1、第十章 電磁場的量子化在輻射場的作用2原子的波函數0(幾/)所滿足的薛定譜方程為：iti屮=+ H')y/(10 0 1)dt在經典極限情形，原子是粒子，滿足經典力學粒子運動方程。經過量子化得出的薛定仍方程，卻賦予 原子以波函數0(廠,/)的描述。同樣在經典極限情形光滿足Maxwell方程，波場經過崑子化后便給出光場的 粒子即光子描述。當然，實際上,場的屋子化不僅適用于光場，也適用于滿足薛定諄方程的物質波場(廣,/)。 雖然(幾/)經最子化后又回到但不定簡單地回到粒子，而是由單粒子理論向多粒子理論的轉化。掖瑩要的 是包含了粒子的產生與湮滅算符及算符對易規(guī)則所蘊含的粒子統(tǒng)計。2月習慣上稱

2、由經典的能量守恒£： = +v(r,r)出發(fā)，應用算子法E/7/, pT-i力V得出薛定謖2 mdt方程(10.0 1)為一次屋子化，而由(/,/)出發(fā)應用場算子的對易規(guī)則使場量子化為二次量子化。光與原子 柑互作用本身就包含了場與粒子兩個方面。故只討論由粒子得出物質波(/*,/)所滿足的薛定潯方程(10 01) 是不夠的。還必須討論電磁場及物質波場0(?*,/)的量子化，由此得出的粒子表象也是全量子化理論中常用 的表象。電磁場的量子化是量子光學中一個覓要的基木問題。人們對光亦即電磁波場的認識，是經歷了一個漫 長過程。在經典力學范圉內，繪先有牛頓的光微粒假設，后來有惠更斯的波動學說，最

3、后定論在Maxwell 的光的電磁波理論。在量子力學范國內，最先冇黑體輻射的簡諧振子理論，后來冇愛因斯坦為了解釋光電 效應提出的光子學假說。如何將電磁波與光子學說統(tǒng)一起來，就是我們要討論的電磁場的最子化問題。10.1光場的量子化在研究光與物質相作用，有些現象，如激光現象必需用全量子理論才能解釋。因此首先要將光場量子 化。10.1.1單模光場的量子化在真空中，MKS單位制下的麥克斯韋方程為：244Vx/ = dtp “ OBdtVxB = 0(10.1 la)(10 1 lb)(10 1.1c)Vx£ = 0(10 1 Id)B = &H(10 1 le)(10.1 If)24

4、5#考慮偏振方向在x方向的諧振腔內的駐波場,#(10 1 2)#式中，譏/）是光場的時間部分，sinfc是光場的空間部分（駐波），N幾是歸一化系數。由(10 1 la)有:(101 3)&H dEv將（101.2）式代入上式.可得:#這樣有:(10 1 4)#(10 15)Hv = - j eoq(t)Nn sinRwdz =¥今(/)川” cosfc考慮到其中:則仃:(10 1 6)q(t)Nn cos kz#246則,(10 1 7)(10 1.8)#(10 1 9)再利用方程(10.1 lb),則有:遲 0H、將E(,H、.，即式(10 1 2)和(10 18)代入上式

5、，可得：/>(0 = -。曲)將(10 17)式入上式，可得到頻率為。的諧振子方程:q(t) = -Q2q(t)將(10 1 7)和(10 1.10)寫成哈密頓方程的形式,如下:dHq = dpdH由(1017)、(10 1.10)和(101 12), nJ知，哈密頓彊為:H = 1q(/?2 + 2)乙作如下變換：q = y/MClq9(10 1 10)(10 1 11)(10 1 12a)(10 1 12b)(10 1 13)(10.1 14a)(10 1 14b)上兩式代入(101.13)式，有：H = -(Mq,2+ P,2)2M(10 1 15)上式與簡諧振子的哈密頓量完全一樣

6、，Mft當于振子的質量。在簡諧振子屋子化時，曾引入對易關系:燈=澇由(10 1 14)式，q和p也自同樣的對易關系:g,p=/方(10 1 16)(10 1 17)下面求出歸一化常數N”，利用電磁場的哈密頓鼠的公式，并將代入，則有:H =丄 jr0E; + dxdydz =丄sin2 p2 cosJJay/vJz2 2(10 1 18)如果諧振腔的截而各為S ,長度為厶和siirfc積分為:248(10 1 19)5 = j dxdy =sin2 kzdz =cos3 kzdz =中厶上式代入(10 1 18)式，并注意諧振腔的體積為：V = LS,所有有:& + p2)(10 1 2

7、0)比較(10丄15)和上式，可得:(10 1 21)249(10 1 19)#(10 1 19)與簡諧振子的量子化過程一樣，引入產生算符和湮滅算符d和它們與g和卩的關系是:q =占(十+Q)利用q和的對易關系，并將上式代入(10117),有: 浦=g, p = i|(a+ + a),(a - a) = i»a9a+ 即有：a,a+ = l(10 1 22a)(10 1.22b)(10.1 23)#(10 1 19)#(10 1 19)將q和N”的表達式(10 1 22a)和(10 1.21)代入光場的表達式(10 12),有:(10 1 24)E (z,r) =+ «+)

8、sinkz = EQ(a + a+)sinkz式中：#(10 1 19)#(10 1 19)(10 1 25)#(10 1 19)#(10 1 19)是一個光子的電場。(10 1 26)將q,卩和N”的表達式(10 122)和(10 1.21)代入H的表達式(10 113),有:H = -ft0(十 + a)(a+ + d)9(a+ - a)(a+ - a)=力Q 4這樣，可以得到H和+的對易關系如下:#(10 1 19)#(10 1 19)H,a=方=力= 一力 Gd(10.1.27 a)#(10 1 27b)250(10 1 27b)rf海森堡方程可證明d和分別對就于光場的正頻部分與負頻部

9、分,d(t) = Hya = -力 Qd hd+(Z)=力 Gaa(t) = g(0)嚴at)=叭0)嚴(10.1 28a)(10 1 28b)(10 1.28c)(10 1.28d)10.1.2光子數態(tài)由于簡諧振子在量子光學中的重要性，下邊求出光子數算符G和G*的本征態(tài)，即光子數態(tài)W。(101 29)HaH = aHJiClaH= h(co- G)d|H(10 1.30)因此a|H也是能戰(zhàn)的本征態(tài)，但本征值是K(o- Q) o由于d使能彊降低力Q,所以稱為湮滅算符。電復使用湮滅算符，便得到真空態(tài)，其本征能屋/低，記為力嗎,6?|0)= 0由式(10 1 31)和式(10 1 26)式,可求出

10、真空態(tài)的本征能量,(10 1 31)W|0)=fiQ心+分。弓方閔0= AQ2力Q就稱為零點能帛:o2(10 1 32)(10 1 33)同樣可以分析d+的作用，利用式(10 1.27b),考電阿 0=+ 機W|o=(10 1 34)因此的作用是把能最增加口 將(廣連續(xù)作用次.將得到的本征態(tài)稱為“，本征值為方©日(°+)"|0=(訕。+ £力。(d+)"|o(10 1 35)251(10 1 36)(10 1 37)(10.1 38)(10 1.39)(10 1 40)(10 1 41)(10 1.42)(10 1 43)(10.1 44)(1

11、0 1 45)因此，+)”|0的能量本征值是Ti(on =川力G +扌力G因為川 H | =力G (aN + 扌)葉=MG + 牛 /Q則有打 | a+a |= n下面求出d和作用于®的公式以及W的歸一化的形式。由式(10 130)可知，a作用足使光子數減少一個，an)=Snn-l)由于a不是厄米算符，所以S”是復數，將式(10138)兩端取共軌， 何/=(a|/»f = S：a_l|將式(10 1 38)與式(10 1.39)相乘川a+a|=| SJ3 (n-l|n-l)=| Sn |2= nS”的相位是任意的，我們令它的相位為零。則S” = &,a|n) = V

12、n|n-1)另一方面，產生算符a*使光子數增加一個曲"+ 1何。=臨n + l川 aa+1 /) =| Sn+112,川 aa+1= (zz | (aa+ + l)|/?)=/? + lS 沖=由式(10 145)還可以看出，W的歸一化形式足252(10 1 36)#(10 1 36)=總(訶0>(10.1 46)#(10 1 36)#(10 1 36)容易看出是.卜是a+a的本征態(tài)#(10.1.47)(10.1 48)與簡諧振子一樣，也可以寫出本征函數在坐標表彖中的表達式，引入新的變最？.有 則本征函數血=7冊。光子數態(tài)山的一個重要而有趣的性質是光場的平均值為零(10 1 4

13、9)川 Ea | 心=| £q(d + a+)sinkz = Eo (a + a+)sinRz | ) = 0同樣，H、的平均值也為零(10 1 50)川 H、I “) = 0然而，光強的平均值卻不為零(10 1.51)川I丄馬是零點振動的光強，處；那是舁個光子的光強，I月此就是一個光子的光場2既然|“表示有個光子的態(tài)，為什么光場的平均值為零呢？這是因為，光子“與申 量，滿足測不準關系，既然態(tài)“的光子數是莊全確定的，就必然使相位完全混亂，頻冷 混亂的電場的測量便是零。10.1.3矢量勢的量子化利用矢量勢與光場£的關系式£(乙/) = -?人(乙/)Ot考慮到254

14、°(0)嚴(10 1 53)255#10.1.4行波場的量子化與駐波場的量子化方法相似，也可対行波量子化。(10 1 54)(10 1 55)#Q憶/)=x饑a+町)鈕k乙(10 1 56)(10.1 57)(10 1 58)(10 1 59)10.1.5多模光場的量子化多模光場可以看成許多單模光場的疊加,U，訃無對于第S個模，町叮=倫卜+分乞若多模場的第1Z3,*模內的光子數分別是厲,心,嗎,則多模場的本征態(tài)是M恥幾(10 1 60)或簡記為#(10 1 61)I 吧 )=|K)=n r 1°) $ ns 第s個模的算符只影響該模內的光子數，as WS ©、=扳

15、卩例$ _ 1 ”*工工工贏爲嘰卩*% n2口(10 1 62)10.2光子的相位算符從上節(jié)的討論中，我們可以看到算符“和分別對應丁經典場的正頻分量和負頻分量的振幅，而沒仃 電磁場的相位。并且證明了在光子數態(tài)表象中，光場的平均值為零，即川&山=0。這是由于在于光 子數確定時，柑位變成完全無觀則，光子數與相位是一對測不準最。這一節(jié)，我們討論相位算符的概念與 性質。10.2.1光子的相位算符在經典的電磁場理論中，通常把復數振幅寫成實數振幅與相位因子的乘積。與此相似，也可以把d和(廣寫成振幅與和位因子的乘積。考股到實數振幅対應丁厄米算符，以及仃aa+ = n + 1(10 2 1)可以把丁喬

16、了看成ifeftb冉引入相位算符這樣何:a = & + le"(10 2 2)(10.2.3)可以證明.在適當的極限下，心與經典場的相位存同樣的物理意義。從a和丁的性質，容易知道這樣定義的相位算符的性質，將式(10.2 2)和式(10二.3)變?yōu)?(10.24)(10.15)將兩式左右兩邊分別相乘，并考慮aa = ii + l.則257e" =1(10.2 6)但是rh于4)是算符，不滿足乘法交換律。(10 2.7).1= l_a a71 + 1顯然，71 »1.式(1026)和式(10 2 7)相等，這說明光子數很多時，最子理論便過渡到經典理論。(10

17、2 8)由式(10 2 4)和式(10.2 5),可以計算相位算符對光子數態(tài)同的作用為:“-10 /? = 0(10 2 9)(102.10)相位算符的矩陣九為:=1,畀 +11 e-1* | 打)=1(10.2.11)其他的矩陣元都是零。這與0和/矩陣元相似。上面的方程顯示了相位算符的性質。但由式(1024)和式(10 2 5)可以看出，相位算符井不是厄米算符，內此不代表可測的物理屋。但是口J以由定義如卜呃米算符:< + e'1*cosO = ex*2L sind>=r2iL上述算符具有如下性質：卄 一 11 cos |=扌，一 11 sin $ |*cos d>,

18、 sin 4>J = -a+(n+l)-1a-l21(10 2 12)(10 2 13)(10.2 14)(10 2 15)258e" =1(10.2 6)#e" =1(10.2 6)這表明cosd)和sind還足非對易的，因此不能同時精確測量它們。由上式還可以看必 只有下面矩陣元不為零(102 16)其他矩陣元都為零。由a和對易關系與相位算符的定義，可以它們與光子數算符力的對易關系。#n,a = -a(10.117)259n,a = -a(10.117)ii,a=a+/i,ex* = -e,*幾尹十$(10 2 18)(10 2 19)(102.21)幾 cos =

19、-i sin (10 2.22)AA幾 sin =i cos 如果令C三cosbs三Sind),則量子力學關于平均值和均方基的定義，可得:泌C冷|泌S 斗 |C|Zr(10 2.23)(10123)上兩式表明光子數與相位不能同時荊確地測量。這是量子化電磁場與經典電磁場的根本區(qū)別。町定義一個量f/,則有U 三(An)2(AS)2 + 0C)2< S >2 + < C >3(10 2 24)10.2.2相位算符的本征態(tài)上面我們可以看到，光子數算符方的本值態(tài)W，那么相位算符的本征態(tài)是什么呢？由于相位算符 cosb和Sind)表示了量子化的電磁場的性質。在計算中可以只選擇相位算

20、符cosd,因為另一個算符 sind的計算相似。按照式10 215), cos6和sind是非對易的，因此它們不能同時精確測量，也就沒有共同的本征態(tài)。 但是，由式(10.216)只有(0|cosd),sind)|0)這個矩陣元不為零，這樣，在一定的極限條件下，cos 6和 sinO卻可有共同的本征態(tài)|0。將|0定義為全部的光子數態(tài)W的線性疊加，但每個卜的權重是相位因子e網，即冇：|0=帆($ + 1嚴乞牛In=0考慮cos4對9的作用，在STS的極限條件下，有(10.2 25)260(10126)(10 227)(10.2 28)同理可證:(10 2 29)(10.2 30)sts的極限條件，

21、就是光子數趨于無限人。這時，量子理論過渡到經典理論，|0變成cos $和sin 4)共 同的本征態(tài)，$具有相位角的含義。10.3光子數態(tài)和相位態(tài)的性質前兩節(jié)我們引入了光子數態(tài)和相位態(tài)|0)，下面我們簡單討論其性質，并與經典電磁場進行比較。10.3.1單模光子數態(tài)的性質光子數態(tài)，就是光子數完全確定的態(tài)。對這樣的態(tài)，允子數的測不準量為零，即A/» = 0(103 1)在光子數態(tài)中，相位算符的期待值分別是：(103.2)如果排除72 0的態(tài)，則有:(10 3 3)由最子力學的平均值的定義.可知(10 3 4)(10 3 5)但是我們知道肖0在02兀內無規(guī)則分布時，有卜式:(10 3 6)2

22、62也有:相訟吶0噲如她4(10 3 7)263#這表明0是在02兀之間無規(guī)則分布的。因此，對于光子數右精確值的態(tài)W，相位0是在02兀之間無規(guī)分布的。單模光子數態(tài)的這個性質，可以用圖1031表示。對于單模行波場，由式(10.1.55),(10 3 8)(10.3 9)川 E| = 0(10.3 10)圖10 3.1表明.頻率為Q的單模電磁場，其振幅是有確定的值.但是相位是在02兀之間無規(guī)則分布的,其中每個止弦波的頻率都是G,振幅都有起伏值但是這些止弦波的柑位是混亂的。肉此vE=0,但是0 工0。#(103 11)(10 3 12)田10.3.1單模光子數態(tài)“的光場在一個固定點隨時間的變化振幅是

23、固定的.但相位是在0271之間無規(guī)則分布的10.3.2單模場的相位態(tài)單模場的相位態(tài)，當STS時，由式(10 2 27)和式(10 2.29)可知相位有確定的值，故測不準量為零,Acos = 0,Asin=0但這種情況下,光子數卻是不確定的,即:0|川0=巴三*26401 fl2 I 0)= lim 5(25 4-1)(10.3.13)因此光子數的起伏是無窮人，(10.3 14)A/z = lim 一(5 + 2)5 -> co 8口2當STS.其中的求和是按s3匕發(fā)散的.因此vE>ts。電場的測不準最也是無窮大。但是電場的頻率G和相位0是固定的。圖10 3 2顯示，光場是無窮多個振

24、幅不同但G和0固定的波的疊加。這樣，腔內的 光子數是完全不確定的。圖10.3.2單模相位態(tài)|0的光場在一個固定點隨時間變換：相位是完全確定的.但振幅是在0S之間無全不確定的由式(10 3 12)看出，在相位態(tài)V>TS,這就意味著從真空態(tài)激發(fā)的能最的期待值也是無窮人，這 在實際實驗中能否實現值得討論。我們之所以討論相位態(tài)，主要目的就在于說明量子化的電磁場的相位與 光子數不可能同時確定。10.4相干態(tài)從光子數態(tài)|和相位態(tài)|0的討論可以看出它們與確定的振幅和確定的相位的經典電磁場差別是很 人的。因此.為了尋找和研究與經典電磁場相似而且當光子數很人時即過渡到經典電磁場的光子態(tài)是有重 要意義的。這

25、樣的光子態(tài)，最接近經典電磁場，而且可以證明，這樣的光子態(tài)是完全相干的(相干度等于 1),因此，稱為相干態(tài)。從測不準關系來看，相干態(tài)是介丁光子數態(tài)|和和位態(tài)|0之間的情況，即相干態(tài)的mho, cos0 = O, 和Acos0由測不準關系決定。但是當光子數"趨于無限大時，過渡到M = 0和COS0 = O。這就是仃穩(wěn)定的振福和相位的經01!電磁場。265相干態(tài)在激光物理光和崑子光學中的更要性在于：(1)它在電磁場的屋子理論與半經典理論間起著橋 梁作用。經典電場等于量子化電場在相干態(tài)中的平均值，當光子數趨向無窮人時，量子化的電磁場即過 渡到經典電磁場。(2)它是處理激光及其與物質作用的許多

26、問題的重耍理論工具。特別是使用相干態(tài)時， 能深刻揭示激光全量子理論的3個學派：拉姆學派、拉各斯和路易塞爾學派、哈肯學派的理論的內在聯(lián)系。 (3)當激光遠高于閾值工作時，激光器產生的激光就是相干態(tài)的光子。10.4.1相干態(tài)的定義相干態(tài)記為相干態(tài)的定義有三種：(1)相干態(tài)是光子湮滅算符的本征態(tài)，町表示為：aa)(104 1)C)相干態(tài)是由位移算符D(a)作用于真空態(tài)產生的，即(10 4 2)(10 4 3)(10 4 4)a=D(a)Q)D(a) = e_2 e"G)滿足下列的分解規(guī)則的光子態(tài)稱為相干態(tài)，|汐(不)嚴(©)嚴(x»嚴(訓=口“-)(齊)嚴(兀其中“一)

27、和“+)是與d和/成比例的算符。我們采用第一種定義，并且這樣定義的相干態(tài)具有式(10 4 2)和式(10 4 4)表示的竹:質。由于單模電磁場町分解為正頻利負頻分量，所以,E (z,/) = EQ(a + a+) sinkz = (+) + E(_)(1045)E(+) = EQa sin kz(10 4 6)E =Eoa+ sinfc(10.4 7)rtl相干態(tài)的定義(10 4 1)及E(+與d的關系(10.4 6),有：aa)=aa)tEa) = E0a)(10 4.8)因此，相干態(tài)也是光場的正頻分量的本征態(tài)。對于筆模態(tài),如果,(10 4 9)258多模場的相干態(tài)就是血滬口阪k只要知道了單

28、模場的相干態(tài)，就可以知道多模場的相干態(tài)。應特別注意，由于a不是厄米算符，因此aa)=aa)的本征值Q般是復數.(104 10)10.4.2相干態(tài)在光數態(tài)中的表示由于已經知道。和/的性質及其對W的作用，而ft光子數葉與實驗有密切聯(lián)系，肉此，將用光了數態(tài)|花示出來，對于討論相干態(tài)性質和進行計算都是方便的。 己知光子數態(tài)的歸一化形式足：由于“是完備正交基，即Elw)(nl=1zr«0何滬臨因此，利用式(10412),可將相干態(tài)按*展開為(10 4 11)(10 4 12)(104 13)00/：=0再利用式(104 11)和相干態(tài)的定義式(104 1),可求出展開系數為:(10 4 14)

29、(104 15)將展開系數代入式(104 14),可得：Q(。呃鈾“何十屹毋何 由歸一化條件還可進一步求出上式中的(0a).l = (a|a)=|(o|a)|2 00同=e護(104 16)(10 1 17)(10 1 18)260將式(10 4 18)代入式(10 4 16),可得:(10 4 19)利用式(104 19),很容易討論相干態(tài)的性質。哈肯實際上就是以式(10 4 19)作為相干態(tài)的定義。10.4.3相干態(tài)的性質(1)相干態(tài)中的光子數及起伏(aha)= (a a+a | q) =| a卩=何(10 4 20)即相干態(tài)的本征值的模的平方就等于相干態(tài)的平均光子數。由于光子數”與光強有

30、關，岡此Q與光場有關,a就足光場正頻分量在相干態(tài)中的期待值(a | E( a= Eo sin(fc)« =£)(104.21)或者(a | E(+) a)=EQ sin(fc)a* =梓)(a | ir | © =a | a+aa+a a=a |2 (1+1 a |2)(n2)-nf = n)山三侶)一何2嚴時我們知道，遠高于閾值的激光器的光子數的均方差與式(10 4 26)-樣。相對起伏是:"/畀=1/何n(2)相干態(tài)的光子的分布是泊松分布(10422)(104 23)(10 4 24)(10 4 25)(10426)(10 4 27)從|切按|展開的公式(10419),其中的展H係數的模的平方的物理意義就是在柑干態(tài)中發(fā)現71個光子的兒率P(a) = eTM 2)"(10 4 28)HI261#應用式(10 4 20)同,有:(10429)n#這就是泊松分布。在激光的全雖