1、第四章 曲線運動 萬有引力 1、開普勒第一定律、開普勒第一定律 （軌道定律）（軌道定律） 所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，所有的行星圍繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在所有橢圓的一個焦點上。太陽處在所有橢圓的一個焦點上。2、開普勒第二定律、開普勒第二定律 （面積定律）（面積定律）3、開普勒第三定律、開普勒第三定律 （周期定律）（周期定律） 所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等。期的二次方的比值都相等。 對于每一個行星而言，太陽和行星的聯線在對于每一個行星而言，太陽和行星的聯線在相等的時間內掃過相等的面積。相等的時間內掃過相等的

2、面積。32akT 要點透析要點透析1、內容：、內容： 宇宙間的一切物體都是互相吸引的，兩宇宙間的一切物體都是互相吸引的，兩個物體間的引力大小，跟它們的質量的乘積成正個物體間的引力大小，跟它們的質量的乘積成正比，跟它們的距離的平方成反比比，跟它們的距離的平方成反比 2、公式：、公式： 122m mFGr11226.67 10/GN mkg3、適用條件：、適用條件： 嚴格地說公式只適用于質點間的相嚴格地說公式只適用于質點間的相互作用互作用;當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，公式也可近似使用，但此時大小時，公式也可近似使用，但此時r應為兩物體應為兩物體重

3、心間的距離對于均勻的球體重心間的距離對于均勻的球體,r是兩球心間的距是兩球心間的距離離 要點透析要點透析4、萬有引力和重力、萬有引力和重力 重力實際上是萬有引力的一個分力另一個重力實際上是萬有引力的一個分力另一個分力就是物體隨地球自轉時需要的向心力，如圖分力就是物體隨地球自轉時需要的向心力，如圖所示，所示， 地球表面物體的重力隨緯度的地球表面物體的重力隨緯度的變化而變化，從赤道到兩極物體的變化而變化，從赤道到兩極物體的重力逐漸增大重力逐漸增大通常的計算中因重通常的計算中因重力和萬有引力相差不大，而認為兩力和萬有引力相差不大，而認為兩者相等，即者相等，即 要點透析要點透析2RMmGmg 在地球的

4、同一緯度處，物體的重力離地面高度在地球的同一緯度處，物體的重力離地面高度的增大而減小，的增大而減小， 即即在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F向向和和mg剛好在一條直線上剛好在一條直線上. 即即 FF向向mg F向向 mR自自2 要點透析要點透析2hRMmGmg在地球的兩極在地球的兩極, ,萬有引力等于地球對物體的重力萬有引力等于地球對物體的重力. .即即mgRMmG2 要點透析要點透析1 1、衛星的發射：三種宇宙速度、衛星的發射：三種宇宙速度第一宇宙速度（環繞速度）：第一宇宙速度（環繞速度）： v1=7.9km/s，人造地球衛星的最小發射速度。，人造

5、地球衛星的最小發射速度。也是人造衛星繞地球做勻速圓周運動的最大速度。也是人造衛星繞地球做勻速圓周運動的最大速度。第二宇宙速度（脫離速度）：第二宇宙速度（脫離速度）： v v2 2=11.2km/s=11.2km/s，使衛星掙脫地球引力束縛的最，使衛星掙脫地球引力束縛的最小發射速度。小發射速度。第三宇宙速度（逃逸速度）：第三宇宙速度（逃逸速度）： v3=16.7km/s，使衛星掙脫太陽引力束縛的最，使衛星掙脫太陽引力束縛的最小發射速度。小發射速度。第一宇宙速度的推導第一宇宙速度的推導方法一方法一：地球對衛星的萬有引力就是衛星做圓周運動的向：地球對衛星的萬有引力就是衛星做圓周運動的向心力心力22m

6、MvGmrhrh當當h，v 在地球表面附近衛星的速度是它運行的最大速度。其大小在地球表面附近衛星的速度是它運行的最大速度。其大小為為rh（地面附近）時，（地面附近）時， 1GMVr=7.9103m/s 方法二：地面附近物體的重力近似地等于地球對它的萬有引力，重力就是衛星做圓周運動的向心力21vmgmrh當當r rh h時時g gh hgg 所以所以v v1 1 gr=7.9103m/s 要點透析要點透析2 2、在軌衛星的線速度、角速度、加速度與高度的關系、在軌衛星的線速度、角速度、加速度與高度的關系 （1 1）由）由 22mMvGmrhrh，得，得 GMvrh當當h，v （2 2）由）由 2m

7、MGrh=m2（r+h），得），得= 3GMrh當當h， （3 3）由）由 ， 得得a= 當當h，a 要點透析要點透析mahRMmG22hRMG3、兩種最常見的衛星、兩種最常見的衛星近地衛星。近地衛星。 近地衛星的軌道半徑近地衛星的軌道半徑r r可以近似地認為等于地球半可以近似地認為等于地球半徑徑R R. .其線速度大小為其線速度大小為v v1 1=7.9=7.910103 3m/sm/s； 周期為周期為T T=5.06=5.0610103 3s=84mins=84min。 它們分別是繞地球做勻速圓周運動的人造衛它們分別是繞地球做勻速圓周運動的人造衛星的星的最大線速度最大線速度和和最小周期最小

8、周期。 神舟號飛船的運行軌道離地面的高度為神舟號飛船的運行軌道離地面的高度為340km，線速度約線速度約7.6km/s，周期約，周期約90min。 要點透析要點透析 同步衛星。同步衛星。 “同步同步”的含義就是和地球保持相對靜止，所以其的含義就是和地球保持相對靜止，所以其周期等于地球自轉周期，即周期等于地球自轉周期，即T=24h。由式。由式 22224mMvGmmrhrhTrh可得，可得， 同步衛星離地面高度為同步衛星離地面高度為 2324GMThr=358107 m 同步衛星同步衛星軌道是唯一的軌道是唯一的,離地面的高度離地面的高度三萬六三萬六千公里千公里，而且該，而且該軌道在地球赤道的正上

9、方，衛星軌道在地球赤道的正上方，衛星運轉方向必跟地球自轉方向一致即由西向東運轉方向必跟地球自轉方向一致即由西向東。 如果僅與地球自轉周期相同而不定點于赤道上如果僅與地球自轉周期相同而不定點于赤道上空，該衛星就不能與地面保持相對靜止。空，該衛星就不能與地面保持相對靜止。 要點透析要點透析4、衛星的超重和失重、衛星的超重和失重（1 1）衛星進入軌道前加速過程，衛星上物體超重）衛星進入軌道前加速過程，衛星上物體超重 (2)(2)衛星進入軌道后正常運轉時，衛星上物體完全失重衛星進入軌道后正常運轉時，衛星上物體完全失重5.人造衛星如何變軌人造衛星如何變軌 衛星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是

10、衛衛星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是衛星技術的一個重要方面，衛星定軌和返回都要用到這個技星技術的一個重要方面，衛星定軌和返回都要用到這個技術術 以發射同步衛星例，先進入一以發射同步衛星例，先進入一個近地的圓軌道，然后在個近地的圓軌道，然后在P點點火點點火加速，進入橢圓形轉移軌道（該橢加速，進入橢圓形轉移軌道（該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步軌道上的，遠地點為同步軌道上的Q），），到達遠地點時再次自動點火加速，到達遠地點時再次自動點火加速，進入同步軌道。進入同步軌道。 QPv1 【例例1】某物體在地面上受到的重力為某物體在地面上受到的

11、重力為160 N，將它放，將它放置在衛星中，在衛星以加速度置在衛星中，在衛星以加速度ag隨火箭加速上升的過隨火箭加速上升的過程中，當物體與衛星中的支持物的相互壓力為程中，當物體與衛星中的支持物的相互壓力為90 N時，時，求此時衛星距地球表面有多遠？（地球半徑求此時衛星距地球表面有多遠？（地球半徑R6.4103km,g取取10m/s2）解析：解析： 設此時火箭上升到離地球表面的高度為設此時火箭上升到離地球表面的高度為h，火箭上，火箭上物體受到的支持力為物體受到的支持力為N,物體受到的重力為物體受到的重力為mg/，據牛頓第，據牛頓第二定律二定律Nmg/=ma 在在h高處高處mg/ 2MmGRh 在

12、地球表面處在地球表面處mg= 2MmGR 把代入得把代入得 22mgRNmahR 1mghRNma=1.92104 km. 典例精析典例精析 【例例2】有人利用安裝在氣球載人艙內的單有人利用安裝在氣球載人艙內的單擺來確定氣球的高度。已知該單擺在海平面處的周期是擺來確定氣球的高度。已知該單擺在海平面處的周期是T0。當氣球停在某一高度時，測得該單擺周期為當氣球停在某一高度時，測得該單擺周期為T。求該氣球。求該氣球此時離海平面的高度此時離海平面的高度h。把地球看作質量均勻分布的半徑。把地球看作質量均勻分布的半徑為為R的球體。的球體。解析：解析： 根據單擺周期公式：根據單擺周期公式： 002,LTg2

13、,LTg其中其中L是單擺長度，是單擺長度，g0和和g分別是兩地點的重力加速度。分別是兩地點的重力加速度。 根據萬有引力公式得根據萬有引力公式得 02,MgGR2,()MgGRh其中其中G是引力常數，是引力常數，M是地球質量。是地球質量。 由以上各式解得由以上各式解得 01ThRT 典例精析典例精析 由于運行中的天體，萬有引力全部提供向心由于運行中的天體，萬有引力全部提供向心力，因此所有天體軌道圓心都在中心天體中心力，因此所有天體軌道圓心都在中心天體中心解關于人造衛星問題的基本思路：解關于人造衛星問題的基本思路：視天體運動為勻速圓周運動；視天體運動為勻速圓周運動；萬有引力充當向心力；萬有引力充當

14、向心力；根據已知條件選擇合適的向心加速度公式，以根據已知條件選擇合適的向心加速度公式，以便于計算；便于計算；利用代換式利用代換式gR2=GM推導化簡運算過程。推導化簡運算過程。注意：人造衛星的軌道半徑與它的高度不同注意：人造衛星的軌道半徑與它的高度不同離地面不同高度，重力加速度不同，離地面不同高度，重力加速度不同， 典例精析典例精析 【例例l】設人造地球衛星繞地球做勻設人造地球衛星繞地球做勻速圓周運動，衛星離地面越高，則衛星的（速圓周運動，衛星離地面越高，則衛星的（ ）A速度越大速度越大 B角速度越大角速度越大 C向心加速度越大；向心加速度越大； D周期越長周期越長 解析：解析： （1 1）v

15、 v與與 r r的關系：的關系： 22,mMvGmrr,GMvr1vr（2 2）與與r r的關系：的關系： 22,mMGmrr3,GMr即31r（3 3）a a與與r r的關系：的關系： 2,mMGmara=GM/ra=GM/r2 2，即，即a1/ra1/r2 2。 衛星繞軌道半徑衛星繞軌道半徑 r r運轉時的向心加速度與該處的重力加速運轉時的向心加速度與該處的重力加速度度g g/ /相等，所以相等，所以 g g/ /a a， g g/ /1/r1/r2 2， （4 4）T T與與r r的關系：的關系： 222,mMGmrrT32,rTGM3TrD D 典例精析典例精析 【例例2】設地球的半徑

16、為設地球的半徑為R0，質量為，質量為m的的衛星在距地面衛星在距地面R0高處做勻速圓周運動，地面的重力加速高處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為度為g0，則以下說法錯誤的是（，則以下說法錯誤的是（ ）A.衛星的線速度為衛星的線速度為 0022g RB.衛星的角速度為衛星的角速度為 008gRC.衛星的加速度為衛星的加速度為 02gD.衛星的周期衛星的周期 0082Rg解析：解析： 在地面：在地面： 020MmGmgR; ;在高空：在高空： 202MmGmgR2000124RggR此重力加速度即為衛星的向心加速度故此重力加速度即為衛星的向心加速度故C C選項錯誤選項錯誤 g=g0； 典例精析典例精

17、析 【例例3】 如圖所示，某次發射同步衛星時，如圖所示，某次發射同步衛星時，先進入一個近地的圓軌道，然后在先進入一個近地的圓軌道，然后在P點點火加速，進入橢點點火加速，進入橢圓形轉移軌道（該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的圓形轉移軌道（該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步軌道上的遠地點為同步軌道上的Q），到達遠地點時再次自動點火），到達遠地點時再次自動點火加速，進入同步軌道。設衛星在近地圓軌道上運行的速率加速，進入同步軌道。設衛星在近地圓軌道上運行的速率為為v1，在，在P點短時間加速后的速率為點短時間加速后的速率為v2，沿轉移軌道剛到，沿轉移軌道剛到達遠地點達遠地點Q時的速率為時

18、的速率為v3，在，在Q點短時間加速后進入同步點短時間加速后進入同步軌道后的速率為軌道后的速率為v4。試比較試比較v1、v2、v3、v4的的大小，并用小于號將它們大小，并用小于號將它們排列起來排列起來_。Qv2v3Pv4v1 典例精析典例精析解析：解析：根據題意有根據題意有v v2 2v v1 1、v v4 4v v3 3, ,而而v v1 1、v v4 4是繞地球做勻速是繞地球做勻速圓周運動的人造衛星的線速度，圓周運動的人造衛星的線速度，由式由式知知v v1 1v v4 4, ,故結論為故結論為v v2 2v v1 1v v4 4v v3 3。衛星沿橢圓軌。衛星沿橢圓軌道由道由P PQQ運行時

19、，由機械能守恒可知，其重力勢運行時，由機械能守恒可知，其重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，因此有能逐漸增大，動能逐漸減小，因此有v v2 2v v3 3。 1vr衛星的回收實際上是衛星發射過程的逆過程。衛星的回收實際上是衛星發射過程的逆過程。 典例精析典例精析Qv2v3Pv4v1 【例例4】在天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行在天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星。它們在相互的萬有引力作用下間距星稱為雙星。它們在相互的萬有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運動。如果雙星間距為周運動。如果雙星間距為L，質量分別為，質量分別為

20、M1和和M2，試計算：試計算：（1）雙星的軌道半徑；）雙星的軌道半徑；（2）雙星的運行周期；）雙星的運行周期；（3）雙星的線速度。）雙星的線速度。 典例精析典例精析 解解:因為雙星受到同樣大小的萬有引因為雙星受到同樣大小的萬有引力作用，且保持距離不變，繞同一圓心做勻速圓力作用，且保持距離不變，繞同一圓心做勻速圓周運動，所以具有周期、頻率和角速度均相同；周運動，所以具有周期、頻率和角速度均相同；而軌道半徑、線速度不同的特點。而軌道半徑、線速度不同的特點。（1）根據萬有引力定律）根據萬有引力定律222121RMRMF及及21RRL可得：可得：LMMMR2112LMMMR2121 典例精析典例精析（

21、2）同理，還有）同理，還有22221221)2()2(RTMTMLMMG,所以，周期為所以，周期為)(2442112222122MMGLLGMRLGMRLT（3）根據線速度公式）根據線速度公式)(221211MMLGMTRV)(221122MMLGMTRV 典例精析典例精析 【例例5 5】20032003年年1010月月1515日上午日上午9 9時，我國在時，我國在酒泉衛星發射中心成功發射酒泉衛星發射中心成功發射“神舟五號神舟五號”載人航天飛船，載人航天飛船，這是我國首次實現載人航天飛行，也是全世界第三個具有這是我國首次實現載人航天飛行，也是全世界第三個具有發射載人航天器能力的國家發射載人航天器能力的國