1、橢圓與雙曲線的對偶性質92 條橢圓1 | PF1 | PF2 | 2ax2y22標準方程：122ab|PF1|e13d14點 P 處的切線 PT 平分 PF1F2 在點 P 處的外角 .5PT 平分 PF1F2 在點 P 處的外角，則焦點在直線PT 上的射影 H 點的軌跡是以長軸為直徑的圓，除去長軸的兩個端點 .6以焦點弦 PQ為直徑的圓必與對應準線相離 .7以焦點半徑 PF1 為直徑的圓必與以長軸為直徑的圓內切.8設 A1、 A2 為橢圓的左、右頂點，則PF1F2 在邊 PF2（或 PF1）上的旁切圓，必與A1A2 所在的直線切于 A2（或 A1） .9橢圓x2y21（ a b o）的兩個頂

2、點為A1 (a,0) , A2 (a,0) ，與 y 軸平行的直線交橢圓a2b2x22于 P1、P2 時 A1P1 與 A2P2 交點的軌跡方程是y1 .a2b2x2y 210若 P0 (x0, y0 ) 在橢圓1上，則過P0 的橢圓的切線方程是x0 xy0 y1.b2a2b2a211若 P (x, y) 在橢圓x2y 21外 ，則過 Po 作橢圓的兩條切線切點為P1、 P2，則切點000a2b2弦 P1P2 的直線方程是x0xy0 y1.a2b212AB 是橢圓x2y21的不平行于對稱軸且過原點的弦，M 為 AB 的中點，則2b2b2akOMkABa2 .x2y213 若 P0 ( x0 ,

3、 y0 )在 橢 圓1 內 ， 則 被 Po 所 平 分 的 中 點 弦 的 方 程 是a2b2x0 x y0 y x02y02a2b2a2b2 .x2y2x2y214若 P0 x(0 y,0 )在橢圓1內，則過 Po 的弦中點的軌跡方程是x0 x y0 ya2b2a2b2a2b2 .15若 PQ 是橢圓x2y21 （ a b 0 ） 上 對 中 心 張 直 角 的 弦 ， 則a2b21111(r1| OP |,r2|OQ|).22a22r1r2b16若橢圓x2y21（ a b 0）上中心張直角的弦L 所在直線方程為AxBy 1 ( AB0) ,a2b2則 (1)11A2B2 ;(2)L2a4

4、 A2b4 B2 .a2b2a2 A2b2B2( a2b217給定橢圓 C ： b2 x2a2 y2a2b2 （ a b 0） , C2 ： b2 x2a2 y2ab) 2 ,則 (i)1a2b2對 C 上 任 意 給 定 的 點 P0 (x0 , y0 ) , 它 的 任 一 直 角 弦 必 須 經 過 C2上一定點1a2b2a2b2M( (22 x0 ,a2b2 y0 ) .ab(ii) 對 C2上任一點 P'0( x0' , y0' ) 在 C1上存在唯一的點M ' ,使得 M ' 的任一直角弦都經過P0' 點 .x2y21(a 0,.b

5、0)上一點， P1P2 為曲線 C 的動弦 ,18設 P0 (x0, y0 ) 為橢圓（或圓） C:22ab且弦 P0P1, P0P2 斜率存在， 記為 k1, k 2,則直線 P1P2 通過定點 M (mx0 , my0 ) (m1)的充要條件是k1 k21mb21ma2 .19過橢圓x2y21(a 0, b 0)上任一點 A( x0 , y0 ) 任意作兩條傾斜角互補的直線交橢圓a2b2b2 x0 （常數） .于 B,C兩點，則直線BC有定向且 kBCa2 y020橢圓x2y21 (a b 0)的左右焦點分別為F1，F 2，點 P 為橢圓上任意一點F1 PF2，a2b2則橢圓的焦點角形的面

6、積為SFPF2tanac222b2tan) .2b， P(btan,12c2 c221若 P 為橢圓x2y21（ ab 0）上異于長軸端點的任一點 ,F1, F 2 是焦點 ,PF1F2,a2b2PF2 F1，則actanco t .ac2222橢圓x2y21（ a b 0）的焦半徑公式：a2b2|MF1|aex0 ,| MF2 |aex0 ( F1 (c,0) ,F2 (c,0) M (x0 , y0 ) ).23若橢圓x2y21（ ab 0）的左、右焦點分別為F1、 F2，左準線為 L，則當a2b20 e21時，可在橢圓上求一點P，使得 PF1 是 P 到對應準線距離d 與 PF2 的比例

7、中項 .24 P為橢圓x2y21 （ a b 0）上任一點 ,F1 ,F2為二焦點，A 為橢圓內一定點，則a2b22a | AF2 | | PA | | PF1 | 2a| AF1 | ,當且僅當 A, F2 , P 三點共線時，等號成立 .25橢圓x2y21（ a b 0）上存在兩點關于直線l ： y k (x x0 ) 對稱的充要條件是a2b22(a2b2 )2x0a2b2k2 .26過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線，與以長軸為直徑的圓相交，則相應交點與相應焦點的連線必與切線垂直 .27過橢圓焦半徑的端點作橢圓的切線交相應準線于一點，則該點與焦點的連線必與焦半徑互相垂直 .28 P 是橢圓x

8、a cos（ a b 0）上一點，則點P 對橢圓兩焦點張直角的充要條件是yb sine211.sin 229設 A,B 為橢圓x2y 2k(k 0, k1) 上兩點，其直線AB 與橢圓x2y21相交于a2b2a2b2P,Q ,則 APBQ .x2y21 ( x2y2)30在橢圓1 中，定長為2m（ o ma）的弦中點軌跡方程為2a2b2,a2b2mcos2sin2b2 x2a2b2其中 tan0 時 ,90 .2y2 ,當 yax2y21（ a b0）的通徑，定長線段L 的兩端點 A,B 在橢圓上移動，31設 S 為橢圓b2a2記 |AB|=l ， M (x0 , y0 ) 是 AB 中點，則

9、當 lS 時，有 ( x0 )maxa2l(c2a2 b2, ec );當ac2ealS 時，有 (x0 )max4b2l 2, (x0 )min0 .2b32橢圓x2y21與直線有公共點的充要條件是22222.a2b2Ax By C 0A a B b C(xx )2( yy )233橢圓001 與 直 線 AxBy C0有公共點的充要條件是a2b2A2 a 2B 2 b2( Ax0By0C)2 .x2y21（ a b 0）的兩個焦點為F1、 F2,P（異于長軸端點）為橢圓上任意34設橢圓b2a2sinc一點，在 PF1 F2 中，記F PF,PF F,F FP，則有e.121212sinsi

10、na35經過橢圓 b2 x2a2 y2a2b2 （ a b 0）的長軸的兩端點A1 和 A2 的切線，與橢圓上任一點的切線相交于P1和 P2，則 |PA1| |PA2 |b2.36已知橢圓x2y21（ a b 0），O 為坐標原點， P、Q 為橢圓上兩動點， 且 OP OQ .a2b2（ 1）11112+|OQ|24a2 b222a2b2 ;（ 2）|OP|的最大值為2b2 ;（ 3） S OPQ 的最小值是|OP |OQ |aa2b22 .a2b37 MN 是經過橢圓 b2 x2a2 y2a2b2 （ a b 0）過焦點的任一弦，若AB 是經過橢圓中心 O 且平行于 MN 的弦，則 | AB

11、 |22a | MN | .38MN 是經過橢圓 b2 x2a2 y2a2b2 （ a b 0）焦點的任一弦，若過橢圓中心O 的半弦OP2111MN ，則|OP |2a2b2 .a | MN |39設橢圓x2y21（ a b 0）,M(m,o)或 (o, m)為其對稱軸上除中心， 頂點外的任一點，a2b2過 M 引一條直線與橢圓相交于P、Q 兩點，則直線A1P、A2 Q(A1 ,A2 為對稱軸上的兩頂點)的交點 N在直線 l ： xa2b2)上 .(或 ymm40設過橢圓焦點F 作直線與橢圓相交P、 Q 兩點， A 為橢圓長軸上一個頂點，連結AP 和AQ 分別交相應于焦點F 的橢圓準線于M 、

12、 N 兩點，則 MF NF.41過橢圓一個焦點F 的直線與橢圓交于兩點P、Q, A1 、A2 為橢圓長軸上的頂點，A1P 和 A2Q交于點 M ，A2P 和 A1Q 交于點 N，則 MF NF.42設橢圓方程x2y21 ,k(k0)的平行弦的中點必在直線l ：ykx的共軛直則斜率為a2b22線 yk' x上 ,而且 kk 'b2 .ax2243設 A、B、C、D 為橢圓y1上四點 ,AB、CD 所在直線的傾斜角分別為,，直線a2b2| PA| |PB|b2 cos2a 2 sin 2.AB 與 CD 相交于 P,且 P 不在橢圓上 ,則b2 cos2a2 sin 2|PC| |

13、PD|x2y21（ a b 0） ,點 P 為其上一點 F1, F 2 為橢圓的焦點，F PF的外44已知橢圓a2b212（內）角平分線為 l ，作 F1、 F2 分別垂直 l 于 R、 S，當 P 跑遍整個橢圓時，R、 S形成的軌跡方程是 x2y2a2( b2 y2(ace)( x c) 2( x2y2cx)2 ce(x c)2).45設 ABC 內接于橢圓，且 AB為的直徑，l 為 AB 的共軛直徑所在的直線，l 分別交直線 AC、 BC 于 E 和 F，又 D 為 l 上一點，則 CD與橢圓相切的充要條件是D 為 EF的中點 .x2y21（a b 0）的右焦點 F 作直線交該橢圓右支于4

14、6過橢圓 a2b2M,N 兩點，弦 MN 的垂直平分線交x 軸于 P，則 | PF |e .|MN |247設 A（ x1 ,y1）是橢圓 x2y21（ ab 0）上任一點，過 A 作一條斜率為b2 x1 的直a2b2a2 y1線 L，又設 d 是原點到直線L的距離 ,r , r 分別是 A 到橢圓兩焦點的距離，則rrdab .121 248已知橢圓 x2y21（ ）和 x2y2（ 01 ），一直線順次與它們相a2b2a b0a2b2交于 A、 B、 C、 D 四點，則 AB =|CD .49已知橢圓x2 y2 a2 b21（ a b 0） ,A、 B、是橢圓上的兩點，線段AB 的垂直平分線與

15、a2b2a2b2x 軸相交于點P( x0 ,0) , 則x0.aa50設P 點是橢圓2xy21 （ a b 0）上異于長軸端點的任一點,F1、 F2 為其焦點記b2F1 PF2，則 (1) | PF1 | PF2 |12b2.(2) S PF1 F2b2 tan2.cos51設過橢圓的長軸上一點B（m,o ）作直線與橢圓相交于P、 Q 兩點， A 為橢圓長軸的左頂點 ， 連 結 AP 和 AQ 分 別 交 相 應 于 過 B 點 的 直 線 MN ： xn 于 M ， N 兩 點 , 則MBN90ama2am b2 ( na)2 .52L 是經過橢圓x2y2（ ab 0）長軸頂點 A 且與長軸

16、垂直的直線，E、F 是橢圓兩a2b21個焦點， e是離心率 ,點 PL ，若EPF，則是銳角且 sine 或arc sin e（當且僅當 |PH |ab 時取等號） .c53L是橢圓 x2y 2（ ）的準線，、是橢圓的長軸兩頂點點 PL ，e是離a2b21ab 0A B,心率， EPF是銳角且 sine 或arc sin e（當，H 是 L 與 X 軸的交點 c 是半焦距， 則且僅當 |PH |ab 時取等號） .cx2y21（ ab0）的準線， E、F 是兩個焦點， H 是 L 與 x 軸的交點，點54L 是橢圓b2P L ，a2，半焦距為，則為銳角且2 或2 （當且EPF離心率為esinb

17、,cearc sin e僅當 |PH |a2c2 時取等號） .cx2y21（ ab 0），直線 L 通過其右焦點F2,且與橢圓相交于A、B 兩點，55已知橢圓b2a2(2 a2b2 )2將 A、 B 與橢圓左焦點F1 連結起來，則 b2| F1A | |F1B |（當且僅當ABx 軸時右a2邊不等式取等號，當且僅當A、 F1、B 三點共線時左邊不等式取等號） .x2y21（ a b0 ）的長軸兩端點， P 是橢圓上的一點，PAB,56設 A、B 是橢圓b2a2PBA,BPA， c、 e分別是橢圓的半焦距離心率，則有(1)| PA|2ab2 | cos|a2c2co s2.(2)tan tan

18、22a2 b21 e .(3) S PAB2a2 cot .bx2y21 （ a b 0）長軸上分別位于橢圓內（異于原點）、外部的57設 A、 B 是橢圓2b2aa2 ，（1 ）若過 A 點引直線與這橢圓相交于兩點，且 xA 、 xB 的橫坐標 xAxBP、 Q 兩點，則PBAQBA ；（ 2）若過 B 引直線與這橢圓相交于P、Q 兩點，則PBAQBA 180 .x2y21 （ a b 0）長軸上分別位于橢圓內（異于原點），外部的58設 A、 B 是橢圓2b2a兩點，（ 1）若過 A 點引直線與這橢圓相交于P、 Q 兩點，（若 B P 交橢圓于兩點，則P、 Q 不關于x 軸對稱），且PBAQB

19、A ，則點 A、B 的橫坐標 xA 、 xB 滿足 xAxB a2 ；（ 2）若過 B 點引直線與這橢圓相交于P、Q 兩點，且PBAQBA180 ,則點 A、B 的橫坐標滿足 xA xBa2.'x2y21QQ'AA'AQ59設A, A是橢圓a2b2的長軸的兩個端點，是與垂直的弦，則直線與''的交點 P 的軌跡是雙曲線x2y21.AQa2b2x2y 21 （ a b 0 ） 的 左 焦 點 F 作 互 相 垂直 的 兩 條 弦 AB、 CD 則60過橢圓b2a28ab2|AB|CD |2( a2b2 ) .a2b2a61到橢圓 x2y21（ a b 0）兩

20、焦點的距離之比等于ac （ c 為半焦距）的動點Ma2b2b的軌跡是姊妹圓(xa)2y2b2 .62到橢圓 x2y21（ a b 0）的長軸兩端點的距離之比等于a c （ c 為半焦距）的a2b2a )2( b )2 .b動點 M 的軌跡是姊妹圓 ( xy2ee63到橢圓 x2y21（ a b 0）的兩準線和x 軸的交點的距離之比為a c （c 為半焦a2b2a2( b2 )2 （e 為離心率） .b距）的動點的軌跡是姊妹圓( x)2y2ee64已知 P 是橢圓x2y21（ a b 0）上一個動點，',且a2b2A , A 是它長軸的兩個端點AQ''x2b2 y2AP,

21、AQA P ，則 Q 點的軌跡方程是a41 .a265橢圓的一條直徑 (過中心的弦 )的長，為通過一個焦點且與此直徑平行的弦長和長軸之長的比例中項 .66設橢圓 x2y21（ a b 0）長軸的端點為A, A' , P( x1 , y1) 是橢圓上的點過P 作斜率b2 x1a2b2為的直線 l ，過 A, A'分別作垂直于長軸的直線交l 于 M , M ' ,則a2 y1''|b2.（ 2）四邊形MAA''面積的最小值是 2ab .（1） | AM | AMM67已知橢圓 x2y2（ a b 0）的右準線 l 與 x 軸相交于點 E ，過橢圓右焦點F 的直a2b21線與橢圓相交于A、B 兩點 ,點 C 在右準線 l 上，且 BCx 軸，則直線 AC 經過線段 EF 的中點 .68OA、OB 是橢圓( xa)2y21（ a0,b 0）的兩條互相垂直的弦，O 為坐標原點，a2b2則（ 1）直線 AB 必經過一個定點( 2ab22 2 ,0) .(2)以 O A、O B 為直徑的兩圓的另一個交點Q 的軌ab22(xab22ab2(x0).跡方程是22)y( 2