1、新課標下的高中數學運算能力與培養武漢三中高三數學備課組黃 鷹當今課改地區的高考數學分數80%是靠運算獲得。同時學生的運算能力的強弱直接影響著理科綜合的 成績。運算能力反映一個學生的綜合能力。運算是指在運算律的指導下對具體的數、式進行變形的演繹過 程。高中數學運算包括數的運算、式的恒等變形、方程和不等式的同解變形、初等函數的運算和求值，各 種幾何量的測量與計算。而運算能力反映在運算的準確、合理和敏捷的程度上。它主要表現在靈活運用運 算的法則、性質、公式，善于觀察、比較、分析、綜合、概括、推理等方面。是與記憶能力、理解能力、 推理能力、表達能力以及空間想象能力等其它認識能力相互滲透、相互支撐形成的

2、一種綜合的數學能力。依運算的抽象度，對運算可作如下劃分法則運算丁-君公式運算 平凡運算定理運算運算定義運算分析與綜合運算 非平凡運算抽象與歸納運算 類比與聯想運算 構造與建模運算以上劃分只是歸納出常見的運算形式，依運算思維的抽象度，將其劃分為兩個不同的層次，便于把握 運算能力的層次要求。兩類的主要區別在于前者體現運算的“機械”性，后者體現了運算的深刻性和一定 的創造性。由上可見，運算是思維的“載體”，運算能力體現思維能力，是數學素質的一面鏡子。一、運算能力與數學思想的關系先請看甲、乙兩個學生對下面例題的解法：已知a 0, a 1,試求使方程loga(x ak) log 2(x2 a2)有解的k

3、的取值范圍 io、/a、，甲、乙兩學生的解法如下：甲：原方程的解X應滿足 222(x ak)2 X2 a2,(1)x ak 0.(2)由(1),得 2kx a(1 k2)(3)當k 0時，由a 0,知(3)無解，故原方程無解。2 2當k 0時，由(3)得x a(1 k ) ,將此代入(2),得k.2k2k當 k 0時，得 k2 1, k 1 ；當 k 0時，得 k2 1, 0 k 1.k的取值范圍為(，1)U(0,1).乙：原方程等價變形，得k - . (x)2 (x2 a2,a 0, a 2). a a令tx,則原問題轉化為求函數k(t) t11 (t ( , 1)U(1,)的值域，易求得k

4、的取值范圍a為(，1)U(0,1).比較甲、乙兩人的運算，不難看出，甲的方法有一定的運算量，且分類層次較多，因此，不僅難以提 高速度，而且易出錯；相反，乙在其思想方法下，幾乎沒什么運算量，獲得成功的可能性大。這就說明， 運算能力決不僅僅是個速度問題，它還應有更深的內涵與背景。在數學教學中，有的學生概念理解了，習題也做了不少，但其運算能力并未得到明顯的提高，還是缺 乏舉一反三和獨立解決問題的能力，究其原因，與只重視數學知識而忽視數學思想有關。“數學的精神和本質在于它的思想和方法”。教學中，學生有沒有掌握數學思想，其運算能力大不一 樣，如前述的考生乙，由于掌握了函數思想，領悟了實質，因而其運算能力

5、處在一個較高的水平上，處理 問題時表現得簡潔、利落。由此可見，數學思想是溝通數學知識與運算能力的橋梁。教學中，只有不斷引 導學生從數學知識與數學方法中提煉數學思想，并注重運用數學思想去分析問題與解決問題， 才是完善數學知識及學生認知結構，培養與提高學生運算能力的一條行之有效的途徑。二、運算能力差的原因數學的理論是數學運算的基礎和依據，只有正確理解有關的數學概念，切實掌握有關的數學定理、公 式、法則，才能找到合理的算法、算理。才能取得正確迅速的運算結果。(1)概念、公式、法則遺忘，是造成運算不正確的直接原因為此，在教學中應注意：向學生講明記牢、記準概念、公式、法則的重要性。學習數學和學習其它任何

6、一門學科一樣，都離 不開記憶。沒有一定的記憶能力，就不可能有知識的積累，更不可能有知識的發展與應用。教學中注意以舊引新，以新促舊，新舊聯系，相得益彰，使學過的知識經常不斷地在學生的頭腦中 再現，增加記憶次數，促進記憶效果。高中數學內容多、課時緊，教材中各部分內容相對獨立，反復次數較少，學生容易遺忘。所以我們應 有意識地幫助學生溫故知新。在選擇例題、布置習題時要精心篩選，也可以采取課外興趣小組、競賽、每 周幾題等形式使學生把舊知識與新內容有機地結合起來，構成知識網絡。在講授概念、公式、法則時，讓學生在理解的基礎上，用自己的話準確地表達出來，提高表達能力， 并與學生一道總結記憶這些概念、公式、法則

7、的方法，使學生記憶得法，提高記憶能力。(2)概念不清楚、公式、法則含混，是造成運算不正確的主要原因講授新課時，盡量做到由具體抽象，由感性到理性，遵循認識規律，自然地形成概念，導出公式、 法則，弄清公式和法則的來龍去脈，明確條件是什么，結論是什么，在什么范圍內使用，并通過課堂練習 及時鞏固，使學生在頭腦中建立起清晰的第一印象。對相關的概念，易混的公式、法則，通過列表、圖示等方法進行對比，加以區別，澄清模糊混淆的 東西，提高理解力。及時回收教學效果的反饋信息，一旦發現典型錯誤，就立即通過正反兩方面的例子進行糾正，使錯誤不形成定勢(3)死套公式，是造成運算錯誤的又一原因知識學得死，公式、法則不能靈活

8、運用，而造成運算錯誤。例如計算lim(口 -22 L L ?) n n nn、口在萬12n12n誤解：lim(二 f LL )limlim L lim 0 0 L 0 0 n n nn n n n n n n錯因是互套極限運算法則，把無限項的極限運算用有限項的極限運算法則進行。為避免此類錯誤，教學中應注意：透徹地闡明概念的本質屬性，深刻分析公式、法則的實質，講明公式使用的條件、范圍。對公式、 法則的使用要做到正用、反用、變形用。在習題課、復習課中，收集一些靈活性強、啟發性大、綜合性好、學生通過努力能解答的習題作為 練習題，培養學生思維能力的靈活性、敏銳性和深刻性等品質。(4)基礎不扎實數學運算

9、有層次性，運算能力的發展總是從簡單到復雜，從低級到高級，從具體到抽象，有層次地發 展起來的。簡單的分數運算不過關，那么進行分式的代數運算就很困難。因此，必須重視基本功訓練，切 不可輕視那些簡單的、低級的運算。三、總結運算規律、掌握運算技巧、提高速度(1)掌握數學運算的程序，才能合理、迅速地完成運算比如求任意角三角函數值一般要按這樣的程序： 負角三角函數0 360的三角函數0 90的三角函數 求值。這樣，每一步該做什么，就有章可循，避免亂猜亂碰繞彎子，影響運算速度。因此，教 學中應及時總結解題規律，進行嚴格的、有條理的訓練，提高運算的合理性和自覺性，從而提高運算的正 確性和迅速性。(2)數學運算

10、富有技巧性，沒有形成熟練的技能與技巧，就不能簡捷地完成運算在教學中首先把精力用在掌握系統的運算規律上，同時也應當對常用的技能技巧問題給以足夠的重視。例如常用的“換元法”、“形數結合法”、三角中“1”的變換、解析幾何中參數選擇等，技巧性都很強。 要鼓勵學生有意識地收集、歸納，鼓勵他們一題多解，多題一解，積累經驗，形成技巧。四、運算能力重在長期培養數學運算具有艱巨性，沒有良好的心理素質，不能成功地完成運算數學運算涉及的幾乎都是數、式、符號等的各種變形和推導，內容很枯燥、情況很復雜，有的題要多 步運算和推理才能出結果，其間，還要隨時判斷解題的發展方向，抉擇運算的途徑，分析各種可能的情形, 稍不小心，

11、就會出錯，影響結果。當前的學生，有不少缺乏吃苦耐勞的精神，表現在學習上就是不刻苦、 少毅力。題目稍有難度，計算稍繁，就做不下去。有的學生常說：我一看這題，頭都大了。于是干脆連嘗 試都不做。所以，要經常做學生的思想工作，明確學習目的，端正學習態度。要鼓勵他們的每一點進步。 對待運算題，要求學生做到：做題前要有信心，做題時要細心，遇到問題要耐心，認真分析題意，尋找解 題途徑，頑強克服困難，仔細檢查每一步運算，做到正確、迅速。目前高中數學教學中存在一種不科學的做法， 把運算結果用幻燈片放在屏幕上， 學生并不知道怎樣合理運算。其實運算過程需要老師引導學生觀察、分析，尋找合理的算法。計算機只能作為輔助手段。培養與提高學生的運算能力是一項復雜的系統工程，是一項長期而艱巨的任務，教學中不會有“立竿見影”的效果，而要靠長期的、反復的實踐活動，循環往復、螺旋上升。要把運算能力的培養貫穿于整個中學數學教學的始終，要有計劃、有目的、有意識地運用科學的方法進行長期的滲透，使學生不斷地、經常性地受到啟迪，在潛移默化中，使學生逐步領悟運算能力的實質，從而逐步提高運算能