1、函數的有關概念1函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數記作： y=f(x)，xA其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合f(x)| xA 叫做函數的值域經典例題透析 類型一、函數概念1.下列各組函數是否表示同一個函數？ (1)(2)(3)(4)思路點撥：對于根式、分式、絕對值式，要先化簡再判斷，在化簡時要注意等價變形，否則等號不成立.解：(1)，對應關系不同，因此是不同的函數；(2)的定義域不同，

2、因此是不同的函數；(3)的定義域相同，對應關系相同，因此是相同的函數；(4)定義域相同，對應關系相同，自變量用不同字面表示，仍為同一函數.注意：1定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被開方數不小于零； (3)對數式的真數必須大于零；(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1. (5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零， (7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.相同函數的判斷方法：表達

3、式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；定義域一致 (兩點必須同時具備)2.求下列函數的定義域(用區間表示). (1)； (2)；(3).思路點撥：由定義域概念可知定義域是使函數有意義的自變量的取值范圍.解：(1)的定義域為x2-20， ；(2)；(3).總結升華：使解析式有意義的常見形式有分式分母不為零；偶次根式中，被開方數非負.當函數解析式是由多個式子構成時，要使這多個式子對同一個自變量x有意義，必須取使得各式有意義的各個不等式的解集的交集，因此，要列不等式組求解.2值域 : （先考慮其定義域）實際上求函數的值域是個比較復雜的問題，雖然給定了函數的定義域及其對應法則以后，值域就完全確定了

4、，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數的值域，或利用函數的圖象的"最高點"和"最低點"，觀察求得函數的值域；配方法：對二次函數型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數的值域方法求函數的值域；判別式法：將函數視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數值的范圍，常用于一些"分式"函數等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數的解析式進行適當換元，將復雜的函數化歸為幾個簡單的函數，從而利用基本函數的取值范圍來求函數的值域

5、.求函數的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數形結合法等.總之，求函數的值域關鍵是重視對應法則的作用，還要特別注意定義域對值域的制約.4. 求值域(用區間表示)： (1)y=x2-2x+4；.思路點撥：求函數的值域必須合理利用舊知識，把現有問題進行轉化.解：(1)y=x2-2x+4=(x-1)2+33，值域為3，+)；(2)；(3)；(4)，函數的值域為(-，1)(1，+).3. 函數圖象知識歸納(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數 y=f(x) , (xA)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數 y=f(x),(x A)的圖象C上每

6、一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上 . (2) 畫法描點法：圖象變換法常用變換方法有三種平移變換伸縮變換對稱變換4區間的概念（1）區間的分類：開區間、閉區間、半開半閉區間（2）無窮區間（3）區間的數軸表示5映射一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”對于映射f：AB來說，則應滿足：(1)集合A中的每一個元素，在集合B

7、中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。5. 下列對應關系中，哪些是從A到B的映射，哪些不是?如果不是映射，如何修改可以使其成為映射? (1)A=R，B=R，對應法則f：取倒數；(2)A=平面內的三角形，B=平面內的圓，對應法則f：作三角形的外接圓；(3)A=平面內的圓，B=平面內的三角形，對應法則f：作圓的內接三角形思路點撥：根據定義分析是否滿足“A中任意”和“B中唯一” 解：(1)不是映射，集合A中的元素0在集合B中沒有元素與之對應，不滿足“A中任意”；若把A改為 A=x|x0或者把對應法則改為

8、“加1”等就可成為映射；(2)是映射，集合A中的任意一個元素(三角形)，在集合B中都有唯一的元素(該三角形的外接圓)與 之對應，這是因為不共線的三點可以確定一個圓；(3)不是映射，集合A中的任意一個元素(圓)，在集合B中有無窮多個元素(該圓的內接三角形有無 數個)與之對應，不滿足“B中唯一”的限制；若將對應法則改為：以該圓上某定點為頂點作正 三角形便可成為映射總結升華：將不是映射的對應改為映射可以從出發集A、終止集B和對應法則f三個角度入手6.分段函數 (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。(2)各部分的自變量的取值情況(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并

9、集9. 已知，求f(0)，ff(-1)的值. 思路點撥：分段函數求值，必須注意自變量在不同范圍內取值時的不同對應關系. 解：f(0)=2×02+1=1ff(-1)=f2×(-1)+3=f(1)=2×12+1=3.舉一反三：【變式1】已知，作出f(x)的圖象，求f(1)，f(-1)，f(0)，fff(-1)+1的值.解：由分段函數特點，作出f(x)圖象如下：如圖，可得：f(1)=2；f(-1)=-1；f(0)=；fff(-1)+1=ff-1+1=ff(0)=f()=+1.補充：復合函數如果y=f(u)(uM),u=g(x)(xA),則 y=fg(x)=F(x)(xA

10、) 稱為f、g的復合函數。學習成果測評基礎達標一、選擇題1判斷下列各組中的兩個函數是同一函數的為( )，；，；，；，；，A、 B、 C D、2函數y=的定義域是( )A-1x1 Bx-1或x1 C0x1 D-1，13函數的值域是( )A(-，)(，+)B(-，)(，+)CR D(-，)(，+)4下列從集合A到集合B的對應中：A=R，B=(0，+)，f:xy=x2；A=-2，1，B=2，5，f:xy=x2+1；A=-3，3，B=1，3，f:xy=|x|其中，不是從集合A到集合B的映射的個數是( )A 1 B 2 C 3 D 45已知映射f:AB，在f的作用下，下列說法中不正確的是( ) A A中

11、每個元素必有象，但B中元素不一定有原象 B B中元素可以有兩個原象C A中的任何元素有且只能有唯一的象D A與B必須是非空的數集6點(x，y)在映射f下的象是(2x-y，2x+y)，求點(4，6)在f下的原象( )A(，1) B(1，3) C(2，6) D(-1，-3)7已知集合P=x|0x4， Q=y|0y2，下列各表達式中不表示從P到Q的映射的是( )Ay= By= Cy=x Dy=x28下列圖象能夠成為某個函數圖象的是( ) 9函數的圖象與直線的公共點數目是( )A B C或 D或10已知集合，且，使中元素和中的元素對應，則的值分別為( )A B C D11已知，若，則的值是( )A B

12、或 C，或 D12為了得到函數的圖象，可以把函數的圖象適當平移，這個平移是( )A沿軸向右平移個單位 B沿軸向右平移個單位C沿軸向左平移個單位 D沿軸向左平移個單位1設函數則實數的取值范圍是_2函數的定義域_3函數f(x)=3x-5在區間上的值域是_4若二次函數的圖象與x軸交于，且函數的最大值為，則這個二次函數的表達式是_5函數的定義域是_6函數的最小值是_三、解答題1求函數的定義域2求函數的值域3根據下列條件，求函數的解析式：(1)已知f(x)是一次函數，且f(f(x)=4x-1，求f(x)；(2)已知f(x)是二次函數，且f(2)=-3，f(-2)=-7,f(0)=-3，求f(x)；(3)

13、已知f(x-3)=x2+2x+1，求f(x+3)；(4)已知；(5)已知f(x)的定義域為R，且2f(x)+f(-x)=3x+1，求f(x).答案與解析： 基礎達標一、選擇題1C(1)定義域不同；(2)定義域不同；(3)對應法則不同；(4)定義域相同，且對應法則相同；(5)定義域不同2D由題意1-x20且x2-10， -1x1且x-1或 x1，x=±1，選D3B法一：由y=，x= y， 應選B法二：4C提示：不是，均不滿足“A中任意”的限制條件5D提示：映射可以是任何兩個非空集合間的對應，而函數是要求非空數集之間6A設(4，6)在f下的原象是(x，y)，則，解之得x=， y=1，應選

14、A7C0x4， 0x=2，應選C8C9C有可能是沒有交點的，如果有交點，那么對于僅有一個函數值10D按照對應法則， 而，11D該分段函數的三段各自的值域為，而 12D平移前的“”，平移后的“”，用“”代替了“”， 即，左移二、填空題1. 當，這是矛盾的；當.2. 提示：.3.4. 設，對稱軸，當時，.5. .6. 三、解答題1解：，定義域為2解： ，值域為3解：(1).提示：利用待定系數法； (2).提示：利用待定系數法； (3)f(x+3)=x2+14x+49.提示：利用換元法求解，設x-3=t，則x=t+3，于是f(x-3)=x2+2x+1變為f(t)=(t+3)2+2(t+3)+1=(t

15、+4)2，故f(x+3)=(x+3)+42； (4)f(x)=x2+2.提示：整體代換，設； (5).提示：利用方程，用-x替換2f(x)+f(-x)=3x+1中所有的x得到一個新的式子2f(-x)+f(x)=-3x+1，于是有，聯立得二函數的性質1.函數的單調性(局部性質)（1）a.增函數設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區間D上是增函數.區間D稱為y=f(x)的單調增區間. b.減函數如果對于區間D上的任意兩個自變量的值x1，x2，當x1<x2 時，都有

16、f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在這個區間上是減函數.區間D稱為y=f(x)的單調減區間.注意：函數的單調性是函數的局部性質；（2） 圖象的特點如果函數y=f(x)在某個區間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3).函數單調區間與單調性的判定方法(A) 定義法： 任取x1，x2D，且x1<x2 ； 作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）； 定號（即判斷差f(x1)f(x2)的正負）； 下結論（指出函數f(x)在給定的區間D上的單調性）(B)圖象法(從圖象

17、上看升降)(C)復合函數的單調性復合函數fg(x)的單調性與構成它的函數u=g(x)，y=f(u)的單調性密切相關，其規律：“同增異減”注意：函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集. 1.證明函數上的單調性. 證明：在(0，+)上任取x1、x2(x1x2)， 令x=x2-x10 則 x10，x20， 上式0，y=f(x2)-f(x1)0 上遞減.總結升華：1證明函數單調性要求使用定義；2如何比較兩個量的大小？(作差)3如何判斷一個式子的符號？(對差適當變形)舉一反三：【變式1】用定義證明函數上是減函數.思路點撥：本題考查對單調性定義的理解，在現階段，定

18、義是證明單調性的唯一途徑.證明：設x1，x2是區間上的任意實數，且x1x2，則 0x1x21 x1-x20，0x1x21 0x1x21 故，即f(x1)-f(x2)0 x1x2時有f(x1)f(x2) 上是減函數.總結升華：可以用同樣的方法證明此函數在上是增函數；在今后的學習中經常會碰到這個函數，在此可以嘗試利用函數的單調性大致給出函數的圖象.2. 判斷下列函數的單調區間； (1)y=x2-3|x|+2； (2)解：(1)由圖象對稱性，畫出草圖f(x)在上遞減，在上遞減，在上遞增.(2) 圖象為 f(x)在上遞增.3. 已知函數f(x)在(0，+)上是減函數，比較f(a2-a+1)與的大小.

19、解： 又f(x)在(0，+)上是減函數，則.2函數的奇偶性（整體性質）（1）偶函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做偶函數（2）奇函數一般地，對于函數f(x)的定義域內的任意一個x，都有f(x)=f(x)，那么f(x)就叫做奇函數（3）具有奇偶性的函數的圖象的特征偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱利用定義判斷函數奇偶性的步驟：首先確定函數的定義域，并判斷其是否關于原點對稱；確定f(x)與f(x)的關系；作出相應結論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數；若f(x) =f(x) 或 f(

20、x)f(x) = 0，則f(x)是奇函數注意：函數定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件首先看函數的定義域是否關于原點對稱，若不對稱則函數是非奇非偶函數.若對稱，(1)再根據定義判定; (2)由 f(-x)±f(x)=0或f(x)f(-x)=±1來判定; (3)或借助函數的圖象判定 .1.判斷下列函數的奇偶性： (1) (2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6) (7)思路點撥：根據函數的奇偶性的定義進行判斷.解：(1)f(x)的定義域為，不關于原點對稱，因此f(x)為非奇非偶函數；(2)x-10，f(x)定義域不關

21、于原點對稱，f(x)為非奇非偶函數；(3)對任意xR，都有-xR，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，則f(x)=x2-4|x|+3為偶函數 ；(4)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)為奇函數；(5) ，f(x)為奇函數；(6)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)為奇函數；(7)，f(x)為奇函數.2. 設定義在-3，3上的偶函數f(x)在0，3上是單調遞增，當f(a-1)f(a)時，求a的取值范圍. 解：f(a-1)f(a) f(|a-1|)f(|a|)而|

22、a-1|，|a|0，3.3、函數的解析表達式（1）函數的解析式是函數的一種表示方法，要求兩個變量之間的函數關系時，一是要求出它們之間的對應法則，二是要求出函數的定義域.（2）求函數的解析式的主要方法有：湊配法待定系數法換元法消參法1. 求函數的解析式(1)若f(2x-1)=x2，求f(x)；(2)若f(x+1)=2x2+1，求f(x).思路點撥：求函數的表達式可由兩種途徑.解：(1)f(2x-1)=x2，令t=2x-1，則 ；(2)f(x+1)=2x2+1，由對應法則特征可得：f(x)=2(x-1)2+1 即：f(x)=2x2-4x+3.舉一反三：【變式1】(1) 已知f(x+1)=x2+4x

23、+2，求f(x)； (2)已知：，求ff(-1).解：(1)(法1)f(x+1)=x2+4x+2=(x+1)2+2(x+1)-1f(x)=x2+2x-1； (法2)令x+1=t，x=t-1，f(t)=(t-1)2+4(t-1)+2=t2+2t-1f(x)=x2+2x-1； (法3)設f(x)=ax2+bx+c則f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+ca(x+1)2+b(x+1)+c=x2+4x+2；(2)-10，f(-1)=2·(-1)+6=4ff(-1)=f(4)=16.4函數最大（小）值 利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（小）值 利用圖象求函數的最大（小）值 利用函

24、數單調性的判斷函數的最大（小）值：如果函數y=f(x)在區間a，b上單調遞增，在區間b，c上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；如果函數y=f(x)在區間a，b上單調遞減，在區間b，c上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；第二章 基本初等函數一、指數函數（一）指數與指數冪的運算1根式的概念：一般地，如果，那么叫做的次方根，其中>1，且*負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作。當是奇數時，當是偶數時，2分數指數冪正數的分數指數冪的意義，規定：，0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義3實數指數冪的運算性質(1) (2) (3)（二）指數函數

25、及其性質1、指數函數的概念：一般地，函數叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1 2、a.指數函數概念一般地，函數叫做指數函數，其中是自變量，函數的定義域為. b.指數函數的圖象和性質a>10<a<1定義域 R定義域 R值域y0值域y0在R上單調遞增在R上單調遞減非奇非偶函數非奇非偶函數函數圖象都過定點（0，1）函數圖象都過定點（0，1）注意：利用函數的單調性，結合圖象還可以看出：（1）在a，b上，值域是或；（2）若，則；取遍所有正數當且僅當；（3）對于指數函數，總有；二、對數函數（一）對數1.對數的定義(1)若，則

26、叫做以為底的對數，記作，其中叫做底數， 叫做真數.(2)負數和零沒有對數.(3)對數式與指數式的互化：.2.幾個重要的對數恒等式，.3.常用對數與自然對數常用對數：，即；自然對數：，即(其中).4.對數的運算性質如果，那么加法：減法：數乘：換底公式：指數式與對數式的互化冪值 真數 N b 底數 指數 對數（二）對數函數1、對數函數的概念：函數，且叫做對數函數，其中是自變量，函數的定義域是（0，+）注意： 對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：， 都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數 對數函數對底數的限制：，且2、對數函數的性質：函數名稱對數函數定義函數且叫做對數函數圖象定

27、義域值域過定點圖象過定點，即當時，.奇偶性非奇非偶單調性在上是增函數在上是減函數函數值的變化情況變化對圖象的影響在第一象限內，從順時針方向看圖象，逐漸增大；在第四象限內，從順時針方向看圖象，逐漸減小.3、反函數1.反函數的概念設函數的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子.如果對于在中的任何一個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應，那么式子表示是的函數，函數叫做函數的反函數，記作，習慣上改寫成.2.反函數的性質(1)原函數與反函數的圖象關于直線對稱.(2)函數的定義域、值域分別是其反函數的值域、定義域.(3)若在原函數的圖象上，則在反函數的圖象上.(4)一般地，函數要有反函數則它必須為單

28、調函數.3.反函數的求法(1)確定反函數的定義域，即原函數的值域；(2)從原函數式中反解出；(3)將改寫成，并注明反函數的定義域.四、指數函數與對數函數的關系指數函數與對數函數互為反函數.(1) y=ax y=bx y=cx y=dx 則：0<b<a<1<d<c 又即：x(0，+)時，bx<ax<dx<cx(底大冪大) x(-，0)時，bx>ax>dx>cx(2) y=logax y=logbx y=logcx y=logdx 則有：0<b<a<1<d<c 又即：x(1，+)時，logax<l

29、ogbx<0<logcx<logdx(底大對數小) x(0，1)時，logax>logbx>0>logcx>logdx1已知函數(1)求函數的單調增區間；(2)求其單調增區間內的反函數解：復合函數y=fg(x)的單調性與y=f(t)，t=g(x)的單調性的關系：同增異減(1)函數的定義域x|x<0或x>2，又t=x2-2x=(x-1)2-1 x(-，0)，t是x的減函數而是減函數， 函數f(x)在(-，0)為增函數(2)函數f(x)的增區間為(-，0)， 令，則 ， x<0，五、冪函數1、冪函數定義：一般地，形如的函數稱為冪函數，其中

30、為常數2、冪函數性質歸納（1）所有的冪函數在（0，+）都有定義并且圖象都過點（1，1）；（2）時，冪函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數特別地，當時，冪函數的圖象下凸；當時，冪函數的圖象上凸；（3）時，冪函數的圖象在區間上是減函數在第一象限內，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸2.冪函數的性質(1)圖象分布：冪函數圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象. 冪函數是偶函數時，圖象分布在第一、二象限(圖象關于軸對稱)；是奇函數時，圖象分布在第一、三象限(圖象關于原點對稱)；是非奇非偶函數時，圖象只分布在第一象限. (2)過定點：所有的冪函數在都有定義，并且圖象都通過點. (3)單調性：如果，則冪函數的圖象過原點，并且在 上為增函數.如果，則冪函數的圖象在上為減函數，在第一象限內，圖象無限接近軸與軸.(4)奇偶性：當為奇數時，冪函數為奇函數，當為偶數時，冪函數為偶函數.當(其中 互質，和)，若為奇數為奇數時，則是奇函數，若為奇數為偶數時，則 是偶函數，若為偶數為奇數時，則是非奇非偶函數.(5)圖象特征：冪函數，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方.基礎達標測試題一