1、摘 要隱函數定理是數學分析和高等數學中的一個重要定理，它不僅是數學分析和高等代數中許多問題的理論基礎，并且它也為許多數學分支，如泛函分析、常微分方程、微分幾何等的進一步研究提供了堅實的理論依據. 隱函數定理有著十分廣泛的應用，在經濟學、優化理論、條件極值等中均有重要作用. 對本課題的研究，可以加深我們對微分學的認識與理解. 本文簡略地論述了隱函數的概念、隱函數定理的內容及證明方法、以及隱函數定理在各個方面的應用. 本文從隱函數定理出發，給出了推論隱函數組定理和反函數組定理以及他們的證明過程. 這些推論使隱函數定理的應用更加廣泛. 并針對隱函數定理在計算導數和偏導數、幾何應用、條件極值、以及優化

2、理論這幾個方面的應用做了系統的論述. 關鍵詞：隱函數定理；應用；優化理論 ；證明AbstractImplicit function theorem of mathematical analysis and higher mathematics is one of the important theorem, it is not only the mathematical analysis and higher algebra in the theoretical foundation of the many, and it also for many branches of mathemati

3、cs, such as functional analysis, ordinary differential equation, differential several further research how to provide the solid theoretical basis. Implicit function theorem has a very wide range of application, in ec onomics, optimization theory, such as extreme conditions which is an important role

4、. This topic research, can deepen our understanding of the differential calculus and understanding. This paper briefly discusses the concept of implicit function, the content of the implicit function theorem and prove method, and implicit function theorem in all aspects of the application. This pape

5、r, from the implicit function theorem are given, and the corollary of implicit function theorem and the group FanHanShu group theorem and proof of their process. These claims that the application of implicit function theorem and more extensive. And in the light of implicit function theorem in the ca

6、lculation of the derivative and partial derivative, geometric application, conditional extreme, and the several aspects optimization theory of the application of the system is also discussed in the paper. Key words: implicit function theorem; Application; Optimization theory; proof不要刪除行尾的分節符，此行不會被打印

7、目 錄摘要IAbstractII緒論1第1章 隱函數21. 1 隱函數21. 2 隱函數組的概念21. 3 反函數組的概念3第2章 隱函數定理42. 1 隱函數定理42. 2 隱函數組定理62. 3 反函數組定理7第3章 隱函數定理的應用93. 1 計算導數和偏導數93. 1. 1 隱函數的導數93. 1. 2 隱函數組的導數93. 1. 3 對數求導法103. 1. 4 由參數方程所確定的函數的導數103. 2 幾何應用113. 2. 1 空間曲線的切線與法平面113. 2. 2 空間曲面的切平面與法線143. 3 條件極值153. 3. 1 無條件極值153. 3. 2 拉格朗日乘數法16

8、3. 4 最優化問題183. 4. 1 無約束最優化問題183. 4. 2 約束最優化問題19結論21參考文獻22致謝23千萬不要刪除行尾的分節符，此行不會被打印。在目錄上點右鍵“更新域”，然后“更新整個目錄”。打印前，不要忘記把上面“Abstract”這一行后加一空行緒 論通常我們遇到的函數都是因變量用自變量的一個解析式表示的，這種形式的函數我們稱之為顯函數. 但在許多實際問題中，變量之間的函數關系往往不是用顯式形式表示的，而是通過一個或多個方程來確定的，由此便產生了隱函數. 隱函數的產生為許多數學問題的解決帶來了極大的方便，本文就隱函數的存在性定理、連續性定理、可微性定理做了系統的研究.

9、隱函數定理是高等數學和數學分析中的一個非常重要的定理，它不但是高等數學和數學分析中許多問題的理論基礎，并且它也為許多數學分支，如微分幾何、常微分方程、泛函分析等的進一步研究提供了堅實的理論依據. 隱函數定理的應用范圍十分廣泛，在數學分析、幾何、優化理論、條件極值中均有重要作用. 對隱函數定理及其應用的研究，可以加深我們對微分學的認識與理解. 現今國內外很多學者都在研究隱函數定理及其應用這個課題，也把它的有關知識作為一種工具用于證明、計算其它定理. 我國數學家陳文源、范令先教授在1986年出版隱函數定理一書，在書中提出許多獨到見解，并由隱函數定理得出許多推論. 法國數學家扎芒斯凱在1989年出版

10、普通數學一書，其中對隱函數定理進行了更深層次的研究. 我國學者史艷維在2010年發表期刊關于隱函數定理和Peano定理的一點注記，其中給出了隱函數定理的另一種證明方法. 我國學者王鋒、李蘊潔在2005年發表期刊隱函數定理在經濟學比較靜態分析中的應用，更好的詮釋了隱函數定理在其他領域內的應用. 本文主要論述了隱函數定理及隱函數定理的一些推論，并給出了隱函數定理在計算導數和偏導數、幾何應用、條件極值、最優化問題這四個方面上的應用. 第1章 隱函數隱函數與我們以前接觸的函數有所不同，它是數學分析中相對于顯函數而言的一種函數變現形式. 在這一章里，我們將具體地研究隱函數. 1.1 隱函數以前接觸的函數

11、（對應關系）多是用自變量的數學表達式表示的，一般稱這樣的函數為顯函數. 如，=等. 定義1. 11 若自變量與因變量之間的對應關系是由某個方程所確定的，即有兩個非空數集與，對任意,通過方程對應唯一一個,這種對應關系稱為由方程所確定的隱函數. 記為，則成立恒等式，例如，二元方程在上確定（從中解得）一個隱函數. 隱函數不一定能寫成的形式，如，因此隱函數不一定是函數，而是方程. 其實總的來說，函數都是方程，而方程卻不一定是函數2. 1.2 隱函數組的概念定義1.23 設和為定義在區域上的兩個四元函數，若存在平面區域,對于中每一點，分別在區間和上有唯一一對值,它們與，一起滿足方程組 (1-1)則稱方程

12、組(1-1)確定了兩個定義在區域上，值域分別在和內的函數，稱這兩個函數為方程組(1-1)所確定的隱函數組. 若分別記這兩個函數為，則在上成立恒等式，1.3 反函數組的概念定義1.34 設有函數組， (1-2)如果能從此函數組(1-2)中，把，分別用，的二元函數表示出來，即， (1-3)則稱(1-3)為函數組(1-2)的反函數組. 第2章 隱函數定理在第一章中我們已經介紹了隱函數的概念，設有方程，那么在什么條件下，此方程能確定一個隱函數？在本章里，我們將討論隱函數的存在性、連續性與可微性，不僅是出于深刻了解這類函數本身的需要，同時又為后面研究隱函數組的存在性問題打好了基礎. 2.1 隱函數定理定

13、理2. 15 若函數滿足下列條件(1)(2)在點的一個鄰域中,函數連續(3)則有下列結論成立：在點的某個鄰域內, 方程唯一確定了一個定義在某區間內的隱函數，滿足且；在區間內連續；在區間內具有連續的導數，滿足證 為了不失一般性，不妨設. 首先證明隱函數的存在性與惟一性. 由，我們知道是連續的，由的連續性與局部保號性可知，存在閉矩形域有所以，對任意的，在上嚴格單調增加. 因為，所以可得又由于在上是連續的，所以存在，使得所以，對于每一個固定的，在上都是嚴格單調增加的連續函數，并且有因為零點存在定理，存在惟一的，使得. 因此由與的對應關系就確定了一個函數，其定義域為，值域包含于，記為：從而結論得以證明

14、. 其次證明隱函數的連續性. 任意取，對于任意給定的充分小的，可以得到因為連續函數的保號性可知，存在，當時，有因此，當時，由關于的單調性，相應于的隱函數值滿足，于是，即，所以在連續. 最后證明隱函數的可微性. 任取和都屬于，它們相對應的隱函數值為和，那么由多元函數微分中值定理，可得在這里， . 因此，當充分小時. 因為和是連續的，取極限可得且在內連續. 相應的，我們能夠得出由方程所確定的元隱函數的存在定理：定理2. 26 如果滿足下列條件(1)；(2)在點的一個鄰域內,函數連續；(3) ，那么則有以下結論成立：在點的某個鄰域內, 方程惟一確定了一個定義在點某鄰域內的隱函數，滿足，且；在鄰域內連

15、續；在鄰域內具有連續的偏導數，滿足. 例2. 1 驗證方程在原點的某鄰域內確定唯一的連續函數. 證 由于與都在上連續，當然在點的鄰域內連續，且由此可知方程在點的某鄰域內確定唯一連續的隱函數. 2.2 隱函數組定理 下面我們將給出由方程組所確定的隱函數組的存在定理. 定理2. 37 設以及它們的一階偏導數在以點為內點的某區域內連續，且滿足(1)(2)則方程組在的某鄰域內唯一確定兩個隱函數，有下列結論成立：，則有在鄰域內具有連續的一階偏導數，且例2. 28 驗證方程組在點的鄰域內確定隱函數組，并求，. 解 令 ，則：與以及它們的一階偏導數都連續且，所以由隱函數組定理可知題設方程組確定隱函數組在方程

16、兩端同時對求導得解得，2.3 反函數組定理定理2. 49 若函數組滿足如下條件：(1)均具有連續的偏導數(2)則函數組可確定唯一的具有連續偏導數的反函數組且有，及 或定理2. 5 若函數組滿足如下條件：(1)均具有連續的偏導數(2)則此函數組可確定唯一的具有連續偏導數的反函數組且有 例2. 2 10在中的一點，其直角坐標與相應球坐標的變換公式為其中，則函數組（除去軸上的點）可確定反函數組. 證 由于由反函數組定理，函數組（除去軸上的點）可確定分別是的函數，事實上，函數組的反函數組為，. 第3章 隱函數定理的應用3.1 計算導數和偏導數3.1.1 隱函數的導數11設方程確定一個單值可導函數，將代

17、入方程得恒等式，在恒等式兩邊對求導，便得到一個含有的方程，解出就求出了隱函數的導數，在恒等式兩邊對求導時，必須注意是的函數，要利用復合函數求導法. 例3. 1 求由方程所確定的隱函數對的導數. 解 我們在方程兩端對求導，注意是的函數，于是則是的復合函數，運用復合函數求導法可得所以. 3.1.2 隱函數組的導數12對方程組的各個方程兩邊對某自變量求導，遇見因變量就把它看作自變量的函數，最后解方程組，就可得到隱函數對各個自變量的導數或偏導數. 例3. 2 求函數的偏導數. 解 (1)當時，有(2)當時，根據偏導定義有：綜合(1) (2)得：3.1.3 對數求導法某些顯函數的導數直接去求十分繁瑣，有

18、時可以通過取對數的方法使其化為隱函數的形式，再用隱函數求導法去求導數，使其變得簡單些，這樣的求導方法我們稱為對數求導法. 例3. 3 計算的導數. 解 先在兩端取自然對數，得：再應用隱函數求導法，在上式兩端對求導，得所以得3.1.4 由參數方程所確定的函數的導數設由參數方程確定了是的函數，則稱這個函數為有參數方程所確定的函數，其中為參數，下面討論由參數方程所確定的函數求導法：設函數具有單調連續的反函數，且此反函數能與函數復合成復合函數，則由上面參數方程所確定的函數就可以看成是由，復合而成的函數，假設，都可導且，則由復合函數求導法則和反函數求導公式有：；即若都二階可導，則有：例3. 4已知拋物體

19、的運動軌跡的參數方程為求拋物體在此時刻的運動速度的大小和方向. 解 先求速度的大小，由于速度的水平分量為，垂直分量為，所以拋物體運動速度大小為再求速度的方向，即軌道的切線方向，設是切線的傾角，則由導數的幾何意義有所以拋物體剛射出（即）時當時這說明，這時運動方向是水平的，即拋物體達到最高點. 3.2 幾何應用3.2.1 空間曲線的切線與法平面133. 2. 1. 1空間曲線由參數方程給出的情況設空間曲線的參數方程為： (3-1)取定曲線上點，設式(3-1)中3個函數都在點可導. 且在的附近取動點，則割線方程為其中，. 以除以上式分母得=當時，,且，. 所以曲線在處得切線方程為=其切向量. 因為曲

20、線在點的法平面是垂直于切線的，所以法平面的法向量與平行，設法平面的法向量為，則=. 從而過點的法平面方程為特別地，如果空間曲線的參數方程以為參數，即：則在點的切線方程為切向量為，在點處的法平面方程為：如果為平面曲線，則過點切線方程為：或切向量為. 例3.513 求螺旋線在處的切線方程與法平面方程. 解 由，則切線方程為：即因此法平面方程為：3. 2. 1. 2 空間曲線為兩曲面交線的情況設空間曲線由方程組(3-2)給出，設它在點的鄰域內滿足隱函數組定理的條件（這里不妨設），則由隱函數存在定理可知在方程組(3-2)點附近可確定唯一連續導數的隱函數組，（亦即的參數方程），滿足：且故曲線在點的切線方

21、程為： = (3-3)曲線在點的法平面方程為：+=0 (3-4)同理，可證當或時，曲線在點的切線方程為(3-3)式，曲線在點的法平面方程為仍為(3-4)式. 例3. 6 求曲線在點處的切線與法平面方程. 解 令，首先求偏導數，得：，則曲線在點的切線方向向量為：故切線方程為法平面方程為3.2.2 空間曲面的切平面與法線14定義3. 1在空間曲面上，過點的任一曲線在點處的切線都在同一平面上，則此平面稱為曲面在點的切平面. 先討論曲面的方程為的情形，其次把顯式給出的曲面方程作為它的特殊情形. 設曲面由方程給出，其中具有一階連續的偏導數，在曲面上，過點的任一曲線的參數方程為 ，其中均可導，則曲線在點處

22、的切線方向向量為，由于曲線在曲面上，故有，對上式兩端關于求導，得：即 這表明向量與曲面上過點的任一曲線的切線都垂直，故所有切線都在以向量為法向量且過點的平面內，從而曲面過點的切平面的法向量為：于是過曲面上點處的切平面方程為：過點處的法線方程為：=上述討論中，都假設不全為零，現在來考慮曲面的方程為的情形，其中都有連續的偏導數，令使方程變形為則：所以曲面在點的法向量為：故曲面在點的切平面方程為：曲面在點的法線方程為：=，其中曲面：上的法向量可以是，也可以是，但當曲面的法向量向上時（即法向量正向與軸正向夾角滿足大于0小于時）的法向量應為. 例3. 715 求球面在點處的切平面及法線方程. 解 設，則

23、球面在點處的法向量為，所以球面在點的切平面方程為：即： 法線方程為：. 3.3 條件極值3.3.1 無條件極值3. 3. 1. 1 極值的概念定義3.2 設函數在點的某鄰域內有定義，如果對都有或（）則稱為函數的一個極大值（或極小值），此時點稱為的極大值點（或極小值點），函數的極大值和極小值統稱為函數的極值，極大值點和極小值點統稱為函數的極值點. 3. 3. 1. 2 極值存在的條件(1)極值存在的必要條件定理3.2 設函數在點處具有偏導數，且在點處有極值，則在該點的偏導數為零，即，證 不妨設函數在點處有極大值（極小值的情形可類似證明），由極大值定義，在點的某鄰域內異于點的點都適合不等式，特別的

24、，在該鄰域內取，的點，也有，這表明一元函數在處取得極大值，因此必有，同理，(2)極值存在的充分條件定理：設函數在駐點的鄰域內具有連續的一階與二階偏導數，記：，當0時，在點具有極值，且當0時有極大值，當0時有極小值. 當0時在點沒有極值. 當=0時，在點可能有極值，需另作討論. 例3.817求函數的極值. 解 方程組，求得駐點為和再求出二階偏導數，在點處，,故函數在點處取得極大值，在點處，故點不是函數的極值點. 3.3.2 拉格朗日乘數法自變量有附加條件限制多元函數的極值稱為條件極值，比如函數在條件 (3-5)下取得的極值就是條件極值. 現在討論函數在條件取得極值的必要條件. 設函數在點的某一鄰

25、域內，均有連續的一階偏導數，且，則方程能唯一確定是的具有連續導數的單值函數，將其代入函數，得一元函數，于是二元函數在點取得極大值的問題，由一元可導函數取得極大值的必要條件知應有： (3-6)又由隱函數求導公式，有：代入(3-6)式中得：即： (3-7)(3-5)、(3-7)式就是在條件下，在點取得極值的必要條件. 令即： (3-8)則(3-7)式變為 (3-9)由(3-5) (3-8) (3-9)式得函數在取得條件極值的必要條件是： (3-10) 實際上(3-10)式可看作函數，在點取得無條件極值的必要條件. 因此為了便于記憶，求函數在條件下的可能極值點，可以構造輔助函數，其中為某一常數，稱為

26、拉格朗日乘數，稱函數為拉格朗日函數，分別求對的偏導數，并使它們同時為零，得聯立方程組解此方程組得，其中就是可能極值點的坐標，上述方法稱為拉格朗日乘數法. 例3. 918 求函數，在條件下的最小值. 解 作拉格朗日函數對求偏導并令其為零，得：解得唯一穩定點：故所求最小值為：3.4 最優化問題在現實中，我們通常要解決“投資最少”“成本最低”“效益最高”等問題，稱這樣的問題為最優化問題，這類問題在數學上可以歸結為求某個函數在一定條件下的最大值或最小值問題. 最優化問題通常可以分為無約束最優化問題和有約束最優化問題. 3.4.1 無約束最優化問題無約束最優化問題的數學表達式就是：在自變量的取值范圍D上

27、，求一組使：或：這也是一個在D上求函數的最大值或最小值問題. 例3. 10 用鐵板做一個體積為的有蓋長方體水箱，問當長，寬，高分別為多少時，才能使用料最省？解 設水箱的長為m,寬為m，則高為m水箱所用材料的面積為：這樣所給問題就轉化為在域上求使此函數達到最小的用求最大值、最小值的方法即可求得即解方程組：得：根據題意可知，水箱所用材料面積的最小值一定存在，且在開區域內取得，同時函數在內只有唯一駐點，因此可以肯定當，取得最小值，即當水箱長、寬、高分別為m、m、m時，水箱所用材料最省. 3.4.2 約束最優化問題在約束最優化問題中，約束條件又可分為等式約束條件和不等式約束條件，在此我們只討論等式約束

28、條件的情形. 這時對應的最優化問題的數學表達式就是：在自變量的取值范圍上，求一組滿足約束條件的，使或，這也是一個有條件地求函數在上的最大值或最小值問題. 求解有約束最優化問題有兩種方法：一種方法是利用約束條件，將有約束最優化問題化為無約束最優化問題再求解. 令一種方法是拉格朗日乘數法. 例3. 11 求表面積為而體積最大的長方體的體積. 解 設長方體的長、寬、高分別為則問題就是求函數在條件下的最大值利用拉格朗日乘數法，構造拉格朗日函數對分別求導，并令其同時為零，得方程組：解此方程組得，這是唯一可能的極值點，因為由問題本身可知，最大值一定存在，所以最大值就在這個可能的極值點處取得，即表面積為的長

29、方體中，以棱長為的正方體的體積最大，最大體積為. 千萬不要刪除行尾的分節符，此行不會被打印。“結論”以前的所有正文內容都要編寫在此行之前。結 論本篇文章主要介紹的是隱函數定理及其應用，重點在于應用，難點在于如何將理論知識更深刻、更具體、更形象的運用在實際解題中緒論中主要介紹了隱函數的歷史發展、隱函數定理在數學分析中的重要地位，以及在現代生活中人們對隱函數的具體認識及其主要用途本文介紹了隱函數存在性定理、連續性定理及可微性定理，并予以嚴謹的證明。在這些定理的基礎上我們得出了反函數定理。隱函數的應用十分廣泛，特別是在計算導數上使問題更加簡便，本文就隱函數的導數問題做了簡單的研究，并舉例說明了隱函數

30、一階導數及高階導數的計算方法。隱函數求偏導數是數學分析的重要內容之一，它在數學的分支有廣泛的應用(如數學物理方程、微分方程等)。利用隱函數求偏導數可以求平面曲線、空間曲線的切線和空間曲面的切平面等。本文針對隱函數極值存在的必要、充分條件進行了論述并給出了應用實例。并介紹了條件極值中的拉格朗日乘數法及其嚴格的證明。隱函數定理的應用也體現在現實生活中，在最優化問題中，它為我們解決了“效益最高”、“成本最低”等問題。本文中我們將其分為無約束最優化問題和約束最優化問題兩個方面進行研究。本文主要講述了用隱函數定理解決問題，事實上，隱函數定理用途頗廣，它已成為國內外很多學者的研究對象，根據實際問題的需要會加快這門學問的發展速度參考文獻1 周運明. 數學分析(上冊) M. 科學出版社,2008:196-200.2 孫清華. 數學分析M. 華中科技大學出版社,2003, 310-313.3 郝涌. 數學分析選講M. 國防工業出版社, 2010, 185-189.4 盧丁(美). 數學分析原理M. 趙慈庚，譯. 機械工業出版社, 2004:221-225 .5 Cast i J L. Recent developmen t and fu ture perspect ivesin nonlinear system theo r