1、13.4 課題學(xué)習課題學(xué)習 最短路徑問題最短路徑問題FEDCBA 1. 1.如圖所示，從如圖所示，從A A地到地到B B地有三條路可供地有三條路可供選擇，你會選走哪條路最近？你的理由選擇，你會選走哪條路最近？你的理由是什么？是什么？ 兩點之間兩點之間,線段最短線段最短FEDCBA2.2.如圖：如圖：連接直線外一點連接直線外一點P P與直線上與直線上各點的所有線段中，各點的所有線段中，那條線段最短那條線段最短？ 垂線段最短垂線段最短 學(xué)習目標：學(xué)習目標： 1.1.能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題， 2. 2.體會圖形的變化在解決最值問題中的作用，體會圖形的變

2、化在解決最值問題中的作用， 3. 3.感悟轉(zhuǎn)化思想感悟轉(zhuǎn)化思想 重點、難點：重點、難點： 用軸對稱用軸對稱將最短路徑利問題將最短路徑利問題轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為為“兩點之間，兩點之間，線段最短線段最短”問題問題 已知：如圖，已知：如圖，A，B在直線在直線L的兩側(cè)，在的兩側(cè)，在L上求一點上求一點P，使得，使得PA+PB最小。最小。 P連接連接AB,線段線段AB與直線與直線L的交點的交點P ，就是所求，就是所求的點。的點。思考？思考？為什么這樣做就能得到最短距離呢？為什么這樣做就能得到最短距離呢？根據(jù)：根據(jù)：兩點之間線段最短兩點之間線段最短.問題問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久相傳，古希臘亞歷山大里

3、亞城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪負盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然飲馬，然后到后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？最短？BAl將將A，B 兩地抽象為兩個點，將河兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直抽象為一條直 線線 探索新知探索新知BAl 如何將點如何將點B“移移”到到l 的另一的另一側(cè)側(cè)B處，滿足直線處，滿足直線l 上的任意上的任意一點一點C，都保

4、持，都保持CB 與與CB的長的長度相等？度相等？ 探索新知探索新知如圖，點如圖，點A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點的同側(cè)，點C 是直線上的一是直線上的一個動點，當點個動點，當點C 在在l 的什么位置時，的什么位置時，AC 與與CB 的和最小？的和最小？ BlA作法：作法：（1）作點）作點B 關(guān)于直線關(guān)于直線l 的對稱的對稱 點點B；（2）連接）連接AB，與直線，與直線l 相交相交 于點于點C 則點則點C 即為所求即為所求 探索新知探索新知問題問題 如圖，點如圖，點A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點的同側(cè)，點C 是直是直線上的一個動點，當點線上的一個動點，當點C 在在l 的什么位置時，的什么位

5、置時，AC 與與CB 的和最小？的和最小？ BlABC探索新知探索新知問題問題你能用所學(xué)的知識證明你能用所學(xué)的知識證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ BlABC證明：證明：如圖，在直線如圖，在直線l 上任取一點上任取一點C（與點（與點C 不不重合），連接重合），連接AC，BC，BC 由軸對稱的性質(zhì)知：由軸對稱的性質(zhì)知：BC = =BC，BC=BC AC + +BC = = AC + +BC = = AB， AC+ +BC = = AC+ +BC探索新知探索新知你能用所學(xué)的知識證明你能用所學(xué)的知識證明AC + +BC最短嗎？最短嗎？ BABCC 在在ABC中，中，ABAC+ +BC， AC +

6、 +BCAC+ +BC即即AC + +BC 最短最短探索新知探索新知追問追問回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的 過程、借助什么解決問題的？過程、借助什么解決問題的？ BlABCC通過對稱轉(zhuǎn)化，借助通過對稱轉(zhuǎn)化，借助兩點之間線段最短兩點之間線段最短 如圖，臺球桌上有一個黑球，一個白球，如如圖，臺球桌上有一個黑球，一個白球，如何用球桿去擊白球使其撞到何用球桿去擊白球使其撞到ABAB邊反彈后再撞邊反彈后再撞到黑球到黑球? ?DBAC針對練習針對練習問題 2 （造橋選址問題）如圖，造橋選址問題）如圖，A A和和B B兩兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座地在一條河

7、的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋橋MNMN，橋造在何處可使從，橋造在何處可使從A A到到B B的路徑的路徑AMNBAMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直。）線，橋要與河垂直。）ABMNab 作圖ABMNabA作法：作法：1.將點將點A沿垂直與河岸的方沿垂直與河岸的方向平移一個河到向平移一個河到 ，A2.連接連接 B交河岸于點交河岸于點N.則點則點N為建橋的位置為建橋的位置3.過點過點N作作MN a于點于點M,則則MN為所建的橋為所建的橋。A 證明證明：由平移的性質(zhì)，得證明：由平移的性質(zhì)，得 ANAM AN=AM , MN= MN , A M AN , A

8、M=AN,A.B兩地的距離兩地的距離: AM+MN+BN=AN+MN+BN=AB+MN,若橋的位置建在若橋的位置建在MN處，連接處，連接AM.MN.BN.AN,則則AB兩地的距離為：兩地的距離為：AM+MN+NB=AN+MN+NB=AN+NB+MN,在在ABN中，中，AN+NBAB, AN+NB+MNAB+MN,即即 AM+MN+BNAM+MN+NB橋的位置建在橋的位置建在MN處，處，AB兩地的兩地的路程最短。路程最短。ABMNabMNA本節(jié)課我知道了：本節(jié)課我知道了： 通過軸對稱通過軸對稱 、平移轉(zhuǎn)化，借助兩點之間線、平移轉(zhuǎn)化，借助兩點之間線段最短，解決最短路徑問題段最短，解決最短路徑問題

9、軸對稱在所研究問題中起著轉(zhuǎn)化的作用軸對稱在所研究問題中起著轉(zhuǎn)化的作用 1.如圖：要在公路如圖：要在公路m旁修建一個貨物中轉(zhuǎn)站旁修建一個貨物中轉(zhuǎn)站P，分，分別向別向A,B兩個開發(fā)區(qū)運貨。若要求貨物中轉(zhuǎn)站到兩個開發(fā)區(qū)運貨。若要求貨物中轉(zhuǎn)站到A,B兩個開發(fā)區(qū)的距離和最小，那么貨物中轉(zhuǎn)站兩個開發(fā)區(qū)的距離和最小，那么貨物中轉(zhuǎn)站應(yīng)建在哪里？應(yīng)建在哪里？堂堂 清清BmA2.如圖，如圖，A、B兩村在一條小河的的同一側(cè)，要在河兩村在一條小河的的同一側(cè)，要在河邊建一水廠向兩村供水邊建一水廠向兩村供水（1 1）若要使自來水廠到兩村的距離相等，廠址應(yīng)）若要使自來水廠到兩村的距離相等，廠址應(yīng)選在哪個位置？選在哪個位置？

10、（2 2）若要使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，）若要使自來水廠到兩村的輸水管用料最省，廠址應(yīng)選在哪個位置？廠址應(yīng)選在哪個位置？請將上述兩種情況下的自來水廠廠址標出，并保留請將上述兩種情況下的自來水廠廠址標出，并保留作圖痕跡作圖痕跡 .B A . 教科書教科書 復(fù)習題復(fù)習題13 第第15題題 布置作業(yè)布置作業(yè)已知：如圖已知：如圖A是銳角是銳角MON內(nèi)部任意一點，在內(nèi)部任意一點，在MON的兩邊的兩邊OM，ON上各取一點上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小組成三角形，使三角形周長最小.BCDE分析：分析：當當ABAB、BCBC和和ACAC三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條三條邊的長度恰好能夠體現(xiàn)在一條直線上時，三角形的周長最小直線上時，三角形的周長最小 已知：如圖已知：如圖A是銳角是銳角MON內(nèi)部任意一點，在內(nèi)部任意一點，在MON的兩邊的兩邊OM，ON上各取一點上各取一點B，C，組，組成三角形，使三角形周長最小成三角形，使三角形周長最小.分別作點分別作點A關(guān)于關(guān)于OM，ON的對稱的對稱點點A，A；連接；連接A，A，分別交，分別交OM，ON于點于點B、點、點C，則點，則點