1、1、行列式1.n 行列式共有 n2 個元素，展開后有n! 項，可分解為 2n 行列式；2.代數余子式的性質：、 Aij 和 aij 的大小無關；、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數余子式為0；、某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數余子式為A ；3.代數余子式和余子式的關系：M ij( 1)i j AijAij(1)ij M ij4.設 n 行列式 D ：n (n 1)將 D 上、下翻轉或左右翻轉，所得行列式為D1 ，則 D1( 1)2D ；n ( n1)將 D 順時針或逆時針旋轉 90 ，所得行列式為將 D 主對角線翻轉后（轉置），所得行列式為將 D 主副角線翻轉后，所得行列式為D

2、4 ，則5. 行列式的重要公式：、主對角行列式：主對角元素的乘積；D2，則 D2( 1)2D；D3，則 D3D；D4D；n (n 1)、副對角行列式：副對角元素的乘積( 1)2；、上、下三角行列式（ ）：主對角元素的乘積；n ( n1)、 和 ：副對角元素的乘積(1)2；AO ACCAOAm n、拉普拉斯展開式：AB、BO BC(1) ABCBOB、范德蒙行列式：大指標減小指標的連乘積；、特征值；6.對于 n 階行列式A ，恒有：EAnn( 1)k Skn k ，其中 Sk 為 k 階主子式；k 17. 證明 A 0 的方法：、AA；、反證法；、構造齊次方程組Ax0 ，證明其有非零解；、利用秩

3、，證明r ( A)n ；、證明0 是其特征值；2、矩陣1. A 是 n 階可逆矩陣：A 0 （是非奇異矩陣）；r (A)n （是滿秩矩陣）A 的行（列）向量組線性無關；齊次方程組Ax0 有非零解；bRn ， Axb 總有唯一解；A與 E 等價；A 可表示成若干個初等矩陣的乘積；A 的特征值全不為0；AT A 是正定矩陣；A 的行（列）向量組是Rn 的一組基；A 是 Rn 中某兩組基的過渡矩陣；2.對于 n 階矩陣 A ： AA*A* AA E 無條件恒 成立；3.(A 1)*(A*) 1(A 1)T(AT) 1(A* )T(AT )*( AB)TBT AT( AB)*B* A*(AB) 1B1

4、A14. 矩陣是表格，推導符號為波浪號或箭頭；行列式是數值，可求代數和；5. 關于分塊矩陣的重要結論，其中均A、 B 可逆：A1若 AA2，則：As、 AA1 A2As；A11、 A1A21；As1A1A 1O、O；（主對角分塊）OBOB 1O1OB 1、A；（副對角分塊）BOA 1OA1A 1A1CB1、C；（拉普拉斯）OBOB 1、 A1A 1OO；（拉普拉斯）CBB1CA1B 13、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個 m n 矩陣A ，總可經過初等變換化為標準形，其標準形是唯一確定的：ErO；FO m nO等價類：所有與A 等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標準形為其形狀最簡單

5、的矩陣；對于同型矩陣A 、 B ，若 r ( A) r (B)A B ；2. 行最簡形矩陣：、只能通過初等行變換獲得；、每行首個非 0 元素必須為 1；、每行首個非 0 元素所在列的其他元素必須為0；3. 初等行變換的應用：（初等列變換類似，或轉置后采用初等行變換）rA 1 ；、若 (A,E) (E , X) ，則 A可逆，且 X、對矩陣 ( A, B) 做初等行變化，當 A 變為 E 時， B 就變成 A 1B ，即： (A,B)c(E,A 1B) ；rA 1b ；、求解線形方程組：對于 n 個未知數 n 個方程 Axb ，如果 ( A, b)(E , x) ，則 A 可逆，且 x4. 初等

6、矩陣和對角矩陣的概念：、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等列矩陣；1、2，左乘矩陣 A ， i 乘 A 的各行元素；右乘，i 乘 A 的各列元素；n111、對調兩行或兩列，符號E ( i, j) ，且 E (i , j ) 1E (i, j) ，例如：11；1111、倍乘某行或某列，符號E (i(k) ，且 E (i(k ) 1E (i( 1 ) ，例如：kk111k、倍加某行或某列，符號E (ij( k) ,且 E (ij (k ) 1E ( ij( k ) ，如：1111；(k 0)k11 k1(k0) ；15. 矩陣秩的基本性質：、 0r ( An)m

7、in( m ,n) ；m、(T )()rArA ；、若 A B ，則 r (A) r ( B) ；、若 P 、 Q 可逆，則 r (A)r (PA )r (AQ )r (PAQ ) ；（可逆矩陣不影響矩陣的秩）、 max( r (A), r (B )r ( A, B)r (A)r (B ) ；（ ）、 r ( A B)r ( A)r ( B ) ；（ ）、 r ( AB )min( r ( A), r (B ) ；（ ）、如果 A 是 m n 矩陣， B 是 n s 矩陣，且 AB0 ，則：（ ）、 B 的列向量全部是齊次方程組AX0 解（轉置運算后的結論）；、 r ( A)r (B )n、若

8、 A 、 B 均為 n 階方陣，則 r ( AB ) r ( A)r ( B)n ；6. 三種特殊矩陣的方冪：、秩為1 的矩陣：一定可以分解為列矩陣（向量）行矩陣（向量）的形式，再采用結合律；1ac、型如 01b 的矩陣：利用二項展開式；001二項展開式： (ab)nCn0a nCn1 an1b1Cnm an m bmCnn 1a1bn 1Cnn bnnCnm am bn m ；m 0注：、 (ab)n 展開后有 n1 項；、 C mn(n 1)(n m 1)n!C0C n1n1 2 3mm!( nm)!nnCnmCnnmCnmCnmCnm 1nCnr2nrCnrnCnr11 ；、組合的性質：

9、1r0、利用特征值和相似對角化：7. 伴隨矩陣：nr ( A)n、伴隨矩陣的秩：r ( A* )1r ( A)n1 ；0r ( A)n1、伴隨矩陣的特征值：A (AXX,A*A A 1A* XA X)；、 A*AA1、 A*An 18. 關于 A 矩陣秩的描述：、 r ( A) n ， A 中有 n 階子式不為 0， n 1 階子式全部為 0；（兩句話）、r ( A)n ， A 中有n 階子式全部為0；、r ( A)n ， A 中有n 階子式不為0；9. 線性方程組： Ax b ，其中 A 為 m n 矩陣，則：、 m 與方程的個數相同，即方程組Axb 有 m 個方程；、n 與方程組得未知數個

10、數相同，方程組Axb 為 n 元方程；10. 線性方程組 Ax b 的求解：、對增廣矩陣 B 進行初等行變換（ 只能使用初等行變換 ）；、齊次解為對應齊次方程組的解；、特解：自由變量賦初值后求得；11. 由 n 個未知數 m 個方程的方程組構成 n 元線性方程：a11 x1a12 x2a1n xnb1、 a21 x1a22 x2a2 n xnb2；am 1 x1am 2 x2anm xnbna11a12a1nx1b1、 a21a22a2nx2b2Axb（向量方程，A為 mn 矩陣， m 個方程， n 個未知數）am1am 2amnxmbmx1b1、 a1a2anx2（全部按列分塊，其中b2）；

11、xnbn、 a1 x1a2 x2an xn（線性表出）、有解的充要條件： r ( A)r ( A, )n （ n 為未知數的個數或維數）4、向量組的線性相關性1. m 個 n 維列向量所組成的向量組A ：1,2 ,m 構成 n m 矩陣 A(1, 2,m ) ；T11T ,2T ,mT 構成 mTm 個 n 維行向量所組成的向量組B ：,n 矩陣 B2；Tm含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應；2.、向量組的線性相關、無關Ax0 有、無非零解；（齊次線性方程組）、向量的線性表出Axb是否有解；（線性方程組）、向量組的相互線性表示AXB 是否有解；（矩陣方程）3.矩陣 Am n 與 Bln

12、行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組Ax0和 Bx0同解； ( P101 例 14)4. r ( AT A) r ( A) ； ( P101 例 15)5. n 維向量線性相關的幾何意義：、線性相關0 ；、,線性相關,坐標成比例或共線（平行）；、,線性相關,共面；6. 線性相關與無關的兩套定理：若1,2 ,s 線性相關，則1,2 ,s , s 1必線性相關；若1,2 ,s 線性無關，則1,2 ,s 1 必線性無關；（向量的個數加加減減，二者為對偶）若r 維向量組 A 的每個向量上添上nr 個分量，構成 n 維向量組 B ：若A 線性無關，則 B 也線性無關；反之若 B 線性相關，則 A 也

13、線性相關；（向量組的維數加加減減）簡言之：無關組延長后仍無關，反之，不確定；7.向量組 A （個數為 r ）能由向量組 B （個數為 s ）線性表示，且 A 線性無關，則 rs (二版 P74 定理 7)；向量組 A 能由向量組 B 線性表示，則 r ( A)r (B ) ；（ P86 定理 3）向量組 A 能由向量組 B 線性表示AXB 有解；r (A)r (A, B) （ P85 定理 2）向量組 A 能由向量組 B 等價r ( A) r (B )r (A, B ) （ P85 定理 2 推論 ）8.方陣 A可逆存在有限個初等矩陣 P1, P2 , Pl ，使 AP1 P2Pl ；rPAB

14、 （左乘， P 可逆）Ax0 與 Bx0 同解、矩陣行等價：A BcAQB （右乘， Q 可逆）；、矩陣列等價：A B、矩陣等價：A BPAQB（ P、Q可逆）；9. 對于矩陣 Am n 與 Bl n ：、若 A 與 B 行等價，則 A 與 B 的行秩相等；、若 A 與 B 行等價，則 Ax 0 與 Bx 0 同解，且 A 與 B 的任何對應的列向量組具有相同的線性相關性；、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩；、矩陣 A 的行秩等于列秩；10.若 Am s Bs nCm n ，則：、 C 的列向量組能由A 的列向量組線性表示，B 為系數矩陣；、 C 的行向量組能由B 的行向量組線性表示，AT 為系數

15、矩陣；（轉置）11.齊次方程組 Bx 0 的解一定是 ABx 0 的解， 考試中可以直接作為定理使用，而無需證明；、 ABx0 只有零解Bx0 只有零解；、 Bx 0有非零解ABx0 一定存在非零解；12. 設向量組 Bn r : b1 , b2 , br 可由向量組 An s : a1, a2 , ,as 線性表示為：（ P110 題 19 結論）(b1 ,b2 , , br ) (a1, a2 , as )K （ B AK ）其中 K 為 s r ，且 A 線性無關，則 B 組線性無關r (K ) r ；（ B 與 K 的列向量組具有相同線性相關性）（必要性：r r ( B)r ( AK

16、) r (K ), r (K ) r , r ( K )r ；充分性：反證法）注：當 rs時， K 為方陣，可當作定理使用；13. 、對矩陣、對矩陣14. 1,2, ,Am n，存在 Qn m ， AQE mr ( A)m 、 Q 的列向量線性無關；（P87 ）Am n，存在 Pn m ， PAE nr ( A)n 、 P 的行向量線性無關；s 線性相關存在一組不全為0 的數 k1 ,k2 , ks ，使得 k1 1k2 2ks s0成立；（定義）x1(1, 2, s)x20 有非零解，即 Ax 0 有非零解；xsr ( 1, 2 , , s ) s，系數矩陣的秩小于未知數的個數；15.設 m

17、n 的矩陣 A 的秩為 r ，則 n 元齊次線性方程組 Ax0 的解集 S 的秩為： r ( S)n r ；16.若 *為 Axb 的一個解， 1,2 , n r 為 Ax 0 的一個基礎解系，則* ,1, 2, nr 線性無關；（P111 題33結論）5、相似矩陣和二次型1.正交矩陣AT AE或A1AT（定義），性質：、 A 的列向量都是單位向量，且兩兩正交，即aiT aj1ij (i, j1,2,n) ；0ij、若 A 為正交矩陣，則 A 1AT 也為正交陣，且A1 ；、若 A 、 B 正交陣，則 AB 也是正交陣；注意：求解正交陣，千萬不要忘記施密特正交化 和單位化 ；2. 施密特正交化： (a1 ,a2 , , ar )b1a1 ；b2a2b1 ,a2 b1 b1,b1 brarb1 ,ar b1 b2, ar b2 br 1, ar br 1 ;b1 , b1b2 ,b2 br 1,br 13. 對于普通方陣，不同特征值對應的特征向量線性無關；對于 實對稱陣 ，不同特征值對應的特征向量正交；4.、A與 B等價A與 B合同A 經過初等變換得到B