1、第十一章 級數學習測試題答案1. 選擇題（1）A：由和收斂，則收斂，且因為，則由正項級數比較判別法知收斂。 B：若，則收斂，但是發散，所以結論不成立。但若和收斂，由正項級數比較判別法可知收斂。 C：因為發散，則由正項級數比較判別法可知發散。 D：若收斂，但發散。題目如要求為正項級數，則結論成立。（2）A：滿足題目要求，但為發散級數。B：令，則，可見其可以分解為收斂數列和發散數列和的形式，所以發散。 C：令，則發散。 D：由題，則絕對收斂。（3）由題，因為和都收斂，則由正項級數比較判別法可知收斂，即原級數絕對收斂。（4）A：令，則它們都收斂，但發散。B：令，則它們都收斂，但發散。 C：令，則它們

2、都收斂，但發散。 D：，都收斂，則，所以存在，當時，所以時，則絕對收斂。（5）A：收斂，但。B：由題收斂，則則其部分和數列存在，由P19 收斂數列有界性定理，所以有界。 C：收斂，但不存在。 D：若收斂，則存在，進而由數列收斂的柯西定理得到選項結果。 （6）由題，則。（7）由題，則所求的冪級數收斂半徑為。（8）A：發散，但收斂。B：收斂，且也收斂。 C： 收斂，但不存在。 D：所以以上三個結論均不正確。 收斂級數可以隨意添加括號，而不影響其斂散性，（9）A：由題，因為，都收斂，則收斂，則由正項級數比較判別法可知收斂，收斂。B：若，則它們均發散，且，但收斂。 C：若，則收斂，且，但發散。 D：由

3、題，且，都收斂，由正項級數比較判別法可知收斂，即絕對收斂。（10）由題收斂，則，所以存在，當時，即，而收斂，由正項級數比較判別法可知絕對收斂。（11）由題，則為有界函數，所以存在，使得，又收斂，則絕對收斂。（12）若收斂，則，若收斂，則。所以。（13）A：令，則但收斂， 發散，所以它們不是同時收斂同時發散的。說明一下發散：，由萊布尼茲判別法知，收斂，又發散，則發散。選項如加上其中一個級數為同號級數則由正項級數比值判別法知，同時收斂同時發散。B：正確，這時為同號級數，且，所以發散。C：若，則，但發散。D：正項級數收斂，但。（14）由題存在，當時，所以，當，收斂，則收斂。當，則，所以發散。（15）

4、A：，但發散。B：，但收斂。C：，但發散。D：，且單調遞減，則存在。但并不能保證極限不為零，如，則。（16）由題在半徑內一定收斂，則其收斂半徑。（17）由題，則，所以，則，即收斂半徑為。（18）考慮，則收斂域為或。（19）由題的收斂區間為，的收斂區間為，則。（20）由題，則，所以，則，即收斂半徑為。（21）由題表示所有正項的和，表示所有負項的和，所以若絕對收斂，有和收斂。若條件收斂，則和發散（否則若和收斂，則和絕對收斂，即絕對收斂，矛盾）。（22）由題，因為，都收斂，則收斂，則由正項級數比較判別法可知收斂，收斂。2. 填空題（1）。（2）由題或時級數收斂，和為。（3）有交錯級數萊布尼茲判別法可

5、知當，單調遞減且時， 收斂。（4）級數收斂的必要條件是通項極限為，即，即。 （5）若級數絕對收斂，則要求或。（6），所以收斂半徑為，收斂區間為，收斂區域為， 收斂半徑為，收斂區間為，收斂區域為，所以其收斂半徑為，收斂區間為兩收斂區間的交集，即，收斂區域為兩收斂區域的交集，即。（7）。（8）。（9）。（10）由反三角函數和差化積，。（11）由題，所以。（12）。（13）由題級數的收斂半徑為，所以收斂區間為由發散，收斂，則為收斂區域的右端點，所以，即。（14）收斂，則收斂，則只能，所以 或。（15）由題，所以，由正項級數比值判別法可知收斂，即要求。（16）由題，則，則，即所求級數的收斂半徑為。（1

6、7）由題單調遞減且有解，則存在，且（若等號成立，則與交錯計數萊布尼茲判別法矛盾），則。（18）顯然，都收斂是收斂的充分條件，但即使收斂，都發散，所以非必要條件。（19）顯然后者的收斂區間為前兩個級數收斂區間的交集，即。（20）由題，則，即收斂區間為，。由題在端點處皆不收斂，所以收斂域為，。（21）由題，所以。（22）由題，考慮，所以所求級數收斂半徑為13. 解答題一（1），由此。所以。（2）由題級數通項為，因為，則級數發散。（3）由題，則所求級數收斂且其和為。（4）由題，由正項級數比較判別法的極限形式知級數收斂。（5）因為，則由正項級數比較判別法的極限形式知 與同時收斂，同時發散，所以當時收斂

7、，當時發散。（6）因為，則由正項級數比較判別法的極限形式知與同時收斂，所以收斂。（7）因為，則由正項級數比值判別法知收斂。（8）由題，則由正項級數比較判別法知收斂。（9）因為，則由正項級數比較判別法的極限形式知與同時發散，所以發散。（10）由題，則，與同時收斂，同時發散，時，發散，發散，所以當時，即時，收斂，當，即時，發散。（11）由題，則。（12）因為，則由正項級數比較判別法知收斂。（13），其中，則由正項級數比較判別法的極限形式知收斂。（14）由題（否則由交錯級數的萊布尼茲判別法知 收斂），則，所以，則當時，即時，收斂，當時，即時，發散。（15）由題當時，即時，收斂，當時，即時，發散。（1

8、6）使用正項級數積分判別法可知，所以級數發散。（17）因為，則與同時發散。（18）由題當時，則，收斂，收斂， 時，發散，發散，所以當時，即時，收斂，當，即時，發散。當時，級數顯然收斂于。（19）令，所以，則由正項級數比較判別法的極限形式知發散。（20）令，則，所以，所以由正項級數比值判別法可知級數收斂。二（1），所以級數不絕對收斂，單調遞減且趨近于，由交錯級數的萊布尼茲判別法知條件收斂。（2）因為，則級數發散。（3）因為，則由正項級數比較判別法的極限形式知不絕對收斂，但單調遞減且趨近于，由交錯級數的萊布尼茲判別法知條件收斂。（4）因為，則發散。（5），則由一般級數的根式判別法知絕對收斂。（6）

9、因為，由正項級數比較判別法的極限形式知不絕對收斂，但單調遞減且趨近于，由交錯級數的萊布尼茲判別法知條件收斂。（7）因為，則由正項級數比較判別法知絕對收斂。（8），所以發散。（9）因為，所以由正項級數比較判別法的極限形式知不絕對收斂，但單調遞減且趨近于，由交錯級數的萊布尼茲判別法知條件收斂。（10）當，即為奇數時級數化為，因為，所以由正項級數比較判別法該級數收斂。當，即為偶數時級數化為，因為，所以該級數發散。進而原級數可化為收斂級數、發散級數和的形式，所以原級數發散。三（1），所以收斂半徑為，收斂域為，。（2），所以收斂半徑為，收斂域為，通過逐項積分可化為，再求導可得原級數的和函數。（3），所以

10、收斂半徑為，收斂域為，對逐項積分可得，再求導得，則原級數。（4），所以收斂半徑為，在端點處為也絕對收斂，所以收斂域為，考慮，先逐項求導可得，再求積分可得，但當時級數為，則。當時，對逐項求 導得，再積分得，但當時級數為，則，所以原級數。（5），所以收斂半徑為，收斂區域為，將逐項積分兩次得，再求導兩次得，所以。（6），所以收斂半徑為，所以，即收斂區域為，將逐項積分得，再求導得，所以。（7），所以收斂半徑為，所以收斂區域為，而。（8），所以收斂半徑為，所以收斂區域為，。（9），則收斂半徑為，所以收斂區域為，將逐項求導得，再求積分可得，注意當時，級數和為，則，即。（10），所以收斂半徑為，收斂域為，將

11、逐項求導得，再求積分可得，因為時，級數和為，所以，即。四（1）考慮部分和函數，因為收斂，則存在，即，所以數列有界，存在，使得，所以，則有正項級數的比較判別法知絕對收斂。（2）因為收斂，可令，正項級數收斂，則其部分和數列有界，則存在，使得，考慮部分和數列，則部分和數列有界，收斂。（3）由題，則，所以，因為，則，由收斂。（4）因為，考慮使用積分判別法，所以收斂。（5）由題表示所有正項的和，表示所有負項的和的絕對值，且因為條件收斂，則和都發散（否則若收斂，則收斂，即收斂，則絕對收斂）。所以，其中，而由于條件收斂，則其部分和數列極限存在，所以。（6）首先，由于此級數的前項的和中每個括號內的數大于零，故

12、是個單調遞增數列，有上界從而可知存在且不超過，由于此級數當時收斂，故當時。下面我們證明級數和不小于。仍然考慮前項的部分和，有，其中，這里，由于及，即得，此處（當時），于是對于，存在，當時，有，這時有。但由于，而或，所以當，即，所以級數的和，由的任意性可知，。綜上可知。（7），所以。（8）由題，由于，所以由極限的保號性質知，等號不可以去掉，例如，則，但。五（1）考慮，對逐項求導得，收斂域為，再積分可得，因為，級數和為，所以，即，收斂域為，所以，所以。（2）考慮，將其逐項積分得，收斂域為，在求導可得，收斂域為，所以。（3） ，因為，所以由正項級數比較判別法的極限形式可得收斂，且。（4），收斂域為，當時，級數的誤差，這時。（5）考慮，將逐項積分得，收斂域為，再求導可得，收斂域為，所