1、第六章 實數知識講解 +題型歸納知識講解一 、 實數的組成1、實數又可分為正實數，零，負實數2.數軸：數軸的三要素原點、正方向和單位長度。數軸上的點與實數一一對應二 、相反數、絕對值、倒數1. 相反數：只有符號不同的兩個數互為相反數。數 a 的相反數是 -a。正數的相反數是負數，負數的相反數是正數，零的相反數是零 . 性質：互為相反數的兩個數之和為 0。2.絕對值：表示點到原點的距離，數a 的絕對值為 | a |3.倒數：乘積為 1 的兩個數互為倒數。 非 0 實數 a 的倒數為 1.0沒有倒a數。4.相反數是它本身的數只有0；絕對值是它本身的數是非負數 （0 和正數）；倒數是它本身的數是&#

2、177; 1.三、平方根與立方根1.平方根：如果一個數的平方等于a，這個數叫做 a 的平方根。數 a 的平方根記作a（ a>=0）特性：一個正數有兩個平方根，它們互為相反數，零的平方根還是零。負數沒有平方根。正數 a 的正的平方根也叫做a 的算術平方根，零的算術平方根還是零。開平方 :求一個數的平方根的運算，叫做開平方。2.立方根：如果一個數的立方等于a，則稱這個數為 a 立方根。數 a 的立方根用 3 a 表示。任何數都有立方根，一個正數有一個正的立方根；一個負數有一個負的立方根，零的立方根是零。開立方：求一個數的立方根（三次方根）的運算，叫做開立方。四 、實數的運算有理數的加法法則：

3、a）同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加；b) 異號兩數相加。絕對值相等時和為 0；絕對值不相等時，取絕對值較大的數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值 . 任何數與零相加等于原數。2.有理數的減法法則：減去一個數等于加上這個數的相反數。3.乘法法則：a）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；零乘以任何數都得零b）幾個不為 0 的有理數相乘， 積的符號由負因數的個數決定，當負因數的個數為奇數時，積為負，為偶數，積為正c）幾個數相乘，只要有一個因數為0，積就為 04.有理數除法法則：a）兩個有理數相除（除數不為0）同號得正，異號得負，并把絕對值相除。 0 除以任何非 0 實數都

4、得 0。b）除以一個數等于乘以這個數的倒數。5.有理數的乘方 :在 an 中， a 叫底數， n 叫指數a）正數的任何次冪都是正數；負數的偶次冪是正數，奇次冪是負數；0的任何次冪都是 0b）a0 =1（a 不等于 0）6.有理數的運算順序：a）同級運算，先左后右b）混合運算，先算括號內的， 再乘方、開方，接著算乘除，最后是加減。五·實數大小比較的方法1）數軸法：數軸上右邊的點表示的數總大于左邊的點表示的數2）比差法：若 a-b>0 則 a>b；若 a-b<0 則 a<b；若 a-b=0 則 a=b3）比商法： A.兩個數均為正數時， a/b>1 則 a&

5、gt;b；a/b<1 則 a<bB.兩個數均為負數時， a/b>1 則 a<b；a/b<1 則 a>b.C.一正一負時，正數 >負數4）平方法： a、 b 均為正數時，若 a2>b2，則有 a>b；均為負數時相反5) 倒數法：兩個實數，倒數大的反而小（不論正負）題型歸納經典例題類型一有關概念的識別1 下面幾個數： 0. 23 ，1.010010001 ， 3 ，其中，無理數的個數有（）A、1B、2C、3D、4解析：本題主要考察對無理數概念的理解和應用，其中，1.010010001 ， 3 ，是無理數故選 C舉一反三：【變式 1】下列說法中正

6、確的是（）A、的平方根是± 3B、1 的立方根是± 1C、=±1D、是 5 的平方根的相反數【答案】本題主要考察平方根、算術平方根、立方根的概念， =9， 9 的平方根是± 3， A 正確1 的立方根是 1，=1，是 5 的平方根， B、C、D都不正確;.【變式 2】如圖，以數軸的單位長線段為邊做一個正方形，以數軸的原點為圓心，正方形對角線長為半徑畫弧，交數軸正半軸于點 A，則點 A 表示的數是（ ）A、1B、1.4C、D、【答案】本題考察了數軸上的點與全體實數的一一對應的關系正方形的邊長為1，對角線為，由圓的定義知 |AO|=， A 表示數為，故選 C

7、【變式 3】【答案】 = 3.1415 ， 9 3 10因此 3 -9 0， 3 -10 0類型二計算類型題2 設，則下列結論正確的是（）A.B.C.D.解析：（估算）因為，所以選 B舉一反三：【變式 1】1）1.25 的算術平方根是 _；平方根是）.2-27立方根是 _）.3，_.【答案】 1）；.2）-3. 3），【變式 2】求下列各式中的（1）（2）（3）【答案】（ 1）（ 2）x=4 或 x=-2 （ 3）x=-4類型三數形結合3. 點 A 在數軸上表示的數為，點 B 在數軸上表示的數為，則 A，B 兩點的距離為 _解析：在數軸上找到A、B 兩點，舉一反三：【變式 1】如圖，數軸上表示

8、1，的對應點分別為A， B，點 B 關于點 A 的對稱點為C，則點 C 表示的數是（）;.A1 B1C 2D2【答案】選C 變式 2 已知實數、在數軸上的位置如圖所示：化簡【答案】：類型四實數絕對值的應用4 化簡下列各式：(1)|-1.4|(2) | -3.142|(3)|-|(4) |x-|x-3| (x 3)(5)|x 2+6x+10|分析：要正確去掉絕對值符號，就要弄清絕對值符號內的數是正數、負數還是零，然后根據絕對值的定義正確去掉絕對值。解： (1) =1.414 1.4 |-1.4 |=1.4 -(2) =3.14159 3.142 | -3.142|=3.142- (3) ,|-|

9、=-.(4) x 3, x-3 0, |x-|x-3|=|x-(3-x)|=|2x-3| =說明：這里對 |2x-3| 的結果采取了分類討論的方法，我們對這個絕對值的基本概念要有清楚的認識，并能靈活運用。(5) |x 2+6x+10|=|x 2+6x+9+1|=|(x+3) 2 +1| (x+3) 2 0, (x+3) 2 +1 0 |x 2 +6x+10|= x 2+6x+10舉一反三：【變式 1】化簡：【答案】=+-=類型五實數非負性的應用5已知：=0，求實數 a, b 的值。分析：已知等式左邊分母不能為 0，只能有 0，則要求 a+7 0，分子+|a2 -49|=0 ，由非負數的和的性質

10、知：3a-b=0 且 a2-49=0 ，;.由此得不等式組從而求出a, b 的值。解：由題意得由(2) 得 a2=49 a=± 7由(3) 得 a>-7， a=-7 不合題意舍去。只取 a=7把 a=7 代入 (1) 得 b=3a=21 a=7, b=21 為所求。舉一反三：【變式 1】已知 (x-6) 2+|y+2z|=0 ，求 (x-y) 3 -z3 的值。解： (x-6)2+|y+2z|=0且(x-6)2 0, 0, |y+2z| 0,幾個非負數的和等于零，則必有每個加數都為0。解這個方程組得 (x-y) 3-z3 =(6-2) 3-(-1) 3=64+1=65【變式 2

11、】已知那么 a+b-c 的值為 _【答案】初中階段的三個非負數：，a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-2.類型六實數應用題6有一個邊長為11cm 的正方形和一個長為13cm ，寬為 8cm 的矩形，要作一個面積為這兩個圖形的面積之和的正方形，問邊長應為多少cm。解：設新正方形邊長為xcm ，根據題意得x2 =11 2+13 × 8 x2=225 x= ± 15邊長為正， x=-15 不合題意舍去，只取 x=15(cm)答：新的正方形邊長應取15cm 。舉一反三：【變式 1】拼一拼，畫一畫：請你用 4 個長為 a，寬為 b 的矩形拼成一個大正方形，并且正中間留下的空白

12、區域恰好是一個小正方形。（4 個長方形拼圖時不重疊）（1）計算中間的小正方形的面積，聰明的你能發現什么？（2）當拼成的這個大正方形邊長比中間小正方形邊長多 3cm 時，大正方形的面積就比小正方形的面積多 24 cm2 ，求中間小正方形的邊長 .解析：（ 1）如圖，中間小正方形的邊長是：，所以面積為 =;.大正方形的面積=，一個長方形的面積=。所以，答：中間的小正方形的面積，發現的規律是：（或）(2)大正方形的邊長：，小正方形的邊長：，即，又大正方形的面積比小正方形的面積多24 cm2所以有，化簡得：將代入，得：cm答：中間小正方形的邊長2.5 cm。類型七易錯題7判斷下列說法是否正確.（1）的算術平方根是 -3 ；（ 2）的平方根是± 15.（3）當 x=0 或 2 時，（ 4）是分數解析：（ 1）錯在對算術平方根的理解有誤，算術平方根是非負數.故（ 2）表示 225 的算術平方根，即=15.實際上，本題是求 15 的平方根，故的平方根是.（ 3）注意到，當x=0 時，=，顯然此式無意義，發生錯誤的原因是忽視了“負數沒有平方根”，故x 0，所以當 x=2 時， x=0.（4 ）錯在對實數的概念理解不清.形如分數，但不是分數，它是無理數 .類型八引申提高8（ 1）已知的整數部分為a