1、線性代數 ( 文) 模擬試卷 ( 一)一. 填空題(每小題 3分, 共 12分)a1b1c1a1b1d11.設 A a2b2c2, Ba2b2d2,A 2,B 3,則2A B=.a3b3c3a3b3d32.已知向量(1, 2,3) ,1, 1,1 ,設AT,其中T 是 的轉置,則23=.(1,0, 1)T ,2 ( k ,3,0)T , 3( 1, 4, k)T3.若向量組 1線性相關 ,則 k = .4.若 4階矩陣 A 與 B 相似 ,矩陣 A 的特征值為 1, 1, 1, 1,則行列式 B 1 E2345= .二 . 單項選擇題 ( 每小題 3 分, 共 18 分)1.矩陣 A 在( )

2、時,其秩將被改變 .( A ) 乘以奇異矩陣( B )乘以非奇異矩陣(C ) 進行初等行變換( D )轉置102.要使 1 0, 21都是線性方程組AX O 的解 ,只要系數矩陣 A21為( ).( A )( 2,1,1)201( B )11010011(C )22201(D) 411103.設向量組 :1 , 2 ,r 可由向量組 :1 ,2 ,s 線性表示 ,則().( A )當 rs 時,向量組必線性相關( B )當 rs 時,向量組必線性相關( C )當 rs 時,向量組必線性相關( D ) 當 rs 時,向量組必線性相關4.設 A 是 mn 矩陣 , AXO 是非齊次線性方程組 AX

3、b 所對應的齊次線性方程組 ,則下列結論正確的是 ().(A) 若AXO 僅有零解 ,則 AXb 有唯一解(B) 若AXO 有非零解 ,則 AXb 有無窮多解(C) 若AXb 有無窮多個解 ,則 AXO 僅有零解(D) 若AXb有無窮多個解 ,則 AXO 有非零解5.若矩陣 A 與 B 相似,則().(A)EA EB(B)AB(C ) A, B 有相同的特征向量( D ) A 與 B 均與一個對角矩陣相似6.設矩陣 Am n 的秩為 r ( A)mn , Em 為 m 階單位矩陣 ,下述結論中正確的是().( A )A 的任意 m 個列向量必線性無關( B )A 的任意 m 階子式不等于零(C

4、 ) 若矩陣 B滿足 BAO,則 BO( D )A 通過初等行變換 ,必可以化為 ( Em , O ) 的形式三.( 本題 6 分)30402222設行列式 D70,求第四行各元素余子式之和的值 .005322四 .( 本題 10 分)301設A110 ,且滿足 ABA2B,求矩陣 B.014五 .( 本題 12 分)已知 A,B為 3 階矩陣,且滿足 2A 1B B4E ,其中 E 是 3 階單位矩陣 .(1)證明 :矩陣 A2E 可逆 ,并求其逆矩陣 ;120(2)若 B 120,求矩陣 A .002六 .( 本題 10 分)設向量組1(1, 3,2,0)T ,2(7,0 ,14,3)T

5、,3(2,1,0,1)T ,4(5 ,1, 6, 2)T(1)求向量組的秩 ;(2)求向量組的一個極大無關組 ,并把其余向量分別用此極大無關組線性表出 .七 .( 本題 12 分)問 a , b 為何值時 ,線性方程組x1x2x3 x40 ,x22x32x41 ,x2(a3)x32x4b ,3x12x2x3ax41 .有惟一解 ,無解 ,有無窮多組解 ?并求出有無窮多組解時的通解.八 .( 本題 15 分)220若矩陣 A82a 相似于對角陣,試求常數 a 的值 ,并求可逆矩陣P006使P1AP.九.( 本題 5 分)設向量 可由向量組 1, 2,r 線性表示 ,但不能由向量組 1 , 2 ,

6、 r 1線性表示 ,證明 : r 不能由向量組1 , 2 ,r 1 線性表示 .線性代數 ( 文) 模擬試卷 ( 二)一. 單項選擇題 ( 每小題 2 分, 共 16 分)a11a12a132a112a132a121.若 a21a22a233 ,則 2a212a232a22等于 ().a31a32a332a312a332a32( A)6( B )6(C)24(D) 242.下列 n 階行列式的值必為零的是 ( ).( A )主對角元全為零( B )三角形行列式中有一個主對角元為零( C )零元素的個數多余 n 個( D )非零元素的個數小于零元素的個數3.已知矩陣 A3 2,B2 3 , C3

7、 3 則下列運算可行的是 ().(A)AC(B)CB(C ) ABC(D)AB BCA2B2 ,則必有 ( ).4.若 A , B 均為 n 階非零矩陣 ,且 ( AB)( AB)( A) A,B為對稱矩陣(B)ABBA(C)AE(D)BE設齊次線性方程組kxz0有非零解 ,則 k 的值為 ( ).2xkyz05.kx2yz0( A)2(B )0(C) 1(D) 26.若向量組 1 ,2 , ,s 線性相關 ,則一定有 ( ).(A) 1,2 ,s 1 線性相關(B) 1,2 ,s 1 線性相關(C) 1,2 ,s 1 線性無關(D) 1,2 ,s 1 線性無關7.設 A, B 是同階實對稱矩

8、陣 ,則 AB 是().( A )對稱矩陣( B )非對稱矩陣(C )反對稱矩陣( D )以上均不對8.設 A 為一個可逆矩陣 ,則其特征值中 ().( A )有零特征值( B )有二重特征值零(C )無零特征值( D )以上均不對二. 填空題(每小題 3分, 共 18分)000100201.行列式 D30.0040002.A,B均為 3階方陣,A 2B,且 A3,則 B.3.若 A , B 為可逆矩陣 ,則分塊矩陣 OA 的逆矩陣為.BO31024.設 A11 21 ,則 r ( A).13445.設 1(1,3,1) ,2(2,1,0) , 3 (1, 4,1) ,則 1 , 2 ,3 線

9、性關 .6.設 A2E ,則 A 的所有特征值為.三 .( 本題 6分)0112計算行列式 1102 的值.12112110四.( 本題 6 分)12121252設 A210 , B,求 ABTC .31,C 31103414五.(本題 8分)01011解矩陣方程 AXBX,其中A111, B20.10153六 .( 本題 10 分)試求向量組1(1, 0,1, 0,1)T ,2 (0,1,1,0,1)T , 3(1,1, 0,1, 0)T , 4 ( 3,2,3,0,1)T , 5( 2 ,1,3, 3,3)T的一個最大無關組,并寫出其余向量用此最大無關組的線性表示式 .七.( 本題 12

10、分)設方程組x13x22x34x4x5 72x16x25x42x554x111x28x35x5,3x13x22x3x4x52解此方程組 ,并用其導出組的基礎解系表示全部解.八 .( 本題 14 分)122設 A224,求 A的特征值 ,特征向量 .242九 .(本題 5 分)設1 ,2 , 3 是齊次線性方程組AX O 的一個基礎解系 ,證明 : 1 1 ,1231 2 3也是AXO 的一個基礎解系 .十 .( 本題 5分)證明 :如果 A2A ,但 A 不是單位矩陣 ,則 A 必為奇異矩陣 .線性代數 ( 文) 模擬試卷 ( 三)一 . 填空題(每小題 2分, 共 20分)14021.設四階

11、行列式 D0537,則 A34 =.182012010a00bc00.2.0de0000f0023.設 A1 13 0,則A1.25024.三階矩陣 A 按列分塊為 A( A1, A2 ,A3) ,且 A1,則 A22A3 , A23A1 , A1=.5. A 為三階矩陣 , A* 為 A 的伴隨矩陣 ,已知 A2,則 A.112106.設 A22420,則 r ( A) =.30611030017. A 為三階矩陣 ,且 A3 ,則 2（A1221=.）（2A）8.設 1(1,0,1)T,2 (0,1,1)T,(1,1,1)T,Tx1 13(3, 5, 6） ,且有x2 2 x3 3 ,則

12、x1; x2; x3.9.若向量組1(1,2,3) , 2(3,1,2) ,3( 2, 3,a) 線性相關 ,則 a.11010.設 A2x0 的特征值為 1, 2 ,3 ,則 x =.421二. 單項選擇題 ( 每小題 3 分, 共 15 分)1.設 1,2是 AXO的解, 1,2是AXB 的解,則().(A)2 11是 AX O的解(B) 12是 AXB 的解(C) 12是 AXO 的解(D) 12是 AXB 的解2.向量組1 ,2 , s 線性無關的充分條件是 ().(A) 1,2 ,s 均不是零向量(B) 1,2 ,s 中有部分向量線性無關(C) 1,2 ,s 中任意一個向量均不能由其

13、余s 1 個向量線性表示( D )有一組數 k1k2ks 0 ,使得 k1 1ks s 03.設 A 是 n 階可逆矩陣 , B 是 n 階不可逆矩陣 ,則().( A)A B是可逆矩陣(B)A B是不可逆矩陣( C ) AB 是可逆矩陣( D ) AB 是不可逆矩陣0004.與A 030 相似的矩陣為 ( ).003003010(A)0 3 0(B)0 3 1000003010011(C)0 3 0(D)0 3 10030035.已知 B 為可逆陣 ,則 ( B1)T 1T =().(A)B(B )BT(C)B 1(D)(B 1)T三 .( 本題 5分)2531計算行列式1313011的值

14、.51423四.( 本題 6 分)111已知A 110,求( A 2E) 1(A24E) .211五 .( 本題 10 分)設向量組1(1,1, 2,4) ,2(0, 3,1, 2) ,3(3, 0, 7,14) ,4(1,2, 2 ,0) ,5 (2,1, 5,10) .求它們的秩 ,及其一個極大無關組 ,并將其余向量用該極大無關組表示 .六 .( 本題 6分)110121已知A 110, B210,求 BAT .112103七 .( 本題 6分)113設 A 1237,求(A*) 1 .349八 .( 本題 6分)已知 1,2 ,3線性無關,設1122 3,221 2 3,3 413 23

15、,判斷1 ,2 , 3 是線性相關的 .九 .( 本題 12 分)對于線性方程組x1x2x33x1x2x32 ,x1x2x32討論 取何值時 ,方程組無解 ,有唯一解和有無窮多組解 .在方程組有無窮多組解時 ,試用其導出組的基礎解系表示全部解 .十.( 本題 8 分)122設矩陣 A244 ,問 A 能否對角化 ?若能 ,試求可逆陣陣 P ,使得244P 1AP 為對角陣 .十一.證明題(本題 6分)已知 EAB 可逆,試證 EAB 也可逆 ,且 (IBA) 1IB(IAB) 1 A.線性代數 ( 工科 ) 模擬試卷 ( 一)一. 填空題(每小題 2分, 共 20分)x31, 則x 3y3z

16、3.若0115241. yz211112.設 A為 n 階方陣 , 且 A2 , 則11.(3 A)A3.方陣 B 為冪等矩陣 , 即 B 2B,且AEB,則A1.1024.設 A是 43矩陣 , 且 A 的秩 r ( A)2,而B020 , 則 r ( AB).1035.設 n 階矩陣 A 的各行元素之和均為零 , 且 A 的秩為 n 1 , 則線性方程組AX 0 的通解為.6.設 1 (1, 1,1) , 2(a , 0, b) ,3(1, 3, 2) ,若 1,2 ,3 線性相關 ,則 a, b滿足關系式.7.設二次型 f x1 , x2 , x32x12x22x322x1x2 tx 2

17、 x3是正定的 , 則 t 的取值為.8.已知 x 3 , x3x, x 21, x1是 R x 3 的一個基 , 多項式 x3 關于這個基下的坐標是.9.在 R3 中線性變換( x1, x2 , x3 )( 2x1x2 , x2 x3 , x1 ) , 那么關于基 1 (1,0, 0) , 2 (0,1,0) , 3(0 , 0 , 1) 下的矩陣是.10.已知 3 階方陣 A 的特征值為 5,1 (二重 ),則 A23AE.二. 選擇題 ( 每小題 3分, 共12分)1.設 A B 為 n 階非零矩陣滿足 AB0,則 A和 B的秩為().( A) 必有一個等于零( B) 都小于 n(C)

18、都等于 n( D ) 一個小于 n 一個等于 n2.非齊次線性方程組 AXb 中未知量的個數為 n , 方程個數為 m , 而 AXO 是它所對應的齊次線性方程組 , 則下列結論正確的是 ( ).(A)若 AXO 僅有零解時 , 則方程組 AXb 有唯一解(B) 若 AXO 有非零解時 , 則方程組 AXb 有無窮多組解(C) 若 AXb 有無窮多組解時 , 則方程組 AXO 只有零解(D) 若 AXb 有無窮多組解時 , 則方程組 AXO 有非零解3.設 A , B 均為 n (n2) 階行列式 , 則( ).(A)AB AB(B)AB AB(C) ABA B(D )OABA BO4.設 n

19、 階方陣 A 為正定矩陣 , 下列結論不對的是 ().( A) A可逆(B)A 1 也是正定矩陣(C)A 0(D )A 所有的元素全為正數三. ( 本題 8 分) 計算行列式01111200D 1030 .100n四 .( 本題 12 分)設向量組 1 (1,1,1, 3)T , 2 ( 1, 3,5,1)T , 3 (3, 2 , 1, p 2)T , 4 ( 2 , 6,10, p)T , 問 :(1) p 為何值時 , 該向量組線性無關 ?并在此時將向量( 4,1,6,10)T 用向量組1, 2, 3, 4 線性表示 ;(2) p 為何值時 , 該向量組線性相關 ?并此時求它的秩和一個極

20、大無關組 .五 .( 本題 8分)111設矩陣 A111,矩陣X滿足AXA12X,其中A是A的伴111隨矩陣,求矩陣 X .六 .( 本題 10 分)求非齊次線性方程組2xyzw13x2 yz3w4x4 y3z5w2的通解 .七 .( 本題 12 分)求一正交變換 , 將二次型f x1, x2 , x3x124x224x324x1 x24x1 x38x2 x3化為標準形 .八 .( 本題 12 分)設線性空間R22,23(1)求 A在基底 :451101111011,21,30,400100下的坐標向量 ;(2)驗證 : 主對角線上的元素之和等于 0 的 2 階矩陣的全體 S2 是線性空間 R

21、2 2 的一個子空間 , 并寫出它的一個基 .九 .( 本題 6分)設 A 為 n 階可逆方陣 , 且 A2A E . 證明 : A 的伴隨矩陣 AA .線性代數 ( 工科 ) 模擬試卷 ( 二)一. 是非題 (每小題 2 分, 共 16 分)1.()設 A 為實對稱矩陣 ,若 A20 則 A0.2.()若矩陣 A 的秩為 r ,則 A 的所有 r 1階子式全不為零 .3.()若向量組1 ,2 ,3 任兩個都線性無關 ,則 1 ,2 ,3 也線性無關 .4.()若 A 為正交矩陣 ,則伴隨矩陣 A 也是正交矩陣 .5.()若 1,2 是矩陣 A 的屬于不同特征值的特征向量,則 12 必不是A 的特征向量 .6.()若 A 為可逆的對稱陣 ,則 A2 為正定陣 .7.()線性方程組 AXb ,其中 A 是 m n 矩陣 ,當 r ( A)n 時必有無窮多解 .8.()奇數階反對稱矩陣必不可逆 .二. 填空題 (每小題 2 分, 共 14 分)1. 設四階矩陣 A 的行列式 A 3 ,則 A.2.設A113.1,則 (8A)T51xx 23.矩陣 1bb2 , (ab) 不可逆的條件是.1aa 24.向量組 1(3,1, 0,2) ,2(1,1,2, 1) ,3 (1, 3,4 ,4) 的秩