1、平面向量知識(shí)點(diǎn)小結(jié)一、向量的基本概念1.向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別.向量常用有向線(xiàn)段來(lái)表示.注意：不能說(shuō)向量就是有向線(xiàn)段，為什么？ 提示：向量可以平移.舉例1 已知，則把向量按向量平移后得到的向量是_. 結(jié)果：2.零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量，記作：，規(guī)定：零向量的方向是任意的；3.單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量（與共線(xiàn)的單位向量是）；4.相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；5.平行向量（也叫共線(xiàn)向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，記作：，規(guī)定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共線(xiàn)向量，但共線(xiàn)向量

2、不一定相等；兩個(gè)向量平行與與兩條直線(xiàn)平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線(xiàn)，但兩條直線(xiàn)平行不包含兩條直線(xiàn)重合；平行向量無(wú)傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?；三點(diǎn)共線(xiàn)共線(xiàn).6.相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量.的相反向量記作.舉例2 如下列命題：（1）若，則.（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同.（3）若，則是平行四邊形.（4）若是平行四邊形，則.（5）若，則.（6）若，則.其中正確的是 . 結(jié)果：（4）（5）二、向量的表示方法1.幾何表示：用帶箭頭的有向線(xiàn)段表示，如，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；2.符號(hào)表示：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如，等；3.坐標(biāo)表示：在平面內(nèi)建立直

3、角坐標(biāo)系，以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量為基底，則平面內(nèi)的任一向量可表示為，稱(chēng)為向量的坐標(biāo)，叫做向量的坐標(biāo)表示.結(jié)論：如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同.三、平面向量的基本定理定理 設(shè)同一平面內(nèi)的一組基底向量，是該平面內(nèi)任一向量，則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)，使.（1）定理核心：；（2）從左向右看，是對(duì)向量的分解，且表達(dá)式唯一；反之，是對(duì)向量的合成.（3）向量的正交分解：當(dāng)時(shí)，就說(shuō)為對(duì)向量的正交分解舉例3 （1）若，則 . 結(jié)果：.（2）下列向量組中，能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 BA.， B.， C.， D.，（3）已知分別是的邊，上的中線(xiàn),且，,則可用向量表示為 . 結(jié)果：.（

4、4）已知中，點(diǎn)在邊上，且，則的值是 . 結(jié)果：0.四、實(shí)數(shù)與向量的積實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下：（1）模：；（2）方向：當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同，當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反，當(dāng)時(shí)，注意：.五、平面向量的數(shù)量積1.兩個(gè)向量的夾角：對(duì)于非零向量，作，則把稱(chēng)為向量，的夾角.當(dāng)時(shí)，同向；當(dāng)時(shí)，反向；當(dāng)時(shí)，垂直.2.平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積或點(diǎn)積），記作：，即.規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積是0.注：數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不再是一個(gè)向量.舉例4 （1）中，則_. 結(jié)果：.（2）已知，與的夾角為，則 _. 結(jié)果：1.（3）已知

5、，則_. 結(jié)果：.（4）已知是兩個(gè)非零向量，且，則與的夾角為_(kāi). 結(jié)果：.3.向量在向量上的投影：，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0.舉例5 已知，且，則向量在向量上的投影為_(kāi). 結(jié)果：.4.的幾何意義：數(shù)量積等于的模與在上的投影的積.5.向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量，其夾角為，則：（1）；（2）當(dāng)、同向時(shí)，特別地，；是、同向的充要分條件；當(dāng)、反向時(shí)，是、反向的充要分條件；當(dāng)為銳角時(shí)，且、不同向，是為銳角的必要不充分條件；當(dāng)為鈍角時(shí)，且、不反向；是為鈍角的必要不充分條件.（3）非零向量，夾角的計(jì)算公式：；.舉例6 （1）已知，如果與的夾角為銳角，則的取值范圍是_. 結(jié)果：或且；（2）已知的面積

6、為，且，若，則，夾角的取值范圍是_. 結(jié)果：；（3）已知，且滿(mǎn)足（其中）.用表示；求的最小值，并求此時(shí)與的夾角的大小. 結(jié)果：；最小值為，.六、向量的運(yùn)算1.幾何運(yùn)算（1）向量加法運(yùn)算法則：平行四邊形法則；三角形法則.運(yùn)算形式：若，則向量叫做與的和，即；作圖：略.注：平行四邊形法則只適用于不共線(xiàn)的向量.（2）向量的減法運(yùn)算法則：三角形法則.運(yùn)算形式：若，則，即由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn).作圖：略.注：減向量與被減向量的起點(diǎn)相同.舉例7 （1）化簡(jiǎn)： ； ； . 結(jié)果：；（2）若正方形的邊長(zhǎng)為1，則 . 結(jié)果：；（3）若是所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則的形狀為. 結(jié)果：直角三角形；（4）若為的

7、邊的中點(diǎn)，所在平面內(nèi)有一點(diǎn)，滿(mǎn)足，設(shè)，則的值為 . 結(jié)果：2；（5）若點(diǎn)是的外心，且，則的內(nèi)角為 . 結(jié)果：.2.坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)，則（1）向量的加減法運(yùn)算：，.舉例8 （1）已知點(diǎn)，若，則當(dāng)_時(shí)，點(diǎn)在第一、三象限的角平分線(xiàn)上. 結(jié)果：；（2）已知，且，則 .結(jié)果：或；（3）已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力，則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是 . 結(jié)果：.（2）實(shí)數(shù)與向量的積：.（3）若，則，即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線(xiàn)段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo).舉例9 設(shè)，且，則的坐標(biāo)分別是_. 結(jié)果：.（4）平面向量數(shù)量積：.舉例10 已知向量，.（1）若，求向量、的夾角；（2）若，函數(shù)的最大值為，求的值.結(jié)果：（1）；（2）

8、或.（5）向量的模：.舉例11 已知均為單位向量，它們的夾角為，那么 . 結(jié)果：. （6）兩點(diǎn)間的距離：若，則.舉例12 如圖，在平面斜坐標(biāo)系中，平面上任一點(diǎn)關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若，其中分別為與軸、軸同方向的單位向量，則點(diǎn)斜坐標(biāo)為.（1）若點(diǎn)的斜坐標(biāo)為，求到的距離；（2）求以為圓心，1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程.結(jié)果：（1）2；（2）.七、向量的運(yùn)算律1.交換律：，；2.結(jié)合律：，；3.分配律：，.舉例13 給出下列命題： ； ； ； 若，則或；若則；.其中正確的是 . 結(jié)果：.說(shuō)明：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類(lèi)似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以

9、一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量，切記兩向量不能相除(相約)；（2）向量的“乘法”不滿(mǎn)足結(jié)合律，即，為什么？八、向量平行(共線(xiàn))的充要條件.舉例14 (1)若向量，當(dāng)_時(shí)，與共線(xiàn)且方向相同. 結(jié)果：2.（2）已知，且，則 . 結(jié)果：4.（3）設(shè)，則 _時(shí)，共線(xiàn). 結(jié)果：或11.九、向量垂直的充要條件.特別地.舉例15 (1)已知，若，則 .結(jié)果：；（2）以原點(diǎn)和為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形，則點(diǎn)的坐標(biāo)是 .結(jié)果：(1,3)或（3，1）；（3）已知向量，且，則的坐標(biāo)是 .結(jié)果：或.十、線(xiàn)段的定比分點(diǎn)1.定義：設(shè)點(diǎn)是直線(xiàn)上異于、的任意一點(diǎn)，

10、若存在一個(gè)實(shí)數(shù) ，使，則實(shí)數(shù)叫做點(diǎn)分有向線(xiàn)段所成的比，點(diǎn)叫做有向線(xiàn)段的以定比為的定比分點(diǎn).2.的符號(hào)與分點(diǎn)的位置之間的關(guān)系（1）內(nèi)分線(xiàn)段，即點(diǎn)在線(xiàn)段上；（2）外分線(xiàn)段時(shí)，點(diǎn)在線(xiàn)段的延長(zhǎng)線(xiàn)上，點(diǎn)在線(xiàn)段的反向延長(zhǎng)線(xiàn)上.注：若點(diǎn)分有向線(xiàn)段所成的比為，則點(diǎn)分有向線(xiàn)段所成的比為.舉例16 若點(diǎn)分所成的比為，則分所成的比為 . 結(jié)果：.3.線(xiàn)段的定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)，點(diǎn)分有向線(xiàn)段所成的比為，則定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式為. 特別地，當(dāng)時(shí)，就得到線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式說(shuō)明：（1）在使用定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確，、的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo).（2）在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根

11、據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比.舉例17 （1）若，且，則點(diǎn)的坐標(biāo)為 . 結(jié)果：；（2）已知，直線(xiàn)與線(xiàn)段交于，且，則 . 結(jié)果：或.十一、平移公式如果點(diǎn)按向量平移至，則；曲線(xiàn)按向量平移得曲線(xiàn).說(shuō)明：（1）函數(shù)按向量平移與平常“左加右減”有何聯(lián)系？（2）向量平移具有坐標(biāo)不變性，可別忘了啊！舉例18 （1）按向量把平移到，則按向量把點(diǎn)平移到點(diǎn)_. 結(jié)果：；（2）函數(shù)的圖象按向量平移后，所得函數(shù)的解析式是，則_. 結(jié)果：.十二、向量中一些常用的結(jié)論1.一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用；2.模的性質(zhì)：.（1）右邊等號(hào)成立條件：同向或中有；（2）左邊等號(hào)成立條件：反向或中有；（3）當(dāng)不共線(xiàn).3.三角形重心公式在中，若，則其重心的坐標(biāo)為.舉例19 若的三邊的中點(diǎn)分別為、，則的重心的坐標(biāo)為 .結(jié)果：.5.