1、橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì) 92 條橢圓1|PF1| |PF2 | 2a222標(biāo)準(zhǔn)方程： x2y2 1| PF1 |a2 b23e 1d14點(diǎn) P 處的切線 PT 平分 PF1F2在點(diǎn) P 處的外角 .5PT平分 PF1F2在點(diǎn) P處的外角，則焦點(diǎn)在直線 PT 上的射影 H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑 的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) .6以焦點(diǎn)弦 PQ 為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離 .7以焦點(diǎn)半徑 PF1 為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切 .8設(shè) A1、A2 為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則 PF1F2 在邊 PF2（或 PF1）上的旁切圓，必與 A1A2所 在的直線切于 A 2（或 A1） .x2 y29橢圓 2 2

2、 1（a>b>o）的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1（ a,0） , A2 （a,0） ，與 y軸平行的直線交橢圓 ab22于 P1、P2 時(shí) A 1P1與 A 2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 x2 y2 1. a2 b222x yx0x y0 y10若 P0(x0, y0)在橢圓 2 2 1上，則過(guò) P0的橢圓的切線方程是 020 1a ba2211若 P0(x0, y0 )在橢圓 x2 y2 1外 ，則過(guò) Po 作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為 ab x0x y0 y 1.2 2 1. ab 22 x2 y22 ab2P1、P2，則切點(diǎn)弦 P1P2 的直線方程是12 AB是橢圓b2 1 的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且過(guò)原點(diǎn)

3、的弦，M為AB 的中點(diǎn)， 則kOM kAB13 若P0( x0,22y0）在 橢 圓 x2 y2 1 內(nèi) ， 則 被 Po 所 平 分 的 中 ba2點(diǎn)弦的方程是b22. a2x0x y0y x0 y0b222 ab14若P0(x0,y0)15 若 PQ2 x2 y a2 b2 x2 y 是 橢 圓 2 2 ab在橢圓21內(nèi)，則過(guò) Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是 x2 y2 x0x y0y aba2 b21 （ a> b > 0 ） 上 對(duì) 中 心 張 直 角 的 弦 ， 則1122 r1 r2112 2 (r1 | OP |, r2 |OQ|) . ab22 xy16若橢圓 2 2

4、1(a>b>0)上中心張直角的弦 L所在直線方程為 Ax By 1 (AB 0), a2 b2a2 A2 b2B2則(1) 1212 A2 B2 ;(2) L 2 a4A2 b4B2222 2 2 2 a b 2b2x2 a2y2 ( 2 2 ab )2 ,則(i)ab弦 必 須 經(jīng) 過(guò) C2 上 一 定 點(diǎn)ab2 2 2 2 2 217給定橢圓C1 ： b x a y a b (a>b>0), C2 ：給 定 的 點(diǎn) P0(x0,y0) , 它 的 任 一 直 角 22ab2 y0) .對(duì) C1 上 任 意22 abM( ( 2 2 x0, 2 a b a bM &#

5、39; 的任一直角弦都經(jīng)過(guò) P0 點(diǎn) .(ii)對(duì)C2上任一點(diǎn) P' 0( x0', y0' )在C1上存在唯一的點(diǎn) M ',使得x2 y218設(shè) P0(x0,y0)為橢圓(或圓) C: 2 2 1 (a>0,. b>0)上一點(diǎn)， P1P2為曲線 C的動(dòng)弦 , ab且弦 P0P1, P0P2斜率存在，記為 k1, k 2, 則直線 P1P2通過(guò)定點(diǎn) M (mx0, my0) (m 1) 的充要條件是 1 m b2k1 k22 .1 m ax2 y219過(guò)橢圓 2 2 1 (a>0, b> 0)上任一點(diǎn) A( x0 , y0 )任意作兩條傾

6、斜角互補(bǔ)的直線交橢圓 ab于 B,C 兩點(diǎn)，則直線 BC 有定向且 kBC b2x0 (常數(shù)) .2220橢圓 2 2 1 (a > b > 0)的左右焦點(diǎn)分別為F1， F 2，點(diǎn) P 為橢圓上任意一點(diǎn)abF1PF2，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為2aS F1PF2 b2 tan ， P( 2c22BC a2y0c2 b2 tan2 ,b tan ) .2 c 221若 P 為橢圓 x2 y2 1( a>b> 0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ,F1, F 2 是焦點(diǎn) , PF1F2 a2 b2 1 2 acPF2F1，則 tan cot .2 1 a c 2 222 22橢圓 x

7、2 y2 1( a> b>0)的焦半徑公式： ab|MF1| a ex0 ,| MF 2 | a ex0 ( F1 ( c,0) , F2 ( c,0) M (x0,y0).2223若橢圓 x2 y2 1(a>b> 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為 L，則當(dāng) a2 b20<e2 1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn) P，使得 PF1是 P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與 PF2的比例中項(xiàng) . x2 y224P 為橢圓 2 2 1( a> b> 0)上任一點(diǎn) ,F1,F2 為二焦點(diǎn)， A 為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則 ab2a |AF2 | |PA| |PF1 | 2a |AF

8、1 ,|當(dāng)且僅當(dāng) A, F2, P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立 .22 xy25橢圓 2 2 1(a>b> 0)上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線 l ： y k(x x0) 對(duì)稱(chēng)的充要條件是 a2 b22 2 2 x 2 (a2 b2)2 . x02 2 2 .a b k 26過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直 . 27過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑 互相垂直 .x acos28P 是橢圓（ a>b>0）上一點(diǎn)，則點(diǎn) P 對(duì)橢圓兩焦點(diǎn)張直角的充要條件是y bsin21 e21 sin22

9、 2 2 x yx29設(shè) A,B 為橢圓 2 2 k(k 0,k 1) 上兩點(diǎn)，其直線 AB 與橢圓 2 a baP,Q,則 AP BQ .2y2 1 相交于b22a22 bx 其中 tan 2 2 ay,當(dāng) y 0時(shí) ,90 .31設(shè)S 為橢圓22xy2 2 1（ a> b>0）的通徑，定長(zhǎng)線段 abL 的兩端點(diǎn) A,B 在橢圓上移動(dòng)，記 |AB|= l ，M（x0,y0）是AB 中點(diǎn)，則當(dāng) lS時(shí)，有 （ x0 ）max2a l 2 2 2 c (c2 a2 b2,e);當(dāng)c 2e ax y 2 30在橢圓 2 2 1中，定長(zhǎng)為 2m（ o<ma）的弦中點(diǎn)軌跡方程為 m2

10、 bl S 時(shí)，有 (x0)max 2b 4b l ,(x0)min 0.22xy 2 22 2 232橢圓221與直線Ax By C 0有公共點(diǎn)的充要條件是 A2a2B2b2C2 .ab2233橢圓 （x 2x0）（y 2y0） 1與直線 Ax By C 0 有公共點(diǎn)的充要條件是ab2 2 2 2 2A2a2 B2b2 （Ax0 By0 C）2 .x2 y234設(shè)橢圓 x2 y2 1（ a> b> 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、 F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意ab一點(diǎn)，在 PF1F2 中，記 F1PF2, PF1F2, F1F2P，則有 e.sin sin a a2b2（ a&g

11、t;b>0）的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn) A1和 A 2的切線，與橢圓上任 |PA1| |PA2 | b2.35經(jīng)過(guò)橢圓 點(diǎn)的切線相交于36已知橢圓2 2 2 2 b x a yP1和 P2，則22x2 y22 1b1122 ;( 2) |OP|2 +|OQ|2 的最大值為a2 b22a12a> b> 0），O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)， 且OP OQ .1)2|OP|2 |OQ |22ab2 2 .ab37 MN 是經(jīng)過(guò)橢圓2242a b 2 ;( 3) S OPQ 的最小值是 abb2x2 a2 y2 a2b2 （ a> b> 0）過(guò)焦點(diǎn)的任一弦，若 AB 是經(jīng)過(guò)

12、橢圓中 心 O 且平行于 MN 的弦，則 |AB|2 2a|MN |.38MN 是經(jīng)過(guò)橢圓 b2x2 a2y2 a2b2（a>b>0）焦點(diǎn)的任一弦，若過(guò)橢圓中心O 的半弦112 2 . ab21OP MN ，則 2a|MN | |OP |222 xy39設(shè)橢圓 2 2 1（a> b> 0）,M（m,o） 或（o, m）為其對(duì)稱(chēng)軸上除中心， 頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)， ab過(guò) M 引一條直線與橢圓相交于 P、 Q 兩點(diǎn)，a2b2N 在直線 l ： x（或 y）上 .m40設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn) F 作直線與橢圓相交 AQ 分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F 的橢圓準(zhǔn)線于 M、41過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn) F 的直線

13、與橢圓交于兩點(diǎn)A2Q交于點(diǎn) M，A2P和A1Q交于點(diǎn) N，則 MF NF.2242設(shè)橢圓方程 x2 y2 1,則斜率為 k（k 0）的平行弦的中點(diǎn)必在直線 l： y kx的共軛直 a2 b2' ' b2 線 y k'x上 ,而且 kk '2 .a則直線 A 1P、A 2Q（A 1 ,A 2為對(duì)稱(chēng)軸上的兩頂點(diǎn)）的交點(diǎn)P、Q 兩點(diǎn)， A 為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) N 兩點(diǎn)，則 MF NF.P、Q, A1、A2 為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，AP 和A 1P 和22x2 y2 1上四點(diǎn),AB 、CD 所在直線的傾斜角分別為 , ，直 ab線AB 與CD相交于 P,且P不在橢圓

14、上 ,則|PA| |PB| b2cos2a2sin243設(shè) A 、B、C、D 為橢圓| PC | |PD | b2cos2a2 sin22244已知橢圓 x2 y2 1（a>b>0）,點(diǎn) P為其上一點(diǎn) F1, F 2為橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn)1PF2的外a2 b2（內(nèi)）角平分線為 l，作 F1、 F2分別垂直 l于 R、S，當(dāng) P 跑遍整個(gè)橢圓時(shí)， R、 S形成的軌跡方2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 程是 x2 y2 a2（b2y2 （a ce）（x c）2 （x2 y2 cx）2 ce（x c）2）.45設(shè) ABC 內(nèi)接于橢圓 ，且 AB 為 的直徑， l 為 AB 的共軛直徑所在

15、的直線， l 分別 交直線 AC、BC于E和F，又 D為l上一點(diǎn)，則 CD與橢圓 相切的充要條件是 D為EF的中點(diǎn).2x46過(guò)橢圓 2a2 y2 1（a>b>0）的右焦點(diǎn) F 作直線交該橢圓右支于 M,N 兩點(diǎn)，弦 MN 的 b P，則 |PF | MN | x247設(shè) A（x1 ,y1）是橢圓 2 a垂直平分線交 x 軸于e2.y 2b2x12 1（ a> b>0）上任一點(diǎn)，過(guò) A 作一條斜率為 2 1 的直 b線 L，又設(shè) d 是原點(diǎn)到直線22xy48已知橢圓 2 2ab交于 A、B、C、D 四點(diǎn)，則 AB =|CD.22xy49已知橢圓 2 2 1 （ a>

16、b>0）ab2a2y1L 的距離 , r1,r2 分別是 A 到橢圓兩焦點(diǎn)的距離，則r1r2d ab.2x 1（ a> b>0）和 2a22y2（ 0 1 ），b2一直線順次與它們相,A 、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段AB 的垂直平分線22abaa2 b2與 x 軸相交于點(diǎn) P（ x0 ,0） , 則x0a 22 xy50設(shè) P 點(diǎn)是橢圓 2 2 1 （ a>b>0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ab,F1、 F2 為其焦點(diǎn)記2b2F1PF2，則（1） | PF1 | PF2 |1 cos51設(shè)過(guò)橢圓的長(zhǎng)軸上一點(diǎn) B（ m,o）作直線與橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)， A 為橢圓長(zhǎng)

17、軸的左頂 點(diǎn) ， 連 結(jié) AP 和 AQ 分 別 交 相 應(yīng) 于 過(guò) B 點(diǎn) 的 直 線 MN ： x n 于 M ， N 兩 點(diǎn) , 則 2a m aMBN 90 2 2 .a m b （n a）2252 L 是經(jīng)過(guò)橢圓 x2 y2 1（ a> b>0）長(zhǎng)軸頂點(diǎn) A 且與長(zhǎng)軸垂直的直線， E、F 是橢圓 a2 b2兩個(gè)焦點(diǎn)， e 是離心率 ,點(diǎn) P L ，若 EPF ，則ab且僅當(dāng) |PH | 時(shí)取等號(hào)） .cx2 y253L 是橢圓 2 2 1（ a> b>0）ab離心率， EPF，H 是 L 與 X 軸的交點(diǎn)ab|PH | 時(shí)取等號(hào)） .cx2 y2是橢圓 2 2

18、 1（ a>b> 0）ab2 .(2) S PF1F2b tan 2 .的準(zhǔn)線，A、c 是半焦距，當(dāng)且僅當(dāng)54L的準(zhǔn)線，E、是銳角且 sine 或arc sin e （當(dāng)B 是橢圓的長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn) ,點(diǎn) P L ，e 是則 是銳角且 sine 或arc sin eF 是兩個(gè)焦點(diǎn)， H 是 L 與 x 軸的交點(diǎn)，EPF,離心率為 e，半焦距為 c，則 為銳角且 sine2 或arcsine2 （當(dāng)點(diǎn) P L， 且僅當(dāng) |PH | b a2 c2 時(shí)取等號(hào)） .c22 xyA 、B 兩點(diǎn)，55已知橢圓 2 2 1（ a> b> 0），直線 L 通過(guò)其右焦點(diǎn) F2,且與橢圓相交于

19、 a2 b2將 A、B 與橢圓左焦點(diǎn) F1連結(jié)起來(lái)，則 b2 |F1A| | F1B| （2a 2b ） （當(dāng)且僅當(dāng)2 a 右邊不等式取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng) A、 F1、B 三點(diǎn)共線時(shí)左邊不等式取等號(hào)） 22 xy2 1（ a> b> 0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)， P 是橢圓上的一點(diǎn)， b56設(shè) A、B 是橢圓 2aAB x 軸時(shí)PAB ,PBA , BPA， c、2 2ab2 |cos | e 分別是橢圓的半焦距離心率，則有 (1) |PA| 2 2 2 .(2) a c cos22tan tan 1 e2 .(3) S PAB2a2b22 2 cot .ba 22 xy57設(shè) A 、B 是橢圓

20、 2 2 1（ a> b> 0）長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)） 、外部的 ab2兩點(diǎn)，且 xA、 xB 的橫坐標(biāo) xA xB a2 ，（1）若過(guò) A 點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q 兩點(diǎn)，則PBA QBA ；（ 2）若過(guò) B 引直線與這橢圓相交于 P、Q 兩點(diǎn)，則 PBAQBA 180 .2258設(shè) A 、B 是橢圓 x2 y2 1（ a> b> 0）長(zhǎng)軸上分別位于橢圓內(nèi)（異于原點(diǎn)） ，外部的 a2 b2兩點(diǎn)，（1）若過(guò) A 點(diǎn)引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)，（若 B P 交橢圓于兩點(diǎn)，則 P、Q不關(guān)于2x軸對(duì)稱(chēng)），且 PBA QBA ，則點(diǎn) A、B的橫坐標(biāo) xA、x

21、B滿足 xA xB a 2 ；（2）若過(guò) B 點(diǎn)引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)，且 PBA QBA 180 ,則點(diǎn) A、B 的橫坐標(biāo)滿足 xA xB a2.22 ' x y ' '59設(shè) A, A'是橢圓 2 2 1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)， QQ'是與 AA'垂直的弦，則直線 AQ 與 ab22A'Q '的交點(diǎn) P 的軌跡是雙曲線x22 y22 1.22 ab608ab2a2 b26122 過(guò)橢圓 x2 y2 1 a2 b2| AB| |CD | 2（a ax2 y2a c到橢圓的軌跡是姊妹圓62到橢圓a>b>0）的左焦點(diǎn)

22、 F 作互相垂直的兩條弦 AB 、CD 則b2)2 2 1（ a>b> 0）兩焦點(diǎn)的距離之比等于a2 b2b（x a）2 y2 b2 .22x2 y2 1（ a>b> 0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于 abc 為半焦距）的動(dòng)點(diǎn) Macbc 為半焦距）的動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是姊妹圓 （x a）2 y2 （b）2 .2263到橢圓 x2y2ab1（ a>b> 0）的兩準(zhǔn)線和 x 軸的交點(diǎn)的距離之比為a c（c 為半焦 b距）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊妹圓64已知 P 是橢圓a 2 2 b 2 (x 2 )2 y2 ( 2)2 ee 22 xy2 2 1 ( a> b>

23、; 0 ) abe 為離心率） .上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， A,A 是它長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) ,且AQ AP,AQ AP ，65橢圓的一條直徑 的比例中項(xiàng) .2 x 則 Q 點(diǎn)的軌跡方程是 2 4 aa （過(guò)中心的弦 ） 的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和長(zhǎng)軸之長(zhǎng)b2y21.2266設(shè)橢圓 x2y2ab1（ a>b>0）長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為 A,A , P（ x1 , y1）是橢圓上的點(diǎn)過(guò) P作斜率b2x' '為 2 1 的直線 l ，過(guò) A,A' 分別作垂直于長(zhǎng)軸的直線交 l于 M,M ' ,則a y1' ' 2 ' '（1）|AM

24、|A'M '| b2 .（ 2）四邊形 MAA'M '面積的最小值是 2ab.x2 y267已知橢圓 2 2 1（ a> b> 0）的右準(zhǔn)線 l 與 x 軸相交于點(diǎn) E ，過(guò)橢圓右焦點(diǎn) F 的直 ab線與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn),點(diǎn)C在右準(zhǔn)線 l上，且 BC x軸，則直線 AC 經(jīng)過(guò)線段 EF 的中點(diǎn). （x a）2 y268 OA 、OB 是橢圓2 2 1（ a>0,b>0）的兩條互相垂直的弦， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，ab2ab2則（ 1）直線 AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn) （ 2 2,0） .（2） 以O(shè) A、O B 為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn) Q的 a

25、2 b2 ab2 2 2 ab2 2軌跡方程是 （x 2 2） y （ 2 2） （x 0）.a b a b（x a）2 y269 P（m,n） 是橢圓2 2 1（a>b>0）上一個(gè)定點(diǎn)， P A、P B是互相垂直的弦， a2 b222則（ 1）直線 AB 必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)2ab2 m(a2 b2) n(b2 a2) ) .(2)以 P A、P B為直徑的兩22 ab22 ab圓的另一個(gè)交點(diǎn) Q 的軌跡方程是 ab2 a2m 2b2n(x 2 2 ) (y 2 2 a b a b)2a2b4 n2(a2 b2)(x m且 y n).2 2 2（a2 b2）270如果一個(gè)橢圓短半軸長(zhǎng)為

26、 b，焦點(diǎn) F1、F2到直線 L的距離分別為 d1、d2，那么（1）d1d2 b2 ， 且 F1、F2在L 同側(cè) 直線 L 和橢圓相切 .（2）d1d2 b2，且 F1、F2在L 同側(cè) 直線 L 和橢 圓相離，（ 3） d1d2 b ，或 F1、 x2 y271 AB 是橢圓 2 2 1ab B 的切線交于 C 、D 兩點(diǎn)，則梯形F2 在 L 異側(cè) 直線 L 和橢圓相交 .a>b> 0）的長(zhǎng)軸， N 是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò) N 的切線與過(guò) A、2272設(shè)點(diǎn) P(x0,y0)為橢圓 x2 y2 1 ab 定 點(diǎn) P(x0, y0) 的 任 一 弦 ， 當(dāng) 弦 AB2 2 2 2 2 2a

27、2b2 (a2 y02 b2x02)(|PA| | PB |)max(|PA| | PB |)min73747576772 2 2ABDC 的對(duì)角線的交點(diǎn) M 的軌跡方程是 x2 4a2y2 1（y 0） .22 xy a>b> 0）的內(nèi)部一定點(diǎn)， AB 是橢圓 2 2 1過(guò) ab 平行（或重合）于橢圓長(zhǎng)軸所在直線時(shí)b2a2b2 (a2y02 b2x02 ). 當(dāng) 弦 AB 垂 直 于 長(zhǎng) 軸 所 在 直 線 時(shí) ,b2 橢圓焦三角形中 , 以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相內(nèi)切 橢圓焦三角形的旁切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的長(zhǎng)軸端點(diǎn) . 橢圓兩焦點(diǎn)到橢圓焦三角形旁切圓的切

28、線長(zhǎng)為定值 a+c 與 a-c. 橢圓焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其內(nèi)切圓的切線長(zhǎng)為定值 a-c. 橢圓焦三角形中 , 內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（ 離心率 ）.注: 在橢圓焦三角形中 , 非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為內(nèi)、外點(diǎn) 78橢圓焦三角形中 79橢圓焦三角形中 80橢圓焦三角形中 側(cè)焦點(diǎn)的距離成比例 .81橢圓焦三角形中 側(cè)焦點(diǎn)連線段成比例 .82橢圓焦三角形中 與另一焦半徑所在直線平行83橢圓焦三角形中 為橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng) .84橢圓焦三角形中, 內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e., 半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)., 橢圓中心到內(nèi)點(diǎn)的距離、

29、內(nèi)點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同, 半焦距、外點(diǎn)與橢圓中心連線段、內(nèi)點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同, 過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線, 過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線, 過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線, 則橢圓中心與垂足連線必, 則橢圓中心與垂足的距離, 垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的切點(diǎn) ., 非焦頂點(diǎn)的外角平分線與焦半徑、長(zhǎng)軸所在直線的夾角的余弦的比為85定值 e.868788 的圓必過(guò)兩焦點(diǎn) .橢圓焦三角形中橢圓焦三角形中 橢圓焦三角形中 橢圓焦三角形中, 非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的內(nèi)角平分線 ., 非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的外角平分線

30、 ., 過(guò)非焦頂點(diǎn)的切線與橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)處的切線相交, 則以兩交點(diǎn)為直徑289. 已知橢圓 2 y2 1（a 0,b 0） （包括圓在內(nèi)）上有一點(diǎn) P ,過(guò)點(diǎn) P分別作直線 abx2y b x 及 y b x 的平行線，與直線 OP 分別交于 R,Q ,O為原點(diǎn)，則： .aa2 2 2 2 2 2(1)|OM |2 |ON |2 a2；(2)|OQ |2 |OR|2 b2.90. 過(guò)平面上的 P點(diǎn)作直線 l1:y bx及l(fā)2:yb x的平行線，分別交 x軸于M,N，交 yaa22軸于 R,Q .(1)若 |OM |2 |ON |2 a2，則 P 的軌跡方程是 x2 y2 1(a 0,b 0)

31、.(2)若 ab222 2 2 x y|OQ|2 |OR|2 b2，則 P的軌跡方程是 2 2 1(a 0,b 0).a2 b2x2 y291. 點(diǎn) P為橢圓 2 2 1(a 0,b 0) (包括圓在內(nèi) )在第一象限的弧上任意一點(diǎn)， 過(guò) P引 abx軸、 y軸的平行線，交 y軸、 x軸于M , N ，交直線 y bx于Q,R，記 OMQ 與 ONR aab的面積為 S1, S2 ，則： S1 S2.292. 點(diǎn)P為第一象限內(nèi)一點(diǎn)，過(guò) P引x軸、 y軸的平行線，交 y軸、 x軸于 M,N ，交直線 y bx于Q,R，記 OMQ 與 ONR的面積為 S1, S2 ，已知 S1 S2 ab，則 P的

32、軌跡方程 a222xy是 2 2 1(a 0,b 0).ab雙曲線1 | PF1 | |PF2 | 2a22 xy 2標(biāo)準(zhǔn)方程：2 2 1| PF1 |ab31 e 1d14點(diǎn) P 處的切線 PT 平分 PF1F2在點(diǎn) P 處的內(nèi)角 .5PT平分 PF1F2在點(diǎn) P處的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 PT 上的射影 H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑 的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) .6以焦點(diǎn)弦 PQ 為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交 .7以焦點(diǎn)半徑 PF1 為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓外切 .8設(shè) A1、A2為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，則 PF1F2 在邊 PF2(或 PF1)上的旁切圓，必與 A1A2 所在的直線切于 A2(或

33、 A 1).229雙曲線 x2 y2 1(a> 0,b> 0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1( a,0) , A2(a,0) ，與 y 軸平行的直線交 ab22 雙曲線于 P1、P2時(shí) A1P1與 A 2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 x2 y2 1.a2 b22210若 P0(x0, y0)在雙曲線 x2 y2 1 ( a> 0,b> 0)上，則過(guò) P0的雙曲線的切線方程是a2 b2x0xy0y2 2 1. ab22 xy 11若 P0 (x0, y0 ) 在雙曲線 2 2 ab1( a> 0,b>0)外 ，則過(guò) Po 作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為 P1、P2，則切點(diǎn)弦 P1P2

34、的直線方程是x0xy0 y1.a2 b212 AB 是雙曲線 2a2 222xyb2a> 0,b>0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且過(guò)原點(diǎn)的弦，M 為 AB 的中點(diǎn)，則 kOM kAB2 .a13若 P0(x0,y0) 在雙曲線2x2a2by22 1a> 0,b> 0)內(nèi)，則被 Po 所平分的中點(diǎn)弦的方程是x0x y0 yx022y014若 P0(x0,y0) 在雙曲線22 xyx0x y0ya2 b2a2 b215 若 PQ 是 雙2 ab222xy22ab21曲線2 x2y2 1a> 0,b> 0)內(nèi)，則過(guò) Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是b>a >0)上對(duì)中

35、心張直角 的弦，則1122 r1 r211a2 b2 (r1 |OP|,r2 |OQ|).22xy16 若 雙 曲 線 2 2 1 ( b >aba >0)上中心 張直角的弦 L 所在 直線方程為Ax By 1 (AB 0) ,則(1) 12 12a2 b22 a4 A2 b4 B222A2 B2;(2) L |a2A2 b2B2 |2 2 2 217給定雙曲線 C1： b2x2 a2y22 2 2 2 2 2 a b (a>b>0), C2 ：b x a y (2 2 a2 b22 a2 b2 ab)2,則(i) 對(duì) C1 上任 意給 定的點(diǎn) P0(x0,y0) ,它

36、 的任直角弦必須經(jīng) 過(guò) C2 上一 定點(diǎn)a2 b2a2 b2M( ( 2 2 x0,2 2 y0) .a b a b(ii)對(duì)C2上任一點(diǎn) P' 0( x0', y0' )在C1上存在唯一的點(diǎn) M',使得 M '的任一直角弦都經(jīng)過(guò) P0'點(diǎn).18設(shè) P0 (x0,y0) 為雙曲線22 xy2 2 1( a> 0,b > 0)上一點(diǎn)， a2 b2P1P2 為曲線 C 的動(dòng)弦 ,且弦 P0P1,P0P2 斜率存在，記為k1, k 2, 則直線 P1P2 通過(guò)定點(diǎn) M (mx0, my0) (m 1) 的充要條件是1 m b2 k1 k2

37、2 .1 m a 22 19過(guò)雙曲線 x2 y2 1(a>0,b>o)上任一點(diǎn) A( x0 , y0 )任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交 ab雙曲線于 B,C 兩點(diǎn)，則直線BC 有定向且 kBCb x0 （常數(shù)） .2a y02220雙曲線 a2 b2 1a> 0,b> o）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn) P 為雙曲線上任意一點(diǎn)F1PF2， 則 雙曲線的焦點(diǎn)角 形 的 面 積 為 S F1PF2 b2cot，P(a c b tan , cot ) .2 c 222xy21若 P 為雙曲線 2 2 1( a>0,b> 0)abca，則ca右（或左）支上除頂點(diǎn)外的

38、任一點(diǎn),F1, F 2 是焦點(diǎn) ,PF1F2, PF2F1tan cot (或22catan cot ) .22ca22 22雙曲線 x2 y2 1 a2 b2 當(dāng)M （ x0, y0 ）在右支上時(shí)， 當(dāng)M （ x0, y0 ）在左支上時(shí)，22a> 0,b> o）的焦半徑公式： （ F1（ c,0）|MF1 | ex0 a,|MF2 | ex0 a. |MF1| ex0 a,|MF2 | ex0 a.231<e24, F2(c,0)若雙曲線 x2 y2 1（a>0,b> 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 a2 b22 1時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn) P，使得 PF1是 P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)

39、線距離 d與 PF2的比例中項(xiàng) . 22P 為雙曲線 x2 y2 1（a>0,b>0）上任一點(diǎn) ,F1,F2 為二焦點(diǎn)， A 為雙曲線內(nèi)一定點(diǎn)，則 a2 b2F1、F2，左準(zhǔn)線為 L ，則當(dāng)|AF2| 2a |PA| | PF1 | ,當(dāng)且僅當(dāng) A, F2, P三點(diǎn)共線且 P和 A,F2在 y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立 .22 xy25雙曲線 2 2 1（a>0,b>0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線 l： y k（x x0） 對(duì)稱(chēng)的充要條件 ab2 2 2 是 2 （a2 b2）2 是 x02 2 2 .a b k 26過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交

40、點(diǎn)與相應(yīng) 焦點(diǎn)的連線必與切線垂直 .27過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦 半徑互相垂直 .x asec28P 是雙曲線（ a>0，b>0）上一點(diǎn)，則點(diǎn) P 對(duì)雙曲線兩焦點(diǎn)張直角的充要y btan條件是 e21 tan2 .29設(shè) A,B 為雙曲線22xy2 2 k （a>0,b>0， k 0,k 1 ）上兩點(diǎn)，其直線 AB 與雙曲線 ab22x2 y2 1相交于 P,Q,則 AP BQ.ab2230在雙曲線 x2 y2 1中，ab22x2 y21 (a2 b2 )2定長(zhǎng)為 2m（ m）0）的弦中點(diǎn)軌跡方程為 m22 2cos

41、sinb2其中 tanb2x22 2 ,當(dāng) y 0時(shí) , ay90 .a> 0,b> o）的通徑，定長(zhǎng)線段L 的兩端點(diǎn) A,B 在雙曲線上2231設(shè) S 為雙曲線 2 2 1a2 b22a l 2 2 2 c (c a b ,e );c 2e a移動(dòng)，記|AB|= l ，M （ x0, y0）是AB 中點(diǎn)，則當(dāng) lS時(shí)，有（x0）min當(dāng) lS 時(shí)，有(x0)min 2ab 4b2 l2 .32雙曲線22 xy2 1（a>0,b> 0）與直線 Ax By C 0 有公共點(diǎn)的充要條件是 b22 a C2.233雙曲線 （x 2x0）（y 2y0）1（a>0,b>

42、;0）與直線 Ax By C 0 有公共點(diǎn)的充要2 2 2 2 A2 a2 B2b2a2b22 2 2 2 2 條件是 A2a2 B2b2 (Ax0 By0 C)2 .2234設(shè)雙曲線 x2 y2 1（ a> 0,b> 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線上 ab, PF1F2, F1F2P， 則 有任 意 一 點(diǎn) ， 在 PF1F2 中 ， 記 F1PF2ce.( si n s i na )2235經(jīng)過(guò)雙曲線ax2 by2 1（a>0,b>0）的實(shí)軸的兩端點(diǎn) A1和 A2的切線，與雙曲線上任2 點(diǎn)的切線相交于 P1和P2，則 |PA1| |PA2|

43、 b2.2x36已知雙曲線 2 a211 |OP|2 |OQ |2y2 1（b>a > 0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)， 且OP OQ . b21 14a2b212 12 ;（ 2） |OP|2+|OQ|2 的最小值為 22 ;（3） S OPQ 的最小值是a b b a4a2b2a2b222 ba22 xy37 MN 是經(jīng)過(guò)雙曲線 2 2 1（ a> 0,b> 0）過(guò)焦點(diǎn)的任一弦 （交于兩支 ），若 AB 是經(jīng)過(guò) ab雙曲線中心 O且平行于 MN 的弦，則 |AB|2 2a|MN |.22xy38MN 是經(jīng)過(guò)雙曲線 2 2 1（ a> b>0

44、）焦點(diǎn)的任一弦 （交于同支 ），若過(guò)雙曲線中心 O a2 b22的半弦 OP MN ，則 2112 2 2a|MN | |OP |2 a2 b222xy39設(shè)雙曲線 2 2 1（ a>0,b> 0）,M（m,o） 為實(shí)軸所在直線上除中心，頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)， ab過(guò) M 引一條直線與雙曲線相交于 P、Q兩點(diǎn)，則直線 A 1P、A 2Q（A 1 ,A 2為兩頂點(diǎn) ）的交點(diǎn) N 在直線 2al： x上.m40設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn) F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)， A 為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) AP 和 AQ 分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的雙曲線準(zhǔn)線于 M、N 兩點(diǎn)，則 MF NF.41過(guò)雙曲線一個(gè)

45、焦點(diǎn) F 的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) P、Q, A1、A2 為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)， A1P和 A2Q 交于點(diǎn) M，A2P和 A1Q 交于點(diǎn) N，則 MF NF.2242設(shè)雙曲線方程 x2 y2 1,則斜率為 k（k 0）的平行弦的中點(diǎn)必在直線 l： y kx的共軛 abb2直線 y k'x 上,而且 kk' b2 .a22243設(shè) A、B、C、D為雙曲線 x2 y2 1（a>0,b>o）上四點(diǎn) ,AB、CD所在直線的傾斜角 a2 b2|PA| |PB| b2 cos2a2sin2分別為 , ，直線 AB 與 CD相交于 P,且 P不在雙曲線上 ,則2 2 2 2|PC

46、| |PD| b2 cos2a2sin222xy44已知雙曲線 2 2 1（a>0,b>0）,點(diǎn) P為其上一點(diǎn) F1, F 2為雙曲線的焦點(diǎn)， F1PF2 a2 b2的外（內(nèi)）角平分線為 l，作 F1、 F2分別垂直 l于 R、S，當(dāng) P跑遍整個(gè)雙曲線時(shí)， R、S形成的 軌跡方程是x2 y2 a2（a3b（x c）（a2 b2）x b2c 2 a4c2（x c）y2 （ab3c2y2）2）.45設(shè) ABC 三頂點(diǎn)分別在雙曲線上，且 AB 為 的直徑， l 為 AB 的共軛直徑所在的直線， l分別交直線 AC、BC于E和F，又 D為l上一點(diǎn)，則 CD與雙曲線 相切的充要條件是 D 為

47、 EF 的中點(diǎn) .x2 y246過(guò)雙曲線 2 2 1 （a> 0,b> 0）的右焦點(diǎn) F 作直線交該雙曲線的右支于 M,N 兩點(diǎn)， a2 b2弦 MN 的垂直平分線交47設(shè) A（x1 ,y1）x 軸于 P，則 |PF | e .|MN | 2 y2b2xy2 1（ a>0,b>0）上任一點(diǎn)，過(guò) A 作一條斜率為 b2x1 的 ba y12 是雙曲線 x2 a2直線 L ，又設(shè) d 是原點(diǎn)到直線2x48已知雙曲線 2aL 的距離 , r1,r2分別是 A 到雙曲線兩焦點(diǎn)的距離，則r1r 2d ab.22xy1 （ a> 0,b> 0）和 2 2（ 01ab2

48、y b2 它們相交于 A、B、C、D 四點(diǎn)，則 AB =|CD.2y2 1（ a> 0,b > 0）,A 、B 是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段 b2），一條直線順次與2x 49已知雙曲線2aAB的垂直平分線與 x 軸相交于點(diǎn) P( x0 ,0) , 則 x0 a b2或 x0 aa2 b22250設(shè) P 點(diǎn)是雙曲線 ax2 by21（ a>0,b > 0）上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2 為其焦點(diǎn)記2b22F1PF2，則(1) | PF1 | PF2 |1 2cbos .（2） S PF1F2 b2cot2.為雙曲線實(shí)軸51設(shè)過(guò)雙曲線的實(shí)軸上一點(diǎn) B（m,o）作直線與雙曲線相

49、交于 P、Q 兩點(diǎn)， A 的左頂點(diǎn)，連結(jié) AP 和 AQ 分別交相應(yīng)于過(guò) B 點(diǎn)的直線 MN ： x n 于 M ，N 兩點(diǎn) ,則MBN 90 a mam52 L 是經(jīng)過(guò)雙曲線2 a b2（n a）2 .22x2 y2 1（a>0,b>0）焦點(diǎn) F且與實(shí)軸垂直的直線， A、B 是雙曲線 a2 b211 實(shí)軸的兩個(gè)焦點(diǎn)， e是離心率 ,點(diǎn)P L ，若 EPF ，則 是銳角且 sin 或 arc sinab（當(dāng)且僅當(dāng) |PH | 時(shí)取等號(hào)） .c22 xy53L 是經(jīng)過(guò)雙曲線 2 2 1（a>0,b> 0）的實(shí)軸頂點(diǎn) A 且與 x 軸垂直的直線， E、F 是 a2 b2雙曲

50、線的準(zhǔn)線與 x軸交點(diǎn),點(diǎn)P L ，e是離心率， EPF，H是L與X 軸的交點(diǎn) c是半焦距，11ab則 是銳角且 sin 或 arc sin （當(dāng)且僅當(dāng) |PA| 時(shí)取等號(hào)） .eec22 xy54L 是雙曲線 2 2 1（a>0,b>0）焦點(diǎn) F1且與 x 軸垂直的直線， E、F 是雙曲線準(zhǔn)線 abL 與 x 軸的交點(diǎn)，點(diǎn) P L ， EPF, 離心率為 e，半焦距為 c ，則 為銳arc sin 12e222 xy與 x 軸交點(diǎn)， H 是1 角且 sin 2 或e2當(dāng)且僅當(dāng) |PF1 | b a2 c2 時(shí)取等號(hào)） . c55已知雙曲線 2 2 1 aba> 0,b>

51、 0），直線 L 通過(guò)其右焦點(diǎn) F2,且與雙曲線右支交于A、ee2 2 2B 兩點(diǎn)，將 A 、 B 與雙曲線左焦點(diǎn)a2F1連結(jié)起來(lái)，則 |F1A| |F1B| (2a 2b ) (當(dāng)且僅當(dāng) AB x2 x 56設(shè) A 、 B 是雙曲線 2 a2 b PAB , PBA , BPA22ab2 |cos |(1)|PA| 2 2 2|a c cos軸時(shí)取等號(hào)）2y2 1 （ a> 0,b> 0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)， P 是雙曲線上的一點(diǎn)，| (2) tan tan 1 e2 .(3) S PAB，c、e 分別 是雙曲 線的 半焦 距離心率， 則有 2a2b2 cot2 2 cot .b2 a

52、22257設(shè) A、B 是雙曲線 x2 y2 1（a> 0,b> 0）實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點(diǎn)的 ab區(qū)域）、外部的兩點(diǎn)，且 xA、 xB 的橫坐標(biāo) xA xB a2，（1）若過(guò) A 點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相 交于 P、Q 兩點(diǎn)，則 PBAQBA ；（ 2）若過(guò) B 引直線與雙曲線這一支相交于 P、Q兩點(diǎn)，則PBA QBA 180 .2258設(shè) A、B 是雙曲線 x2 y2 1（a> 0,b>0）實(shí)軸上分別位于雙曲線一支內(nèi)（含焦點(diǎn)的 ab區(qū)域），外部的兩點(diǎn)， （1）若過(guò) A 點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，（若 B P 交雙曲線這一支于兩點(diǎn)，則 P、Q

53、不關(guān)于 x 軸對(duì)稱(chēng)），且 PBAQBA ，則點(diǎn) A、B 的橫坐標(biāo) xA、 xB滿足 xA xB a2；（2）若過(guò) B 點(diǎn)引直線與雙曲線這一支相交于P、Q兩點(diǎn)，且 PBA QBA 180 ,則點(diǎn) A、B 的橫坐標(biāo)滿足 xA xB a2 .22' x y ' '59設(shè) A,A' 是雙曲線 2 2 1的實(shí)軸的兩個(gè)端點(diǎn)， QQ'是與 AA'垂直的弦，則直線 AQ ab與 AQ' ' 的交點(diǎn) P 的軌跡是雙曲線22 xy2 2 1.ab2260過(guò)雙曲線 x2 y2 1aba> 0,b > 0 )的右焦點(diǎn) F 作互相垂直的兩條弦AB 、CD, 則|a82abb2| |AB| |CD |.61到雙曲線M 的軌跡是姊妹圓62到雙曲線22x y c a2 2 1 ( a> 0,b > 0)兩焦點(diǎn)的距離之比等于 a2 b2b2 2 2(x ec)2 y2 (eb)2 .22x2 y2 1(a> 0,b>0)的實(shí)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于a2 b2c 為半焦距)的動(dòng)點(diǎn)cac 為半焦距)的動(dòng)點(diǎn) M 的軌跡是姊妹圓 (x a)2 y2 b2 .2263到雙曲線 x2 y2 1 (a> 0,b> 0)的兩準(zhǔn)線和 x 軸的交點(diǎn)的距離之比為 a2 b2cba(c為半焦距)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊妹