1、1 2.2 1 X隨機變量的數學期望設離散型隨機變量 的分布列為XP-2 0 20.4 0.3 0.3()(35)()( 2)0.400.320.30.2, (35)3 ( 2)5 0.43 05 0.3325 0.34.4.2.E XEXE XEXX 試求和。解 某服裝店根據歷年銷售資料得知：一位顧客在商店中購買服裝的件數 的 分布列為XP0 1 2 3 4 50.10 0.33 0.31 0.13 0.09 0.04 試求顧客在商店平均購買服裝件數。2()1 0.3320.313 0.1340.0950.041.93. E XX 解 某地區一個月內發生重大交通事故數 服從如下分布XP0 1

2、 2 3 4 5 60.301 0.362 0.216 0.087 0.026 0.006 0.002 ()1 0.36220.2163 0.08740.02650.006 +60.0021.201. 20(). E XXXE XX 試求該地區發生重大交通事故的月平均數。解一海運貨船的甲板上放著個裝有化學原料的圓桶，現已知其中有5桶被海水污染了，若從中隨機抽取8桶，記 為8桶中被污染的桶數，試求 的分布列，并求解因為01255158(),0,1,2,208kkP Xkk 的可能取值為 ， ， ， ，且,5.4.3將計算結果列表為XP0 1 2 3 4 50.0511 0.2554 0.3973

3、 0.2384 0.0542 0.0036( )1 0.2554 2 0.3973 3 0.2384 4 0.0542 5 0.00362.5. E X 由此得用天平稱某種物品的質量（砝碼僅允許放在一個盤中），現有三組砝碼：（甲）1，2，2，5，10(g);(乙)1，2，3，4，10(g);(丙)1，1，2，5，10(g),稱重時只能使用一組砝碼。問：當物品質量為1g，2g，10g的概率是相同的，用哪一組砝碼稱重所用的平均砝碼數最, ,X Y Z少？ 解 分別用表示用甲，乙，丙三組砝碼稱重時所用的砝碼數. （1） 用甲組砝碼稱重時，1個砝碼可稱4種物品(1,2,3,4,10(g);2個砝碼可稱

4、4種物品(3,4,6,7(g);3個砝碼可稱2種物品(8,9(g).所以的分布列為4XP1 2 34/10 4/10 2/10()1 4/1024/103 2/101.8. (2)E XY 因此平均所用砝碼數為：用乙組砝碼稱重時，1個砝碼可稱5種物品(1,2,3,4,10(g);2個砝碼可稱3種物品(5,6,7(g);3個砝碼可稱2種物品(8,9(g).所以 的分布列為YP 1 2 35/10 3/10 2/10()1 5/1023/1032/101.7.(3)E XZ 因此平均所用砝碼數為：用丙組砝碼稱重時，1個砝碼可稱4種物品(1,2,5,10(g);2個砝碼可稱3種物品(3,6,7(g)

5、;3個砝碼可稱2種物品(4,8(g);4個砝碼可稱1種物品(9(g).所以 的分布列為5ZP 1 2 3 44/10 3/10 2/10 1/10( )1 4/102 3/103 2/104 1/102.0.1,2,iE ZAii 因此平均所用砝碼數為：所以用乙組砝碼稱重時，所用的平均砝碼數最少。6. 假設有十只同種電器元件，其中有兩只不合格品.裝儀器時，從這批元件中任取一只，如是不合格品，則扔掉重新任取一只；如仍是不合格品，則扔掉再取一只，試求在取到合格品之前，已取出的不合格品只數的數學期望.解 記 為“第次取出的是合格品”,1121233.8288(0)(), (1)(),10109452

6、181(2)().109845XP XP AP XP A AP XP A A A隨機變量 為“取到合格品之前，已取出的不合格品數”，則6,812 ()12,45459 7.E Xaap 上述三個概率組成一個分布列 其數學期望為對一批產品進行檢查，如查到第 件全為合格品，就認為這批產品合格；若在前 件中發現不合格品即停止檢查，且認為這批產品不合格。設產品的數量很大，可認為每次查到不合格品的概率都是 問每批產品平均要查多少件？解 設每批1XqpX 要查 件，記，則 的分布列為XP2211 2 3 1 aaaaapqpq pqpq p q1111()()()1aaakakaakkqqE Xkqpaq

7、pqaqpaqq所以7120.020.0201(1)(1)()1 (1) 8.0.02,0,( )0 0,( )0.02aaaattaqqqqqpaqpqTetp ttE Ttedtte 某廠推土機發生故障后的維修時間 是一個隨機變量(單位：h)，其密度函數為 ，試求平均維修時間。解 0.020.020.0200031500.0250h. 9.4(1) ,01,( )0 ,|tttedteXxxp t 故其平均維修時間為某新產品在未來市場上的占有率 是僅在區間(0,1)上取值的隨機變量，它的密度函數為 ，其他811323400().41 ()4 (1)(412124)243.55 10.(25

8、).,0, ( )0 0.xE XE Xxx dxxxxx dxEXexp tx 試求平均市場占有率。解 這里平均市場占有率就是設隨機變量的密度函數如下，試求，01(1)2 ()=1,(25)7. 11. ().,0,21 ( ),01,211,1,2xxxE Xxe dxEXXE XexF xxex 解因為所以設隨機變量 的分布函數如下，試求91(1)0211113 ()1.242212. () 10 11 12 13 xxE Xxe dxxedxXX 某工程隊完成某項工程的時間單位：月是一個隨機變量，它的分布列為 0.4 0.3 0.2 0.1(1)50(13),:()PYXX試求該工程隊

9、完成此項工程的平均月數；(2)設該工程隊所獲利潤為單位為萬元。試求工程隊的平均利潤；(3)若該工程隊調整安排，完成該工程時間單位：月的分布為XP10 11 12 0.5 0.4 0.1 (1) ()100.411 0.3120.213 0.111,E X 則其平均利潤可增加多少？解該工程隊完成此項工程平均需11個月.10111(2) ( )50(13)65050()650550100.100.(3)()100.511 0.4120.110.6,( )50(13)65050 10.612012010020().13.1cos,0( )22E YEXE XE XE YEXXxp x該工程隊所獲平均

10、利潤為萬元調整安排后，所以平均利潤為，由此得平均利潤可增加萬元設隨機變量 的概率密度函數為2,0,4/3/3()cossin1sin(/6)10.50.5./322xXYYXxxpP XdxY /3其他，對 獨立重復觀察 次， 表示觀察值大于的次數，求的數學期望。解：因為事件“觀察值大于 /3”可用表示，從而1/32而 的分布列為114422444024 ()0.5 0.5,0,1,2,3,4.4 ()0.5800.5800.55.14. 3, ( )8kkkP YkkkE YkkXxp x 所以設隨機變量 的密度函數為2222201102,0,1133 ().8415.()().()()kk

11、xXEx dxXxXE XP XkE XkP Xk其他，試求的數學期望。1解設 為僅取非負整數的離散隨機變量，若其數學期望存在，證明 證：由于存在，所以該級數絕對收斂，從而有121111110 ()()() ()().16.( ), ()1( )kkkiikiE XkP XkP XkP XkP XiXF xE XF x dx 設連續隨機變量 的分布函數為且數學期望存在，證明000000000( ).()( )( )( ). ( )( )( )( ), ( )yxF x dxE Xxp x dxxp x dxxp x dxxp x dxdy p x dxp x dxdyF y dyxp x dx

12、 證：將第一個積分改寫為二重積分，然后改變積分次序，得第二個積分可改寫為二重積分，然后改變積分次序，可得0000( )( )1( ),xydy p x dxp x dx dyF y dy這兩個積分之和恰好是所要求證明的等式。1311117. ,1,231 (1)1, (2 )(),1,2, kkkkkpqpXXXkkP XP Xkp qpqpqk 甲、乙兩人進行象棋比賽，每局甲勝的概率為 乙勝的概率為比賽進行到有一人連勝兩局為止，求平均比賽局數.解：設 為決定勝負所需的局數， 可取 ， ，等正整數值，事件“表示到第局時沒有一人連勝兩局，總是兩人輪流勝，所以,1111 (21)2,1,2,12 ( )()1()2()1112 .12 1/4(01),(1)1/4, ( )1 1/4kkkkkkkP Xkp q kpqE XP XkpqpqpqpqpqpqppppE X ,利用15題提供的公式，可得又因為對任意的總有故3,140031/20,1,11 ()arcsin , 11,21,1.().1611