為常數）常數項級數的收斂性若則收斂，（:前項部分和）常數項級數常用的性質1. ，收斂收斂,且2.則與同收同發3. 加入有限項或去掉有限項,不改變級數的斂散性.4收斂(收斂的必要條件)常用的結論當時收斂其和為，當時發散.例題分析1. 已給級數，1)寫出此級數的前二項,;2) 計算部分和,;3) 計算第項部分和;4) 用級數收斂性定義驗證這個級數是收斂的，并求其和.知識點：前項部分和,常數項級數的收斂性.解：1),2);3)4),收斂,其和為 .2. 求常數項級數之和.知識點：前項部分和.思路:利用解：

2、 令 則以上兩式相減得 即,，.注：利用等比級數判別級數的收斂性及求和是常用的方法.3設收斂,討論下列級數的斂散性:1)2) ; 3) .知識點：常數項級數的收斂性.思路: 利用常數項級數的性質.解：1)發散.注：，則發散是判別級數發散常用的方法.2) 常數項級數的性質:加入有限項或去掉有限項,不改變級數的斂散性.去掉前1000項得的級數仍收斂3) ,發散.課后習題全解習題11-11.寫出下列級數的前五項：(1)(2)(3)(4)解：(1).(2).(3).(4)2.寫出下列級數的一般項：(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：(1).(2).(3).(4).(5).(6).3.根據級數收斂與

3、發散的定義判定下列級數的收斂性:(1); (2);(3).解：(1).所以,原級數收斂.(2).所以,原級數收斂.(3), 所以,原級數發散.注：另解所以不存在，原級數發散.4.判定下列級數的收斂性:(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：(1)此為等比級數，因公比，且，故此級數收斂于(2) 級數的一般項：,由調和級數發散和級數的性質，知題設級數發散.(3)原級數發散.(4), 原級數發散.(5)均為等比級數且公比分別為均收斂， 故原級數收斂.(6). 原級數發散.5.求級數的和.解：.6.求常數項級數之和.解：, (上兩式相減).7.設級數的前項和為，求級數的一般項及和.解：, 且.8.利用

4、柯西審斂原理判別下列級數的收斂性：(1) ； (2) ； (3).解：(1)對于任意自然數，因為（令解得）故不妨設當時，對于任意自然數，都有 由柯西審斂原理，知所給級數收斂.(2) 對于任意自然數，因為故不妨設當時，對于任意自然數，都有 由柯西審斂原理，知所給級數收斂.(3)，因為項故取對于任意，使得 由柯西審斂原理，知所給級數發散.提高題1.判定下列級數的收斂性:1) ; 2) ; 3) ; 4) . 解：1) 收斂，發散， 發散.2)發散.3) 發散.4) 由數列單調遞增趨于知：即，,發散.2. 求下列級數的和.1); 2)解：1)., .2), .§11.2 正項級數判別法內容

5、概要名稱主要內容正項級數 （為常數，）正項級數斂散性判別法1.比較判別法一般形式若當為大于的常數，則1) 收斂收斂. 2) 發散發散極限形式若，則1),這兩級數同時收斂同時發散.2),收斂收斂.3),發散發散.2比值判別法,則1),級數收斂；2),級數發散;3),本法失效.3.根值判別法,則1),級數收斂；2),級數發散;3),本法失效.4. 積分判別法若存在上單調減少的連續函數，使得，則1）收斂收斂.2) 發散發散.常用的結論當時收斂其和為，當時發散.級數時收斂，時發散例題分析1. 用比較判別法或極限判別法判別下列級數的收斂性：1)2)3)4).知識點：比較判別法.思路:比較判別法的特點：先

6、要初步估計一下被判級數的斂散性，然后找一個已知斂散性級數與之對比。這就要求我們初步判斷正確，同時要掌握一些已知其斂散性的級數。常用的級數有兩個：等比級數時收斂，時發散,級數時收斂，時發散.解：1)分析：與當時是同階無窮小.估計是發散的。而發散, 由比較判別法知發散.2)分析：此題無法直接用比較判別法，因隨的增加而變化，當為奇數時等于1，當為奇數時等于3，即分母不超過3，因此有。，而收斂, 由比較判別法知收斂 3) 分析： （），估計是收斂的., 而收斂, 收斂.4)分析：（），而收斂, 收斂.小結：比較判別法判斷級數的斂散性，一般可從等價無窮小量出發，找一個已知斂散性的級數與之比較.2. 用比

7、值判別法判別下列級數的收斂性：1) ; 2)3)解：1)由比值判別法知收斂.2)由比值判別法知收斂.3)由比值判別法知發散.小結：通過上面1)- 3)題，當一般項中含有等，或與有公因子時，常用比值判別法.3.用根值判別法與積分判別法判別下列級數的收斂性： 1) ; 2)解：1)由根值判別法知，級數收斂.2)設 則顯然在時非負且連續，因故在時單調減少.由積分判別法知發散.小結：當一般項中含有等時，常用根值判別法.課后習題全解習題11-21.用比較判別法或極限判別法判別下列級數的收斂性：(1)(2)(3) (4)(5)(6)(7)(8) (9)解： (1),而發散,發散.(2)法一:,而發散, 發

8、散.法二:,而發散, 由比較判別法知發散.(3),與級數比較.,而收斂, 收斂.(4),與級數比較.,而收斂, 收斂.(5),與級數比較.，收斂.(6),與幾何級數比較.，而收斂,收斂.(7),與調和級數比較.，而發散,發散.(8) 當時, 發散.當時, ,這時 由幾何級數收斂,知收斂.(9)法一：,與調和級數比較.而發散,發散.法二:,而發散, 發散.2.用比值判別法判別下列級數的收斂性：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)解： (1)由比值判別法知發散.(2)，由比值判別法知,原級數收斂.(3)，由比值判別法知,題設級數收斂.(4)，由比值判別法知,題設級數收斂.(5)由比值判

9、別法知,題設級數發散.(6) 當 時，由比值判別法知發散;當 時，由比值判別法知收斂；當 時，級數為；當 時發散，當 時收斂.(7)由比值判別法知,題設級數收斂.(8)，由比值判別法知,題設級數收斂.3.用根值判別法判別下列級數的收斂性： (1)(2)(3)(4)(5)(6)解：(1) 由根值判別法知，級數收斂.(2) 由根值判別法知，級數收斂.(3) 由根值判別法知，級數收斂.(4) 由根值判別法知，級數發散.(5) 由根值判別法知，級數發散.(6) 由根值判別法知，級數發散.4.用積分判別法判別下列級數的收斂性： (1)(2)解：(1)設 則顯然在時非負且連續，因故在時單調減少.由積分判別

10、法 當時當時綜合上述知：當且僅當時收斂.(2)設 則顯然在時非負且連續，因故在時單調減少.由積分判別法 當時當時題設級數發散.(例11)故當且僅當時收斂.5.若及收斂。證明下列級數也收斂：（1）（2） （3）解：(1)， 收斂.(2)， 收斂.(3)在(1)中取，得收斂.6.判別級數的收斂性，其中且均為正數.解：所以當時，級數收斂；當時，級數發散；當時，不能判別級數 的斂散性7.設若收斂,則也收斂.解：,故收斂,則也收斂.8.設,試討論正項級數的收斂性. 解： 故當時，級數收斂；當時，級數發散.提高題1.判定下列級數的收斂性:1) ; 2) ; 3) ; 4) . 解：1) （），而收斂, 收

11、斂.2)法一：,又級數發散.發散法二：而發散, 由比較判別法知發散.3)由比值判別法易知收斂，收斂.4) 同時原級數與同時收斂，同時發散，故原級數在時收斂，在時發散.2.求級限.解: 考慮級數,其通項為由比值判別法知,級數收斂.由級數收斂的必要條件知. §11.3 一般常數項級數內容概要名稱主要內容絕對收斂條件收斂發散, 收斂.萊布尼茲判別法:交錯級數滿足下面兩條件:1) , 2),則級數收斂，且其和的絕對值小于首項.例題分析1. 判別級數下列級數的收斂性,若收斂,是條件收斂還是絕對收斂?1)2)3)知識點：絕對收斂, 條件收斂.思路:先要判別級數的絕對收斂性，若不絕對收斂，再判別級

12、數的條件收斂性。解：1)收斂，故 絕對收斂.2)而發散, 由比較判別法知發散.但1)2),即由萊布尼茲判別法知，條件收斂.注：考察與的大小，常用的方法有如下三種： 法一，看是否小于. 法二，看是否大于. 法三，看對的導數是否小于.（此時將看成連續自變量）。此題用法二，法一，法三留給讀者自己分析。 3) ，原級數發散.問題：1)一個交錯級數，如果它不滿足萊布尼茲條件是否一定發散.2) 交錯級數,如果，該級數是否一定發散課后習題全解習題11-31.判別級數下列級數的收斂性,若收斂,是條件收斂還是絕對收斂?(1)(2)(3).(4)(5)(6)解：(1)顯然原級數不是絕對收斂（的級數）,且由萊布尼茨

13、判別法知，原級數條件收斂.(2),絕對值級數收斂，原級數絕對收斂.(3) ，且 收斂，原級數絕對收斂.(4)當時，原級數絕對收斂；當時，原級數發散；當時，原級數為條件收斂.(5) 因,所以收斂; 因,所以收斂;原級數絕對收斂.(6),由比值判別法知,原級數絕對收斂.2數是絕對收斂，條件收斂，還是發散.解：原級數為交錯級數上單調遞增,且單調下降且, 原級數收斂.又發散()所以原級數條件收斂.3判別級數的收斂性.解：,當且僅當時,原級數絕對收斂;當時由條件收斂; 收斂; 絕對收斂，知原級數條件收斂.4討論取何值時，下列級數絕對收斂，條件收斂.(1)(2)解：(1),由根值判別法知，當時原級數絕對收

14、斂. 當時原級數發散.( 當時顯然發散)(2) 顯然 ，當充分大時， 由比較判別法知，當時原級數絕對收斂.當時，原級數條件收斂.5.設在的某一鄰域內具有二階連續導數。且試證明：級數絕對收斂.證明：由，知，且又收斂，絕對收斂.提高題1. 判別級數下列級數的收斂性,若收斂,是條件收斂還是絕對收斂?1); 2).解：1) 當充分大時，,由,而發散知發散,原級數去掉有限項后為交錯級數，且此時單調減少趨于，原級數條件收斂.2),發散.2.設為實數,討論級數收斂性.解：1)當時，級數是萊布尼茲型交錯級數，故條件收斂.2)當時，取前項之和：發散， 收斂（常數），原級數發散.3)當時，取前項之和： 考慮級數，

15、且發散，.發散從而發散，且（當充分大時），原級數發散.綜合上述：當且僅當時原級數收斂.2.若級數絕對收斂，試證級數，絕對收斂.解：絕對收斂, 當充分大時, 此時,絕對收斂. 又,由比值判別法知,絕對收斂.,收斂,即絕對收斂.§11.4 冪級數內容概要名稱主要內容冪級數收斂半徑若或則 收斂半徑注意：利用此公式時要求的冪級數不能有間隔.冪級數常用的性質1 冪級數的和函數在其收斂域上連續.2 冪級數的和函數在其收斂域上可積，并在上有逐項積分公式且逐項積分后得到的冪級數和原級數有相同的收斂半徑.3 冪級數的和函數在其收斂區間內可導，并在內有逐項求導公式且逐項求導后得到的冪級數和原級數有相同的

16、收斂半徑.例題分析1.求下列冪級數的收斂域.（1）（2）（3）;知識點：收斂半徑，收斂域.思路:先求出冪級數的收斂半徑,然后,再判別級數在收斂區間端點處的收斂性,得出冪級數的收斂域.解：（1），收斂半徑 當時，數項級數發散;當時，數項級數發散. 從而冪級數收斂域為（2）法一：當，即時，級數絕對收斂.當，即時，級數發散.當時，級數為發散綜上所述，原冪級數的收斂域為.注：此冪級數中，的冪缺奇次冪故不能直接用公式,直接用比值判別法.但令則原冪級數變為可用此公式,法二：令則原冪級數變為, 當時，級數為發散. 故原冪級數的收斂域為.（3）法一：令，原級數變為因為當時，數項級數發散,當時，數項級數收斂，從

17、而冪級數的收斂域為 原級數的收斂域為,即.法二：因為 當，即時，原級數絕對收斂. 當時，數項級數發散,當時，數項級數收斂，故原級數的收斂域為.2.求的收斂域及和函數，并求級數.知識點：收斂域, 和函數思路:先求收斂域,再用冪級數的性質及求和函數，最后利用，選取適當的值計算.解： 求的收斂域. 因為 ，且當時，數項級數發散.所以原冪級數的收斂域為求的和函數設 則也可如下計算:.求級數的和取, 則 故.3.求冪級數的和函數.解: 求的收斂域.當時，原級數為,是收斂的交錯級數: 當時，原級數為,是發散的.收斂域為求的和函數設 ,于是 當時,有 (也可由得出)故課后習題全解習題11-41.求下列冪級數

18、的收斂域:(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)解：(1)，收斂半徑.當時，數項級數的絕對值級數為顯然級數收斂，從而冪級數在也收斂，收斂域為(2)當時，級數為是發散的; 當時，級數為是收斂的.所以原冪級數的收斂域為(3)原冪級數的收斂域為.(4)當時，級數為,它絕對值級數為是收斂的.從而冪級數在也收斂, 原冪級數的收斂域為.(5)當時，數項級數條件收斂;當時，數項級數發散.故原冪級數的收斂域為(6)當時，數項級數發散;當時，數項級數條件收斂.故原冪級數的收斂域為(7)令，原級數變為,當，數項級數的絕對值級數為,顯然級數收斂，從而冪級數在也收斂，收斂域為, 即, 原級數的收斂域為

19、.(8)令，原級數變為,當時，數項級數發散.當時，數項級數條件收斂.故級數收斂域為, 即, 原級數的收斂域為(9)當即時，原級數絕對收斂.當即時，原級數發散.當時，級數分別為與都收斂.綜上所述，原冪級數的收斂域為.2.求下列冪級數的收斂半徑:(1)(2)解：(1)(2)記 則 原級數收斂半徑為3. 求下列冪級數的和函數:(1)(2)(3)解：(1)顯然 的收斂域為.(2) 易求得 的收斂域為,時, 設 (注：) (也可：)+ 故.(3)顯然 的收斂域為4.求冪級數的和函數,并求數項級數的和.解：,.5.試求極限其中解：,考慮級數.,.6.求級數的和.解： 考慮 .提高題1.求下列冪級數的收斂域

20、:(1)(2).解: （1）當時，發散；當時，且收斂，數項級數收斂.故原級數的收斂域為（2）記 又 .當時，原級數為，由知發散;當時，原級數為,由單調減少趨于零知收斂.故原級數的收斂域為.2.冪級數的收斂半徑為,則冪級數的收斂區間為 ( ).解: 令,則 冪級數與冪級數的收斂半徑相同, 從而,即3.求冪級數的收斂域與和函數.解:記當,即時，原級數收斂當時，原級數為,發散,收斂,發散.原級數的收斂域為.設 , 則 §11.5 函數展開成冪級數內容概要名稱主要內容泰勒級數麥克老林級數七個常用的冪級數展開式45678910例題分析1. 將下列函數展開成的冪級數:知識點：麥克勞林級數思路:以

21、函數冪級數展開式的唯一性作為依據,利用七個常用的冪級數展開式,通過,變量代換,逐項積分,逐項微分等方法歸為七個常用的冪級數展開式的形式,從而求得所給函數的冪級數展開式.(1); (2); (3).解：(1)又 令,則,(2) 利用法一：即,即.法二：注：1.展開時分子上的可以放在括號外面，暫不考慮。 2.兩種做法結果是一樣的.(讀者自己思考一下互換).(3)利用法一：， 而法二：（用冪級數的乘法）2. 將展開成的冪級數:知識點：麥克老林級數思路: 看作一整體,利用,故將寫成解：課后習題全解習題11-51.將下列函數展開成的冪級數,并求其成立的區間:(1) (2) (3) (4) (5) (6)

22、 解：(1) (2) ， (3) (4) (5) (6) 2.將函數展開成的冪級數.解：3. 將函數展開成的冪級數.解：4. 將函數在展開成的冪級數.解： 滿足且,即5. 將函數展開成的冪級數.解：6. 將函數展開成的冪級數.解：7. 將函數展開成的冪級數.解：8. 將函數展開成的冪級數.解：9. 積分定義的誤差函數在工程學中十分重要,試把它展開成的冪級數.解：提高題1. 將展開成的冪級數.思路: 把作一整體, 利用的展開式, 解：又2. 將函數展開成的冪級數解：,3. 將函數展開成的冪級數,并求的和.解：,又當時,由收斂.令,得 又,故4. 設將函數展開成的冪級數,并求的和.解：當時,.&#

23、167;11.6 冪級數的應用內容概要名稱主要內容余項結論滿足萊布尼茨條件的交錯級數,有例題分析1.求的近似值,使誤差小于.思路:因為它的原函數是不能用初等函數表達，所以先求的冪級數展開式，再逐項積分求的冪級數展開式，算出其近似值.解：1)先將展開成的冪級數.，2) 求的冪級數展開式.3) 算出其近似值.此為交錯級數，故，逐項計算，直到即可.取即可.注:當熟練后1)，2)可合并.2. 求的近似值,使誤差小于.思路: 令可得 此為交錯級數，欲,要取，計算量太大，故選一收斂較快的級數來代替它.解：令解得，以代入最后一個展開式，得取前四項作為的近似值，則誤差為課后習題全解習題11-61. 利用函數的

24、冪級數展開式求下列各數的近似值:(1)(誤差不超過)； (2) (精確到).解：(1)， 欲只要， 即 取.(2)，（弧度）此為交錯級數，故，計算所以 ， 故.2. 利用被積函數的冪級數展開式求下列定積分的近似值:(1) (精確到)； （2）(精確到).解：(1) 此為交錯級數，計算（2），此為交錯級數，故 欲只需.3. 求正弦曲線的弧長，并精確到.解： 又此為交錯級數，故，取到,計算.4.將函數展開成的冪級數.解：5.求下列級數的和:(1)(2)解：(1)思路:考慮 設 ,顯然其收斂域. 故 .(2)思路:考慮 設 ,顯然其收斂域,.提高題1. 求的近似值,使誤差小于思路: 利用解：此為交錯

25、級數，試算.2. 求的近似值,使誤差小于.思路: 利用解： (放大成等比級數)當時,3. 求的近似值,使誤差小于.解：此為交錯級數，故，計算.§11.7 函數項級數的一致收斂性內容概要名稱主要內容一致收斂(僅與有關而與無關)，當恒有 魏爾斯特拉斯判別法在區間上滿足：(1) ； （2）收斂，則在區間上一致收斂.一致收斂級數和函數的性質（連續性，逐項積分）若1.在區間內連續，. 2) 在內一致收斂 則 1) 和函數在區間內連續, 2)2. (逐項微分) 若1) 在內收斂; 2) 在區間內連續，;3) 在內一致收斂.則 1)在內一致收斂; 2) .例題分析1.證明：級數在區間上收斂且一致收

26、斂,但不絕對收斂.知識點：收斂域,一致收斂，絕對收斂.思路:先證明在區間上收斂，再證明一致收斂,最后證明不絕對收斂.解：1)證明在區間上收斂.為交錯級數且，有1) , 2) 交錯級數在處收斂，由的任意性知，級數在區間上收斂.2)證明一致收斂，由交錯級數的性質知欲只需取， 當時， 恒有 交錯級數在區間一致收斂.3)證明不絕對收斂.，由發散知發散，在處不絕對收斂,由的任意性知，級數在區間上不絕對收斂.注:由本題可知級數一致收斂不一定絕對收斂,還可說明絕對收斂不一定一致收斂.(看習題11-7的第7題).2討論在所給區間上的一致收斂性.知識點：一致收斂.思路: 用魏爾斯特拉斯判別法解： 而級數收斂，由

27、魏爾斯特拉斯判別法，原級數在區間一致收斂.課后習題全解習題11-71.證明：級數在區間上一致收斂.證明：此級數的部分和取，當時 恒有 故原級數在區間上一致收斂.2.設等比級數證明：(1)級數在上不是一致收斂到極限函數(2)級數在內部任意一個閉區間上一致收斂到極限函數解：(1), .取，對任意自然數，令故原級數在區間內不一致收斂.(2)取，當時 恒有 故原級數在上一致收斂到極限函數3.按定義討論在所給區間上的一致收斂性.解：此為交錯級數，取，當時 恒有 故原級數在區間上一致收斂.4.證明級數內絕對收斂且一致收斂.解： 時，而收斂，故原級數在區間內絕對收斂且一致收斂.5.討論下列級數在所給區間的一

28、致收斂性:(1)(1)(2)(3)(4)解：(1)因為 而收斂，由魏爾斯特拉斯判別法，原級數在區間一致收斂.(2)因為 而收斂，由魏爾斯特拉斯判別法，原級數在區間一致收斂.(3)因為 令，有故而收斂，故原級數在區間一致收斂.(4)因為而收斂，故原級數在區間一致收斂.6.求下列級數的收斂域:(1)(2)(3)解:(1)因為所以當且僅當,即時,原級數收斂;當時, 原級數為收斂;故原級數的收斂域為.(2)當充分大時，原級數為正項級數，且故，當時，收斂，原級數收斂；當時，發散，原級數的發散.故原級數的收斂域為.(3) 當時, 原級數為收斂;當時, 原級數無意義;故原級數的收斂域為.7.證明級數在上收斂

29、,但不一致收斂.解： 故原級數在上收斂,但和函數不連續，從而原級數不一致收斂.提高題1.討論的一致收斂性.思路: ，利用收斂性解：考察級數，收斂.， .由魏爾斯特拉斯判別法知，在上一致收斂性.2. 級數1)求收斂域； 2)證明級數在區間上是一致收斂的，；3)證明和函數在收斂域上是連續的.解：1)顯然為正項級數.，由比值判別法知,當即時，收斂，原級數收斂；當即時，發散，原級數發散,當,即時，原級數為發散.級數的收斂域為2); 而收斂級數在上是一致收斂的.3),則,使得.由2)可知級數在上一致收斂. 根據一致收斂級數和函數的性質知在上連續,故在處連續, 又為上任意性一點,，所以在區間上連續.

30、67;11.8 傅里葉級數內容概要名稱主要內容傅里葉級數(周期)傅里葉系數(周期)為奇函數為偶函數狄利克雷收斂定理例題分析1. 將下列周期為的函數展開為傅里葉級數, 討論其收斂性, 并求 .1)2). 知識點：傅里葉級數思路:先求傅里葉系數，再由收斂定理求傅里葉級數的和函數.解： 1) 求傅里葉系數因為為偶函數，所以.求傅里葉級數的和函數因為為連續函數，所以由狄利克雷收斂定理,.求 令,則有 所以,得.2) 求傅里葉系數，在內連續 且求 令,則有, 所以.注:本題1)，2)有區別，它們拓展的周期函數不同.但的結果是相同的.2. 將函數展開以為周期的余弦級數,設此級數的和函數為求和.知識點：傅里

31、葉級數，余弦級數思路:先求傅里葉系數，再由收斂定理求傅里葉級數的和函數.解：將函數作偶延拓，記為，則并定義,為上的連續函數.將展開成余弦級數，有 因為上的連續函數,故當時, ,并且;.習題11-81.把函數展開為傅里葉級數.解：將函數在區間上作周期為的延拓，仍記為.時，級數收斂到時，級數收斂到2. 設下列的周期為,試將其展開為傅里葉級數:(1)(2)(3)解：(1) 因為為偶函數，所以又所以,.(2)顯然 故有時，級數收斂到.(3)因為為偶函數，所以由三角函數系的正交性，僅當時，此時故3.在區間內展開為傅里葉級數.解：顯然為奇函數，所以.4. 在區間內將函數展開為傅里葉級數.解：顯然是第一類間

32、斷點，且 故有時，級數收斂到5. 將函數展開成傅里葉級數,并利用展開式,求的和.解：因為為奇函數，所以由于僅在處不連續，且故令 得 故 .6. 將函數展開成正弦級數.解： 將函數延拓成上的奇函數，則又延拓后的函數在間斷，在連續，所以；在處，右邊的極限收斂于，其中是延拓后函數的左極限，其值為：.7.將函數分別展開成正弦級數和余弦級數.解：(1)將函數作奇延拓，仍記為，展開成正弦級數.則所以,;在處，右邊的極限收斂于，其中是延拓后函數的右極限，其值為：. (與答案不同請核)(2)將函數作偶延拓，仍記為，展開成余弦級數，則所以,.8. 設是周期為的周期函數,證明:(1)如果，則的傅里葉系數(2)如果

33、，則的傅里葉系數證明:(1) 同理(2)如果，令。則9. 把函數在上展開成正弦級數，并由它推導出：(1)(2)解： 將函數作奇延拓，則所以 在處，右邊的極限收斂于在處，右邊的極限收斂于，(1)令 得 故 即.(2) 令 得 即 .10. 把函數展開成余弦級數，并由此求級數的和.解：將函數作偶延拓，則所以令即 （1） （2） （1）+（2）得：， 即 .提高題1. 設是上的偶函數,且,證明: 的余弦傅里葉級數展開式中.證明:令,則令,則.2. 設是以為周期的連續函數,并且傅里葉系數為(1) 求為常數的傅里葉系數；(2) 求的傅里葉系數，并利用所得的結果推出解：(1) 設的傅里葉系數為令同理(2)

34、 設，其傅里葉系數為易見是以為周期的連續函數，故令，即得§11.9 一般周期函數的傅里葉級數內容概要名稱主要內容傅里葉級數(周期)傅里葉系數(周期)為奇函數為偶函數狄利克雷收斂定理復數形式例題分析1. 將函數展開為以為周期的傅里葉級數.思路:先求傅里葉系數，再由收斂定理求傅里葉級數的和函數.解： 求傅里葉系數因為為偶函數，所以.求傅里葉級數的和函數因為為連續函數，所以由狄利克雷收斂定理,.2. 設周期函數在一個周期內的表達式為：展開為傅里葉級數.解：且由狄利克雷收斂定理在間斷點處, ,右邊級數收斂于；在間斷點處, ,右邊級數收斂于.課后習題全解習題11-91.(1). 設是周期為的周

35、期函數,它在區間上定義為.則的傅里葉級數在處收斂 3/2 (2)設函數而其中則 -1/4 2. 在區間上，函數的傅里葉系數是，函數的傅里葉系數是 ，若 ，則必有（ B ）.（A） （B）（C） （D）3.設周期函數在一個周期內的表達式為：試將其展開為傅里葉級數。解：時，級數收斂到.4. 設是周期為的周期函數,它在上的表達式為 將其展開成復數形式的傅里葉級數.解：時，級數收斂到5.將函數展開成周期為的余弦級數.解：依題意所以,. 總習題十一1.求級數的和.解：.故2.求級數之和.解：法一：.故原式法二：，3. 已知，級數收斂，證明級數也收斂.解： 因 收斂，設其項部分和數列為，則可設其中是的第項

36、部分和,則故級數收斂，其和為. 證畢4.判別下列級數得收斂性. (4)(1)(2)(3)(4)(5)(6)解：(1),當時， 級數為收斂于當時， 而發散,發散.注：利用(2)由比值判別法知,原級數收斂.(3) 由比值判別法知,原級數收斂.(4)法一： 由比值判別法知,原級數發散. 法二：由級數收斂的必要條件知,原級數發散.(5)由比值判別法知,原級數收斂.(6)由根值判別法知，級數收斂.5.證明：.證明：考慮級數,其通項為由比值判別法知,級數收斂.由級數收斂的必要條件知,. 證畢.6.求級限.解： 考慮級數,其通項為由比值判別法知,級數收斂.由級數收斂的必要條件知,. 7.討論級數的收斂性.解：當時， 級數為收斂;當時， 級數為發散.8. 設數列由公式決定,其中是正項級數的一般項,且,證明:級數收斂的充分必要條件是數列也收斂.證明：由，易由歸納法證；又由兩邊同時平方整理得，故從而 *必要性：級數收斂知收斂. 由*及比較判別法知,級數收斂.其項部分和數列極限存在,設 即數列收斂.充分性：數列收斂，記,設的第項部分和，則，故收斂，由*及比較判別法知收斂從而級數收斂. 證畢9. 判別下列級數的收斂性,若收斂,是條件收斂還是絕對收斂?(1)(2)(