1、小升初面試第二階段數(shù)學(xué)課程 -游戲必勝的策略第一部分 思維提升（ 45 分鐘）我國古代有一個(gè)“田忌賽馬”的故事；齊王經(jīng)常要求將軍田忌和他賽馬。規(guī)定各從自己的馬中選 上等馬、中等馬、下等馬各一匹，進(jìn)行三場比賽，每場各出一匹馬。每勝一場可得一千金。 田忌的 這三個(gè)等級(jí)的馬都不如齊王的好。但田忌的上等馬要優(yōu)于齊王的中等馬，田忌的中等馬要優(yōu)于齊王的 下等馬。田忌的朋友孫臏給他出了一個(gè)主意，叫田忌用下等馬對(duì)齊王的上等馬，上等馬對(duì)齊王的中等 馬，中等馬對(duì)齊王的下等馬。結(jié)果，田忌先負(fù)一場然后連勝兩場，反而贏了一千金。這個(gè)故事是對(duì)策 的一個(gè)典型例子。他告訴我們：在競爭時(shí)，要認(rèn)真分析研究、尋求并制定盡可能好的方

2、案。利用它取 得盡可能大的勝利，或在勝利無望的時(shí)候，也不至于輸?shù)锰珣K。這種思想在 20 世紀(jì)形成了對(duì)策論這 門新興學(xué)科。下面我們就根據(jù)這個(gè)理論來想一想對(duì)策：例 1、兩個(gè)人輪流數(shù)數(shù)，每個(gè)人每次可以數(shù)1 個(gè)、 2 個(gè)、 3 個(gè)，但不能不數(shù)。例如第一個(gè)數(shù) 1、 2，第二個(gè)接著往下數(shù) 3，也可以數(shù) 3、4，還可以數(shù) 3、4、 5,。如此繼續(xù)下去，誰先數(shù)到 100，誰就算勝。 請(qǐng)?jiān)囈辉嚕鯓硬拍塬@勝？分析：要搶到 100，必須搶到 96.這時(shí)另一個(gè)人只能數(shù) 97 或 97、98 或數(shù) 97、98、 99，無法數(shù)到100。如何才能搶到 96 呢？有必須搶到 92.以此類推，得到一列數(shù) 92、88、84、,

3、 、 4.只要搶到這些數(shù)中的任何一個(gè)，然后當(dāng)對(duì)方報(bào)a個(gè)數(shù)時(shí)（K aw 3）時(shí)，就報(bào)（4-a）個(gè)數(shù)，這樣就能搶到這個(gè)數(shù)列中的上一個(gè)數(shù)，直到搶到 100.但無論第一個(gè)人報(bào)什么數(shù)，第二個(gè)人都可以搶到 4n（ n=1、2, ）因此第二個(gè)人就有必勝的策略。只有 在第二個(gè)人產(chǎn)生錯(cuò)誤時(shí)，第一個(gè)人才能獲勝。思考：如果將 100改為 101 或 99，其他條件都不變，先數(shù)的人能否獲勝呢？ （是否還是搶 4呢？）例 2、有兩堆火柴，一堆 16 跟，一堆 11 跟。甲乙兩人輪流從中拿走 1 根或幾根甚至一堆，但每 次只能在某一堆中拿火柴，誰拿走最后一根誰取勝，問甲如何才能取勝？分析：這是另一類對(duì)策游戲。我們先考慮特

4、殊情況。當(dāng)兩堆中的火柴根數(shù)相同時(shí)，后取者只要根 據(jù)先取者的取法， 在另一堆中取相同的根數(shù)， 就能保證取到最后一根。 對(duì)一般情況可以化為特殊情況。 解：甲從 16根的那堆中先取出 16-11=5 根，是兩堆火柴根數(shù)相同。然后每次根據(jù)對(duì)手取得根數(shù)在另一 堆中取相同的根數(shù)，是兩堆火柴根數(shù)保持相等，直至取到最后一根火柴而獲勝。 說明：當(dāng)乙先取時(shí)，如果他不知道獲勝的策略，那么甲可以利用已的錯(cuò)誤取勝。例3、一張3X 10的長方形網(wǎng)格紙有 30個(gè)小方格。甲乙兩人輪流用剪刀沿方格紙直線剪一刀。（只能沿直線剪，否則為輸）甲將一份分為兩份， 選送一份給乙；乙按要求剪一刀后，選一份再送給甲” 如此重復(fù)進(jìn)行，誰送給對(duì)

5、方一個(gè)方格，誰就獲勝。甲要想獲勝，有何策略？分析：送給對(duì)方一個(gè)正方形的方格紙，這時(shí)后剪的都可以使圖形再變成（更小的）正方形，知道 取勝為止。解：甲先剪下7 X 3的一塊，把3 X 3的那塊送給乙。乙只能剪成 1X 3和2X 3的兩塊。若送給甲 1X 3的那塊，正好使甲剪下 1X2而獲勝。若送給甲2X 3的那塊，那么甲再一刀剪成 1X 2和2X 2的 兩塊 ，把2 X 2的送給乙。乙只可能切成 1 X 2的兩塊。其中一塊送給甲，甲還是獲勝。同學(xué)們，這種方法你考慮到了嗎？你會(huì)不會(huì)再遇到問題時(shí)，先動(dòng)腦筋想辦法。例4、甲乙兩人輪流在黑板上寫不超過10的自然數(shù)。游戲規(guī)則：不允許寫黑板上已寫過的數(shù)的約數(shù)。

6、輪到誰無法寫數(shù)時(shí)，就是輸者。現(xiàn)甲先寫，乙后寫，問誰能獲勝？需要什么對(duì)策？ 分析：仍然利用對(duì)稱原理。搶先給對(duì)方制造一個(gè)對(duì)稱。只要甲先寫6.解：甲先寫6。乙還有4、5、7、8 9、10六個(gè)數(shù)可以選擇。把他們分成三組（4,5）、（8,10）、（ 7,9）。乙寫某組數(shù)中的一個(gè)時(shí)，甲就寫同組數(shù)中的另一個(gè)，從而一定獲勝。例5、在4總的方格紙上有一粒石子，它放在左下角的方格里。甲、乙二人玩游戲。由甲開始，二人交替地移動(dòng)這粒石子。每次只能向上、向右或向右上方移動(dòng)一格。誰把石子移到右上角誰勝。問 甲要取勝的策略是什么？解：要占領(lǐng)右上角必須先占領(lǐng)圖中打點(diǎn)的格子，甲先走入打點(diǎn)的格子，乙無論如何走，甲都可以再走入打點(diǎn)

7、的格子，甲一定勝。鞏固練習(xí)：1、甲乙兩人輪流報(bào)數(shù)， 每次報(bào)的數(shù)必須是 1至8之內(nèi)的自然數(shù)。把兩人報(bào)的數(shù)逐次相加， 誰正好 使和達(dá)到88,誰就獲勝，甲欲取勝，有何策略？2、桌面上有 1999 根火柴，甲甲乙兩人輪流的取 1根或 2 根，誰取到最后一根火柴誰獲勝。問獲 勝的策略是什么？3、有兩個(gè)箱子分別裝有 63、108 個(gè)球。 甲乙兩個(gè)輪流在任意箱中取球， 規(guī)定取得最后一個(gè)球的為 勝。甲先取，他應(yīng)如何取才能取勝？4、現(xiàn)有三堆火柴，分別為 3、5、8 根。兩人輪流取，每次可以取走其中的一堆，也可以取走一堆中的若干根（一次不能從兩堆中取，最少要取一根） 。誰取到最后一根或一堆，誰獲勝。先取的人要保

8、證獲勝的策略是什么？5、把 16 枚棋子排成一行。甲乙二人輪流取走棋子，每人每次可以取走緊挨著的兩枚（如果兩枚 棋子當(dāng)中已經(jīng)有其他棋子被取走，就不算緊挨，就不能同一次取走）如果在甲取走棋子后，乙再也找 不到緊挨著的兩枚棋子可以取，甲獲勝。甲有獲勝辦法嗎？第二部分 學(xué)科知識(shí)（15分鐘）統(tǒng)計(jì)與可能性1什么叫中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)？常見的統(tǒng)計(jì)圖有哪些？說說其各自的優(yōu)點(diǎn)。2. 有一組數(shù)據(jù)：4、4、2、4、6、4、2、10、4、6、4、4。這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（），中位數(shù)是（），眾數(shù)是（）。3. 一組數(shù)據(jù)：42,44,44,46,48,48,48,48,50,51,51, 56。這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（），中位

9、數(shù)是（ ）,眾數(shù)是（。4. 把數(shù)字4、5、6分別寫在三張卡片上，任取兩張卡片擺放成兩位數(shù)，是奇數(shù)淘氣贏，是偶數(shù)笑笑贏。笑笑贏得的可能性是（）。5. 在一個(gè)裝有2個(gè)黃球和2個(gè)紅球（它們除顏色外完全相同）的袋子中摸2個(gè)，摸到2個(gè)都是紅球的可能性是（）。6. 對(duì)于數(shù)據(jù)3,3,2,3 , , 6, 3, 10,3,6,3,2 。以下的結(jié)論正確的是（）。A.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是 3B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)不同C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)與平均數(shù)相同D.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)與平均數(shù)相同7. 拋3次硬幣，有2次正面向上，1次反面向上。請(qǐng)問：第4次拋硬幣正面向上的可能性是A.B.C.D.8.六（2。班一組7名同學(xué)擲沙包比賽的成績統(tǒng)計(jì)如表所示，回答問題。姓名ABCDEFG成績（m）18.821.8252321.819.519（1。這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是（。，中位數(shù)是（。，眾數(shù)是（）。（2。你認(rèn)為用（。來表示這組數(shù)據(jù)的一般水平更合適。（3。如果再增加一名同學(xué)H的成績20.4m，這組同學(xué)的中位數(shù)是（）。9. 廣州某學(xué)校圖書館為增大學(xué)生的閱讀量，人均占有的圖書冊(cè)數(shù)逐年增加，該校2006年至2009年每年的學(xué)生總?cè)藬?shù)和人均占有圖書冊(cè)數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果分別如下圖:(1) 該校2006年有學(xué)生()人，每人擁有圖書()冊(cè)。(2)