1、群的一般概念【教學目標】1掌握群的一般概念。2熟練運用群的性質解決具體問題。3親歷群是非空集合的探索過程，體驗分析歸納得出群是一個非空集合，有一個滿足結合律的二元運算，進一步發展學生的探究、交流能力。【教學重難點】重點：掌握群的性質。難點：群的一般概念的實際應用。【教學過程】一、直接引入師：今天這節課我們主要學習群的一般概念，這節課的主要內容有集合上的運算，非空集合滿足的條件，群的性質，并且我們要掌握這些知識的具體應用，能熟練解決相關問題。二、講授新課（1）教師引導學生在預習的基礎上了解集合上的運算內容，形成初步感知。（2）首先，我們先來學習對稱群的共同特點，它的具體內容是：正 n 邊形的對稱

2、群和 n 元對稱群有如下共同特點：有一個非空集合；在這個集合上定義了一個運算；運算滿足四個性質。設 G 是一個非空集合， G 上的一個二元運算是指一個映射“”，它把 G 中的任意一個有序對a, b 都對應到 G 中的一個元素，我們把這個元素記作a b 。它是如何在題目中應用的呢？我們通過一道例題來具體說明。例： Dn 和 Sn 上的二元運算有哪些？各舉一例。解析： Dn 中對稱變換的合成是D n 上的二元運算；Sn 中置換的合成是 Sn 上的二元運算。根據例題的解題方法，讓學生自己動手練習。練習：整數集 Z 上的二元運算有哪些？舉例說明理由。-1-/3解：整數的加法、減法和乘法都是整數集Z 上

3、的二元運算，這是因為兩個整數的和、差與積都仍然是整數。（3）接著，我們再來看下非空集合的性質內容，它的具體內容是：非空集合 G 滿足下述 4 個條件： G 上有一個二元運算 “”，即對任意的 a, bG ，有 a,bG 。 G 中有單位元 I，對任意的 aG ， Ia=aa I 。 G 中的每個元素都有逆元，即對任意的aG ，存在 aG ，使得 a a I aa 。 G 的乘法滿足結合律，即對任意的 a,b, cG ， a b ca b c 。則 G，稱為一個群。它是如何在題目中應用的呢？我們也通過一道例題來具體說明。例：正有理數集 Q 連同正有理數的乘法構成一個群，記作Q , ,Q 滿足哪些

4、條件？解析：對任意的a,bQ+，Q；1 Q；對任意的a Q+，存在 a 的逆元1Q；a ba+對任意的 a, b,c Q+ ， a bc ab c 。根據例題的解題方法，讓學生自己動手練習。練習：整數集 Z 連同整數的加法構成一個群Z, ， Z 滿足群的哪些條件呢？解：對任意的 a, bZ ， a+bZ ； 0 Z ；對任意的 a Z ，存在 a 的逆元aZ ；對任意的 a, b,cZ ， a+b +ca+ b+c 。三、課堂總結（1）這節課我們主要講了正 n 邊形的對稱群和 n 元對稱群有如下共同特點：有一個非空集合；在這個集合上定義了一個運算；運算滿足四個性質。設 G 是一個非空集合， G 上的一個二元運算是指一個映射“”，它把 G 中的任意一個有序對a, b 都對應到 G 中的一個元素，我們把這個元素記作a b 。非空集合 G 滿足下述 4 個條件： G 上有一個二元運算 “”，即對任意的 a, bG ，有 a,bG 。-2-/3 G 中有單位元 I ，對任意的 a G ， Ia=aa I 。 G 中的每個元素都有逆元，即對任意的aG ，存在 aG ，使得 a a I a a 。 G 的乘法滿足結合律，即對任意的 a,b, cG ， a b ca b c 。則 G，稱為一個群。（2）它們在解