1、北京理工大學北京理工大學2009-2010學年第二學期學年第二學期直角坐標系中二重積分的計算直角坐標系中二重積分的計算極坐標系中二重積分的計算極坐標系中二重積分的計算二重積分的換元法二重積分的換元法定義（和式的極限）計算困難定義（和式的極限）計算困難二重積分轉化成兩個定積分二重積分轉化成兩個定積分-累次積分累次積分如果積分區域為：如果積分區域為：, bxa ).()(21xyx 其中函數其中函數 、 在區間在區間 上連續上連續.)(1x )(2x ,ba一、利用直角坐標系計算二重積分一、利用直角坐標系計算二重積分X型型)(2xy abD)(1xy Dba)(2xy )(1xy 為曲頂柱體的體積

2、為曲頂柱體的體積為底，以曲面為底，以曲面的值等于以的值等于以),(),(yxfzDdyxfD 應用計算應用計算“平行截平行截面面積為已知的立面面積為已知的立體求體積體求體積”的方法的方法,abzyx)(0 xA),( yxfz)(1xy)(2xy.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf 得得ab 累次積分累次積分0 x.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf 如果積分區域為：如果積分區域為：,dyc ).()(21yxy Y型型)(2yx )(1yx Dcdcd)(2yx )(1yx D X型區域的特點型區域的特點： 穿過區域且平行于穿過區域且平行于y軸

3、的直軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點線與區域邊界相交不多于兩個交點. Y型區域的特點型區域的特點：穿過區域且平行于穿過區域且平行于x軸的直軸的直線與區域邊界相交不多于兩個交點線與區域邊界相交不多于兩個交點.若區域如圖，若區域如圖，3D2D1D在分割后的三個區域上分別在分割后的三個區域上分別使用積分公式使用積分公式.321 DDDD則必須分割則必須分割.xy 1解解積分區域如圖積分區域如圖xy 222xxy 原原式式 102112),(yydxyxfdy.解解積分區域如圖積分區域如圖axy2 解解= ayaaaydxyxfdy02222),(原式原式 aayaadxyxfdy0222),(.

4、),(2222 aaaaydxyxfdy22xaxy 22yaax a2aa2a解解兩兩曲曲線線的的交交點點),1 , 1( ,)0 , 0(22 yxxy Ddxdyyx)(2 1022)(xxdyyxdxdxxxxxx)(21)(42102 .14033 2xy 2yx 2xy 2yx dyey2無法用初等函數表示無法用初等函數表示解解 積積分分時時必必須須考考慮慮次次序序 Dydxdyex22 yydxexdy02102dyyey 10332210262dyyey ).21(61e 解解 dxexy不不能能用用初初等等函函數數表表示示先先改改變變積積分分次次序序.原原式式 xxxydye

5、dxI2211 121)(dxeexx.2183ee 2xy xy 解解曲面圍成的立體如圖曲面圍成的立體如圖., 10 yx,xyyx 所求體積所求體積 DdxyyxV )( 1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 所圍立體在所圍立體在xoy面上的投影是面上的投影是二重積分在直角坐標下的計算公式二重積分在直角坐標下的計算公式（在積分中要正確選擇（在積分中要正確選擇積分次序積分次序）二、小結二、小結.),(),()()(21 Dbaxxdyyxfdxdyxf .),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydyxf Y型型X型型AoDiirr iirrrii

6、iiiiiiirrr 2221)(21iiiirrr )2(21iiiiirrrr 2)(,iiirr .)sin,cos(),( DDrdrdrrfdxdyyxf 一、利用極坐標系計算二重積分一、利用極坐標系計算二重積分.)sin,cos()()(21 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區域特征如圖區域特征如圖, ).()(21 r區域特征如圖區域特征如圖, ).()(21 r.)sin,cos()()(21 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(AoD)(2r)(1rAo

7、D)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區域特征如圖區域特征如圖, ).(0 r Drdrdrrf )sin,cos( Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()(020 rdrrrfd極坐標系下區域的面積極坐標系下區域的面積. Drdrd 二重積分化為二次積分的公式（）二重積分化為二次積分的公式（）區域特征如圖區域特征如圖).(0 rDoA)(r,2 01 yx122 yx解解在極坐標系下在極坐標系下 sincosryrx所所以以圓圓方方程程為為 1 r,直直線線方方程程為為 cossin1 r, Ddxd

8、yyxf),(.)sin,cos(201cossin1 rdrrrfd解解在極坐標系下在極坐標系下D：ar 0， 20.dxdyeDyx 22 arrdred0202).1(2ae 解解| ),(2221RyxyxD 2| ),(2222RyxyxD 0, 0 yx0 ,0| ),(RyRxyxS 顯顯然然有有 21DSD , 022 yxe 122Dyxdxdye Syxdxdye22.222 Dyxdxdye1D2DSS1D2DRR2又又 SyxdxdyeI22 RyRxdyedxe0022;)(202 Rxdxe 1I 122Dyxdxdye Rrrdred0022);1(42Re 同理

9、同理 2I 222Dyxdxdye);1(422Re 當當 R時時,41 I,42 I故故當當 R時時,4 I所求廣義積分所求廣義積分 02dxex2 .,21III );1(4)()1(4222220RRxRedxee 解解32 61 sin4 r sin2 rdxdyyxD)(22 36sin4sin22rdrrd).32(15 yyx422 yyx222 03 yx03 xy解解由對稱性，可只考慮第一象限部分由對稱性，可只考慮第一象限部分， Ddxdyyxyx2222)sin(4 12222)sin(Ddxdyyxyx 210sin42rdrrrd. 4 14DD 1D解解根根據據對對稱

10、稱性性有有 14DD 在在極極坐坐標標系系下下)(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2, 得得交交點點)6,( aA, 所求面積所求面積 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aardrd).33(2 a二重積分在極坐標下的計算公式二重積分在極坐標下的計算公式（在積分中注意使用（在積分中注意使用對稱性對稱性）二、小結二、小結 Drdrdrrf )sin,cos(.)sin,cos()()(21 rdrrrfd.)sin,cos()(0 rdrrrfd.)sin,cos()(020 rdrrrfd 一、二重積分的換元法一、二重

11、積分的換元法 .sin,cosryrx間間的的關關系系為為坐坐標標與與極極坐坐標標之之平平面面上上同同一一個個點點，直直角角的的一一種種變變換換，坐坐標標平平面面到到直直角角標標平平面面上上式式可可看看成成是是從從直直角角坐坐xoyro 換是一對一的換是一對一的，且這種變，且這種變平面上的一點平面上的一點成成，通過上式變換，變，通過上式變換，變面上的一點面上的一點平平即對于即對于),(),(yxMxoyrMro .),(),(),(),(:)3(; 0),(),(),()2(),(),()1(),(),(:),( DDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxfDDTvuyxvuJDDvuyvu

12、xDxoyDuovvuyyvuxxTDxoyyxf是是一一對對一一的的，則則有有變變換換上上雅雅可可比比式式在在；上上具具有有一一階階連連續續偏偏導導數數在在且且滿滿足足，平平面面上上的的變變為為平平面面上上的的閉閉區區域域將將連連續續，變變換換上上平平面面上上的的閉閉區區域域在在設設定定理理例例1 1解解所圍成的閉區域所圍成的閉區域線線軸和直軸和直軸、軸、由由其中其中計算計算2, yxyxDdxdyeDxyxy,xyvxyu 令令.2,2uvyuvx 則則,DD Dxyo2 yxD uvovu vu 2 v. 22;0;0 vyxvuyvux即即),(),(vuyxJ ,2121212121

13、 DvuDxyxydudvedxdye21故故 vvvuduedv2021 201)(21vdvee.1 ee例例2 2解解所圍成的閉區域所圍成的閉區域橢圓橢圓為為其中其中計算計算1,122222222 byaxDdxdybyaxD.20, 0, 0, 0 rba其中其中 ,sin,cosbryarx作作廣廣義義極極坐坐標標變變換換,20,10),( rrDD在在這這變變換換下下.),(),(abrryxJ drdabrrdxdybyaxDD 2222211.32ab 二、小結二、小結的的形形式式同同時時也也兼兼顧顧被被積積函函數數的的形形狀狀，于于積積分分區區域域作作什什么么變變換換主主要要

14、取取決決),(1yxfD基本要求基本要求: :變換后定限簡便，求積容易變換后定限簡便，求積容易.),(),(1),(),(. 2yxvuvuyxJ 作業作業 P1631(2)，(3)，(5)2(2), (4) P1644(1)7(2) P1659(1)10(1) 計算計算 deyxyyxD2)( ，其中，其中 D：1 yx，0 x和和0 y所圍成所圍成.思考題思考題令令 yvyxu, vyvux雅可比行列式雅可比行列式1),(),( vuyxJ,變變換換后后區區域域為為思考題解答思考題解答oxy1 yxDouvvu D deyxyyxD2)( DdudvJvuf| ),(dveuvduuu20

15、10 dueuu2102 ).1(41 eD ：1 yx1 u0 x0 vu0 y0 v一、一、 作適當的變換作適當的變換, ,計算下列二重積分計算下列二重積分: :1 1、 Ddxdyyx22, ,其中其中D是由兩條雙曲線是由兩條雙曲線1 xy和和2 xy, ,直線直線xy 和和xy4 所圍成的在第象限所圍成的在第象限的閉區域的閉區域. .2 2、 Ddxdyyx)(22, ,其中其中D是橢圓區域是橢圓區域: : 1422 yx. .二、二、 設設D是由曲線是由曲線333,4,yxxyxy , ,34yx 所圍所圍成的第象限部分的閉區域成的第象限部分的閉區域, ,求其面積求其面積. .三、試

16、證三、試證: : Ddxdycbyaxf)( 11222)(12ducbaufu, ,其中其中D為為 0, 12222 bayx且且. .練練 習習 題題一、一、1 1、2ln37； 2 2、 325. .二、二、81. .練習題答案練習題答案 交交換換積積分分次次序序: ).0(),(cos022 adrrfdIa思考題思考題,cos022: arDoxy思考題解答思考題解答 cosar Daararccos ararccos .),(arccosarccos0 araradrfdrI 一、一、 填空題填空題: :1 1、 將將 Ddxdyyxf),(, ,D為為xyx222 , ,表示為極

17、坐表示為極坐標形式的二次積分標形式的二次積分, ,為為_._.2 2、 將將 Ddxdyyxf),(, ,D為為xy 10, ,10 x, ,表表示為極坐標形式的二次積分為示為極坐標形式的二次積分為_._.3 3、 將將 xxdyyxfdx32220)(化為極坐標形式的二化為極坐標形式的二次積分為次積分為_._.4 4、 將將 2010),(xdyyxfdx化為極坐標形式的二次積分化為極坐標形式的二次積分為為_._.練練 習習 題題5 5、 將將 xxdyyxdx221)(2210化為極坐標形式的二次積化為極坐標形式的二次積分為分為_,_,其值為其值為_._.二、二、 計算下列二重積分計算下列

18、二重積分: : 1 1、 Ddyx )1ln(22, ,其中其中D是由圓周是由圓周122 yx 及坐標軸所圍成的在第一象限內的區域及坐標軸所圍成的在第一象限內的區域. . 2 2、 Ddyx )(22其中其中D是由直線是由直線xy , , )0(3, aayayaxy所圍成的區域所圍成的區域. . 3 3、 DdyxR 222, ,其中其中D是由圓周是由圓周 Rxyx 22所圍成的區域所圍成的區域. . 4 4、 Ddyx 222, ,其中其中D: :322 yx. .三、試將對極坐標的二次積分三、試將對極坐標的二次積分 cos2044)sin,cos(ardrrrfdI交換積分次序交換積分次

19、序. .四、設平面薄片所占的閉區域四、設平面薄片所占的閉區域D是由螺線是由螺線 2 r上一段上一段 弧弧( (20 ) )與直線與直線2 所圍成所圍成, ,它的面密度為它的面密度為22),(yxyx , ,求這薄片的質量求這薄片的質量. .五、五、 計算以計算以xoy面上的圓周面上的圓周axyx 22圍成的閉區域為圍成的閉區域為底，而以曲面底，而以曲面22yxz 為頂的曲頂柱體的體積為頂的曲頂柱體的體積. .一、一、1 1、rdrrrfd cos2022)sin,cos(； 2 2、 1)sin(cos020)sin,cos(rdrrrfd；3 3、 sec2034)(rdrrfd；4 4、

20、sectansec40)sin,cos(rdrrrfd；5 5、 2cossin0401rdrrd, ,12 . .二、二、1 1、)12ln2(4 ； 2 2、414a；練習題答案練習題答案 3 3、)34(33 R； 4 4、 25. .三、三、 4420)sin,cos(drrfrdrIa araraadrrfrdr2arccos2arccos22)sin,cos(. .四、四、405 . .五、五、4323a . .設設)(xf在在1 , 0上上連連續續，并并設設Adxxf 10)(， 求求 110)()(xdyyfxfdx.思考題思考題 1)(xdyyf不能直接積出不能直接積出,改改

21、變變積積分分次次序序. 令令 110)()(xdyyfxfdxI,思考題解答思考題解答則原式則原式 ydxyfxfdy010)()(.,)()(010 xdyyfdxxfxyo故故 110)()(2xdyyfdxxfI xdyyfdxxf010)()()()()(1010dyyfdxxfxx .)()(21010Adyyfdxxf 一、一、 填空題填空題: : 1 1、 Ddyyxx )3(323_._.其中其中 . 10 , 10: yxD 2 2、 Ddyxx )cos(_._.其中其中D是頂是頂 點分別為點分別為 )0 , 0(，)0 ,( ，),( 的三角形閉區域的三角形閉區域 . .

22、 3 3、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由是由x軸及半圓周軸及半圓周)0(222 yryx所圍成的閉區域所圍成的閉區域, ,化為先對化為先對y后對后對x的二次積分的二次積分, ,應為應為_._.練練 習習 題題 4 4、將二重積分、將二重積分 Ddyxf ),(, ,其中其中D是由直線是由直線 2, xxy及雙曲線及雙曲線)0(1 xxy所圍成的閉區所圍成的閉區 域域, ,化為先對化為先對x后對后對y的二次積分的二次積分, ,應為應為 _. _. 5 5、將將二二次次積積分分 22221),(xxxdyyxfdx改改換換積積分分次次序序, , 應應為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. . 6 6、將將二二次次積積分分 xxdyyxfdxsin2sin0),( 改改換換積積分分次次序序, , 應應為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.