1、第二節定積分計算公式和性質一、變上限函數設函數在區間上連續，并且設x 為上的任一點，于是，在區間上的定積分為這里 x 既是積分上限，又是積分變量，由于定積分與積分變量無關，故可將此改為如果上限x 在區間上任意變動，則對于每一個取定的x 值，定積分有一個確定值與之對應，所以定積分在上定義了一個以x 為自變量的函數，我們把稱為函數在區間上變上限函數記為圖5-10從幾何上看，也很顯然。因為X 是上一個動點，從而以線段為底的曲邊梯形的面積，必然隨著底數端點的變化而變化，所以陰影部分的面積是端點x 的函數（見圖5-10）定積分計算公式利用定義計算定積分的值是十分麻煩的，有時甚至無法計算。因此， 必須尋求

2、計算定積分的簡便方法。我們知道：如果物體以速度作直線運動，那么在時間區間上所經過的路程 s 為圖 5-11另一方面，如果物體經過的路程s 是時間 t 的函數，那么物體從t=a 到 t=b所經過的路程應該是（見圖5-11 ）即由導數的物理意義可知：即是一個原函數， 因此， 為了求出定積分，應先求出被積函數的原函數，再求在區間上的增量即可。如果拋開上面物理意義，便可得出計算定積分的一般方法：設函數在閉區間上連續，是的一個原函數，即，則這個公式叫做牛頓-萊布尼茲公式。為了使用方便，將公式寫成牛頓 -萊布尼茲公式通常也叫做微積分基本公式。它表示一個函數定積分等于這個函數的原函數在積分上、 下限處函數值

3、之差。 它揭示了定積分和不定積分的內在聯系， 提供了計算定積分有效而簡便的方法，從而使定積分得到了廣泛的應用。例1 計算因為是的一個原函數所以例2求曲線和直線 x=0 、x=及 y=0所圍成圖形面積 A(5-12)解這個圖形的面積為圖5-12二、定積分的性質設、在相應區間上連續，利用前面學過的知識，可以得到定積分以下幾個簡單性質：性質 1被積函數的常數因子可以提到定積分符號前面，即(A 為常數 )性質 2函數的代數和的定積分等于它們的定積分的代數和，即這個性質對有限個函數代數和也成立。性質 3積分的上、下限對換則定積分變號，即以上性質用定積分的定義及牛頓-萊布尼茲公式均可證明，此處證明從略。性

4、質 4如果將區間分成兩個子區間及那么有這個于區間分成有限個的情形也成立。下面用定積分的幾何意義，對性質4加以說明。當 a<c<b 時，從圖 5-13a 可知，由 y=f與和 x=a x=b 及 x 軸圍成的曲邊梯形面積:圖 5-13a圖 5-13b因為所以即性質 4成立。當 a<b<c 時，即點c 在外，由圖 5-13b 可知，顯然，性質 4也成立。總之，不論c 點在內還是外，性質 4總是成立的。例 3 求例 4求解=例 5 求解所以例 6 求解于是，例7設求解 因為所以=例 8火車以v=72km/h的速度在平直的軌道上行駛，到某處需要減速停車。設火車以加速度 a=-5m/剎車。問從開始剎車到停車，火車走了多少距離？解首先要算出從開始剎車到停車經過時間。當時火車速度剎車后火車減速行駛。其速度為當火車停住時，速度，故從解得于是在這段時間內，火車走過的距離為=即在剎車后，火車需走過40m 才能停住。習題5-21 求下列定