1、第1頁/共92頁2目的與要求：目的與要求：掌握掌握復數項級數、冪級數、泰勒級數、與洛復數項級數、冪級數、泰勒級數、與洛 朗級數的概念、性質及基本計算方法、朗級數的概念、性質及基本計算方法、孤孤 立奇點的概念及判定、零點與極點的關系立奇點的概念及判定、零點與極點的關系。重點：重點：難點：難點：函數展開成泰勒級數與洛朗級數函數展開成泰勒級數與洛朗級數函數展開成洛朗級數函數展開成洛朗級數第2頁/共92頁3 無窮級數無窮級數：一無窮多個數構成的數列一無窮多個數構成的數列w1，w2，w3， wn， 寫成寫成w1+w2+w3+ wn+ 就稱為無窮級數。這僅是一種形就稱為無窮級數。這僅是一種形式上的相加。這

2、種加法是不是具有式上的相加。這種加法是不是具有和數和數呢？這個呢？這個和數和數的確切意義是什么？的確切意義是什么？ 為什么要研究級數為什么要研究級數？ (1) (1) 級數可作為函數的表達式，是研究函數的工具；級數可作為函數的表達式，是研究函數的工具； (2) (2) 常微分方程的級數解。常微分方程的級數解。 研究級數需關心的研究級數需關心的問題：問題： (1) (1) 級數的斂散性，收斂的定義、條件、判據；級數的斂散性，收斂的定義、條件、判據； (2) (2) 收斂級數或一致收斂級數所具有的性質等。收斂級數或一致收斂級數所具有的性質等。第3頁/共92頁4 設wn(n=1,2,)為一復數列,表

3、達式 的稱為的稱為復數項級數復數項級數，其中其中 是復數是復數。ikkkwuv000innnnkkkkkkswuv010,kkkwwww級數前面級數前面n項的和項的和 若部分和數列若部分和數列 sn(n=1,2,=1,2,),)有復數極限有復數極限slim()nnss 即若(3.1)本節內容與實數項級數類似，只作扼要介紹。本節內容與實數項級數類似，只作扼要介紹。第4頁/共92頁5說明說明: 與實數項級數相同與實數項級數相同, , 判別復數項級數斂散判別復數項級數斂散性的基本方法是性的基本方法是: : lim.利利用用極極限限nnss1nnsw 則稱復數項級數則稱復數項級數(3.1)(3.1)收

4、斂于收斂于s,s,且稱且稱s s為為(3.1)(3.1)的和的和, ,寫寫成成 若復數列若復數列sn(n=1,2,)沒沒有極限有極限, ,則稱級數則稱級數(3.1)(3.1)為發散為發散.第5頁/共92頁61-21nnzzzs ,1時時由于當由于當 z, )1(11 zzznzzsnnnn 11limlim,11z .1時級數收斂時級數收斂所以當所以當 z的斂散性.0 nnz分析級數例例1 1第6頁/共92頁73.3.復數項級數收斂的條件復數項級數收斂的條件證證因為12nnswww1212()i()nnuuuvvv,nni (1) 定理定理 )( 11收斂的收斂的充要條件充要條件級數級數 nn

5、nnnivuw . 11都收斂都收斂和和 nnnnvu第7頁/共92頁8 : 極限存在的充要條件極限存在的充要條件根據根據ns , 的極限存在的極限存在和和nn 說明說明 復數項級數的審斂問題復數項級數的審斂問題 實數項級數的審斂問題實數項級數的審斂問題(定理定理) . 11 nnnnvu都收斂和和級數于是第8頁/共92頁92200kkkkkwuv若若收斂，則稱收斂，則稱0kkw絕對收斂絕對收斂 (2) 對于任一小的正數對于任一小的正數 ，必存在一必存在一 N 使得使得 nN 時有時有1121 nppnnnpkk nswwww 式中式中 p 為任意正整數為任意正整數.0kkv0kku0kkw第

6、9頁/共92頁10 11i (1) nnn1 1 級級數數是是否否收收斂斂？ 解解111 ;nnnun 因因為為發發散散2111 . nnnvn 收收斂斂所以原級數發散. . 例例111(2)(1)ninn 2 2級級數數 是是否否收收斂斂？ 2111 ;nnnun 因因為為收收斂斂3111 . nnnvn 收收斂斂所以原級數收斂. . 第10頁/共92頁11120( )( )( )( ),kkkw zw zw zw z 設復變函數列wk(z)定義在區域B上，則由wk(z)構成的級數稱 當選定當選定z的一個確定值時，函數項級數變成一個的一個確定值時，函數項級數變成一個復數項級數。復數項級數。

7、由于函數項級數定義在區域由于函數項級數定義在區域 B( (或曲線或曲線l) )上上，所所以以它的收斂的概念是相對于定義域它的收斂的概念是相對于定義域B(或曲線或曲線l)而言的。而言的。第11頁/共92頁12 1.1.復變函數項級數一致收斂的充分必要條件復變函數項級數一致收斂的充分必要條件定義定義：任給：任給 0，存在一個與，存在一個與z無關的自然數無關的自然數N ()，當，當n N ()時，對時，對B(或或l)上所有上所有z，均有：均有：1( ) n pkk nw z( (p為任意自然數為任意自然數) )，則稱在，則稱在B(或或l) )一致收斂。一致收斂。 ： 若wk(z) 在B內連續，函數級

8、數 在B內一致收斂，則和函數。0( )kkwz0000lim( )lim( )kkzzzzkkwzwz 這個性質說明：如果級數的每一項都是連續函數，則一致收這個性質說明：如果級數的每一項都是連續函數，則一致收斂斂級數可以逐項求極限。級數可以逐項求極限。第12頁/共92頁13 性質性質2 2： 若級數 在區域B B內的分段光滑曲線l上一致收斂，且wk(z)為l上的連續函數，則：0( )kkwz00( )( )ddkkllkkwzzwzz第13頁/共92頁1420010200()()()kkka zzaa zza zz這是一種這是一種特殊形式的常用函數項級數特殊形式的常用函數項級數。冪級數冪級數：

9、通項為冪函數的級數：通項為冪函數的級數:第14頁/共92頁15 1. 1. 阿貝爾定理阿貝爾定理 如果級數如果級數 在在z0點點收斂，那么在以收斂，那么在以a點為圓心點為圓心， 為半徑的圓內為半徑的圓內絕對收斂，而絕對收斂，而 上一致收斂上一致收斂。0kkkaza0zazaaz 0 如果級數如果級數 在在z1點點發散，則在發散，則在 內處處內處處發散發散。0kkkaza1zaza 由于發散的冪級數沒有多大用處，故重點研究冪級數的斂由于發散的冪級數沒有多大用處，故重點研究冪級數的斂散性。散性。2.2.求收斂圓半徑求收斂圓半徑R的公式的公式 絕對收斂是指絕對收斂是指 收斂，后者為正項收斂，后者為正

10、項級數，因此可用正項級數的比值判別法和根式判別法確級數，因此可用正項級數的比值判別法和根式判別法確00()kkkazz00()kkkazz第15頁/共92頁16(1) (1) 比值判別法比值判別法110100()liml(1im1)kkkkkkkkazzazzrrazzar引入收斂半徑引入收斂半徑 1001lim1limkkkkkkaazzzzaa即有:1001lim1:limkkkkkkaazzzzaa即有1limkkkaRa定收斂半徑定收斂半徑 R。絕對收斂絕對收斂 發散發散 絕對收斂絕對收斂 發散發散 0zzR則若則若: : 級數001npkkkkk nazznN zwz ( )( ),

11、在在圓圓內內滿滿足足時時 , , 的, ,所以0zzR 絕對收斂絕對收斂 . .第16頁/共92頁17所以.R注意注意:10zzR ,由由于于11101010kkkkkazzzzRazzlim. 1 1 ( ),npkk nwz 滿滿. .柯柯西西不不足足判判據據000kkkazzzzR ,故故在在圓圓外外發發散散（2 2）當0zzR ,時時CRz0R第17頁/共92頁18(2) (2) 根式判別法根式判別法發散發散001lim()lim1 kkkkkkkra zzzzarr絕對收斂發散01limkkkzza所以所以01limkkkzza1limkkkRa絕對收斂絕對收斂0zzR對應級數絕對收

12、斂對應級數絕對收斂 則若則若: : 第18頁/共92頁19: :20R .( (極限不存在極限不存在),),1 R .,00 ,kkkazz則則級級數數內內處處處處斂斂在在復復平平面面收收000 ,kkkazzzz則則級級數數對對內內發發于于復復平平面面除除均均散散以外的一切 4. 4. 復變冪級數在收斂圓內的性質復變冪級數在收斂圓內的性質設冪級數設冪級數的收斂半徑為的收斂半徑為,R 00)(kkkzza是收斂圓是收斂圓內的解析函數內的解析函數。(1) 0)()( kkkz0zazw它的和函數Rz0z 第19頁/共92頁20(2)在收斂圓內可以逐項積分在收斂圓內可以逐項積分, , )( zw即

13、即 0.,d)(d)(kckkcRz0zczz0zazzw 且且可表為連續函數的回路積分。可表為連續函數的回路積分。1201020( )()()1( )2diRCw zaa zza zzwz 第20頁/共92頁21 證明證明: 記記 CR1上點為上點為 ， CR1內任一點為內任一點為 z，則圓上的冪級則圓上的冪級數可寫為數可寫為利用柯西公式利用柯西公式用有界函數用有界函數112 iz 相乘后，在相乘后，在CR1上一致收斂上一致收斂1110102202010201( )2()1122()12()()( )R1CdiddiidiRRRCCCwzaazzzazzaa zza zzw z 0zz1RC

14、201020( )()()waazaz第21頁/共92頁2211111201020111( )( )2 ( )( )01020!( )2()()()!222()()() () () ( )didddiiiRRRRnCnnnCCCnnnnnwzaazaznnnzzzaa z za z zwz 且冪級數在收斂圓內可任意且冪級數在收斂圓內可任意逐項求導逐項求導0zzC1RC證明證明:冪級數冪級數 乘以乘以1!12()innz 201020( )()()waazaz (3)在收斂圓在收斂圓內的導數可將其冪內的導數可將其冪級數逐項求導得到級數逐項求導得到, )( zw.)()(11 kkkz0zkazw

15、即即Rz0z 第22頁/共92頁23cosikak因因為為111 R=limlimkkkkkkkkaeeaee 所所以以故收斂半徑故收斂半徑.1eR 0kkk z(cosi )例例1求冪級數求冪級數 的收斂半徑的收斂半徑解解12cosh(),kkkee1,e第23頁/共92頁24解解1244 i(cosisin) 因因為為(1 i)nna 1limnnnaRa例例201 (i)nnnz求求 的收斂半徑的收斂半徑.42i,e 42i();nne 1( 2)lim( 2)nnn1.2第24頁/共92頁25例例3 計算計算11()d ,.2nlnzzlz 其其中中 為為解解:和函數和函數11( ),

16、()nnw zzz111()dlIzzz 所所以以20i 01nnzz,111zz 111ddclzzzz2 i. 第25頁/共92頁26.,)(,)()1(2010rRzbzgrRzazfnnnnnn 設設,)()()(000nnnnnnnnnnzbazbzazgzf ),()()()(00 nnnnnnzbzazgzf 00110,)(nnnnnzbababaRz 5.5.冪級數的運算與性質冪級數的運算與性質在收斂半徑在收斂半徑R=min(r1,r2)內內:如果當如果當rz 時時, ,)(0 nnnzazf又設在又設在Rz 內內)(zg解析且滿足解析且滿足,)(rzg 那末當那末當Rz 時

17、時, , 0.)()(nnnzgazgf(2)(2)冪級數的代換( (復合) )運算第26頁/共92頁2700:kkkk數數項項級級數數發發問問如如果果復復和和均散,0()?kkk級級數數發發嗎嗎也也散散思考題答案思考題答案不一定。冪級數在收斂圓周上的斂散性如何斷定冪級數在收斂圓周上的斂散性如何斷定? ?由于在收斂圓周上由于在收斂圓周上z確定確定, , 可以依復數項級可以依復數項級數斂散性討論。數斂散性討論。思考題答案思考題答案第27頁/共92頁28 3.2 3. (1)（4）(5） 4. (1)(3)第28頁/共92頁29上節證明了：冪級數在其收斂圓內解析上節證明了：冪級數在其收斂圓內解析本

18、節證明其本節證明其逆定理逆定理：解析函數可以展開成冪級數，且這種：解析函數可以展開成冪級數，且這種 展開式是唯一的。展開式是唯一的。 解析函數與冪級數的密切關系解析函數與冪級數的密切關系其中展開系數其中展開系數 ak 稱為泰勒級數稱為泰勒級數 如圖：設如圖：設 f (z)在區域內解析，在區域內解析，z0為內任一點，為為內任一點，為z0到到區邊界的最短距離，則當區邊界的最短距離，則當| zz0 | R 時，時， f (z)可展開為泰勒可展開為泰勒級數級數00( )()kkkf zazz 0110()1( )2()!dikkkCRfzfazk CR1為半徑為的圓。為半徑為的圓。 BCR1 0zz第

19、29頁/共92頁30證明證明： 1. 設設f(z)在內解析在內解析, 在圖示的在圖示的CR1圓上應用柯西公式圓上應用柯西公式112( )( )iRCff zdz 其中其中z為圓為圓CR1內某一點內某一點,| zz0 |=r，CR1為包含為包含z的圓的圓，| z0 | = R,(0 r R) ，為為CR1上的點上的點。 如圖如圖: :B1RCz.內任意點內任意點R0z.CR1. r第30頁/共92頁312. 將被積函數變成級數將被積函數變成級數01(1)1kkttt利用利用 將將 展開成以展開成以z0為中心的級數為中心的級數 被積函數寫成：被積函數寫成：0010000000000()11111(

20、)()()()1kkkkkzzzzzzzzzzzzzzz0100()( )( )()kkkzzffzz3. 將上式沿將上式沿CR1積分積分1z級數級數 在在CR1上一致收斂上一致收斂 和和 f () 在在CR1上有界上有界0100()()kkkzzz第31頁/共92頁32級數級數 在在 B內內一致收斂一致收斂 逐項積分逐項積分0100()( )()kkkzzfz11100110000000100()11( )( )( )d()d2 i()2 i()()()1( )d2 i() RRRkkkkCCkkkCkkkkkzzff zfzzzzzfzazzz于是于是1010112( )( )d()i()

21、!RkkkCfafzzk 其中其中4. 展開式是唯一的展開式是唯一的第32頁/共92頁33 若若 f (z)能展開成另一種形式能展開成另一種形式：201020( )()()f zCC zzCzz(1) 那么當 z = z0： 00000()()f zCCf za(2) 對z求導： 101()Cfza2012030()2()3()fzCCzzC zz230( )23 2() fzCC zz2021()2Cfza( )01()!kkkCfzak展開式唯一展開式唯一第33頁/共92頁34 來求來求 ak 。 由展開式的唯一性，可以用任何方便的辦法來求解一個由展開式的唯一性，可以用任何方便的辦法來求解

22、一個解析函數的泰勒展開式，不必一定要用積分表達式解析函數的泰勒展開式，不必一定要用積分表達式11012( )di()RkkCfaz 說明：說明：(1) 解析函數與泰勒級數之間存在密切關系解析函數與泰勒級數之間存在密切關系： a. 冪級數在其收斂圓內解析；冪級數在其收斂圓內解析； b. 解析函數可以展開成冪級數，且這種展開式是唯一的解析函數可以展開成冪級數，且這種展開式是唯一的。(2) 如果如果f(z)在在B內有一階導數存在，則內有一階導數存在，則f(z)可在可在B內每一點的內每一點的鄰域內展開成泰勒級數。而對于實變函數來說，鄰域內展開成泰勒級數。而對于實變函數來說，f (x) 的一的一階導數存

23、在，它的二階或高階導數可能不存在，因此階導數存在，它的二階或高階導數可能不存在，因此 f(x)就不可能展開成泰勒級數。就不可能展開成泰勒級數。第34頁/共92頁35;,00級數稱為時當 z )( zf因為解析，可以保證無限階導數因為解析，可以保證無限階導數的連續性的連續性; ; 注意：注意： 所以復變函數展為泰勒級數的實用范圍所以復變函數展為泰勒級數的實用范圍就要比實變函數廣闊的多。就要比實變函數廣闊的多。說明說明:0( )kkkf za z第35頁/共92頁36常用方法常用方法: : 直接法和間接法直接法和間接法. .1.1.直接法直接法:( )01(),0,1,2,!kkafzkk由泰勒展

24、開定理計算系數. )( 0展開成冪級數在將函數zzf例例1，. 0 的泰勒展開式的泰勒展開式在在求求 zez010 1 2( )(), (, , ,)zkzek故有故有2012!kkzkzzzezkk ( )(),zkzee第36頁/共92頁37, 在復平面內處處解析因為ze。 R所以級數的收斂半徑2. 2. 間接展開法間接展開法 : 借助于一些已知函數的展開式 , , 結合解析函數的性質, , 冪級數運算性質 ( (逐項求導, , 積分等) )和其它數學技巧 ( (代換等) , ) , 求函數的泰勒展開式。間接法的優點間接法的優點: : 不需要求各階導數與收斂半徑不需要求各階導數與收斂半徑

25、, , 因而比因而比直接展開更為簡潔直接展開更為簡潔 , , 使用范圍也更為廣泛。使用范圍也更為廣泛。第37頁/共92頁38例例2 2 )(21sinizizeeiz 210121()()!kkkzk0012( )()!kkkkizizikk. 0 sin 的泰勒展開式在利用間接展開法求 zz23231122311223( )( )( )!()()()!kkizizizizikizizizizik31122123( )( )( )()!kkkizizizizikk 2131321( )!kkzzzk第38頁/共92頁39附附: 常見函數的泰勒展開式常見函數的泰勒展開式20112),!kkzkz

26、zzezkk 201211),kkkzzzzz 20131111)()(),kkkkkzzzzz 3521413521)sin(),!()!kkzzzzzk )1( z)1( z)( z)( z第39頁/共92頁40242511242)cos(),!()!kkzzzzk )( z231611231) ln()(),kkzzzzzk 1011()kkkzk)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz 11()(),!kkzk )1( z第40頁/共92頁41例例3 3. )1 (1 2的的冪冪級級數數展展開開成成把把函函數數zz 解解21111()kkzzzz 1 z z

27、z11)1 (1221112311(),.kkzzkzz 上式兩邊逐項求導上式兩邊逐項求導, ,11)1(12 zzz上有一奇點在由于,1區域內解析即在 z故可在其解析區域內展開成的冪級數z第41頁/共92頁42例例4 4* *. 0 )1ln( 泰勒展開式泰勒展開式處的處的在在求對數函數的主值求對數函數的主值 zz分析分析如圖如圖,1OR=1xy. 1 的冪級數內可以展開成所以它在zz , 1 , 1 )1ln( 是它的一個奇點平面內是解析的向左沿負實軸剪開的在從 z第42頁/共92頁43000111d()dzzkkkzzzz即即23111231ln()()kkzzzzzk 1 z 將展開式

28、兩端沿將展開式兩端沿 l 逐項積分逐項積分, , 得得解解zz 11)1ln(20111()()kkkkkzzzz )1( z, 0 1 的曲線到內從為收斂圓設zzl 第43頁/共92頁44解析延拓解析延拓：將解析函數定義域加以擴大將解析函數定義域加以擴大 例; 冪級數： 在以z =0為圓心的單位圓B內代表一個解析函數，令為級數的收斂域B即解析函數定義域半徑R=1 。231,zzz2311( )1,11f zzzzzz 在單位圓B內，取一點為圓心進行將f1(z)泰勒展開這級數的收斂域b的半徑為 1210022212( )i/(i/ )( )i/,!i/kkkkkkzffzzk 11i/ 25l

29、im1i/ 2,21i/ 2kkkR 第44頁/共92頁45 上例說明，收斂域b 跨出原來的收斂域B 之外，而級數(1)在收斂域B內. b 代表解析函數 f2(z)，于是稱 f2(z )為 f1(z) 在 b內的解析延拓。 定義定義：若若f1(z)和和f2(z)分別在分別在B,b內解析，且在內解析，且在B與與b重疊的區重疊的區域中有域中有f1(z)=f2(z)，則稱則稱f2(z)為為f1(z)在在b中的解析延拓中的解析延拓， f1(z)為為f2(z)在在B中的解析延拓中的解析延拓。 可以證明，無論采用何種方法，函數可以證明，無論采用何種方法，函數 f(z) 的解的解析延拓是析延拓是唯一唯一的。

30、這樣，可以采用某些最方便的方法的。這樣，可以采用某些最方便的方法來進行解析延拓。來進行解析延拓。/2zi0z第45頁/共92頁46 首先在首先在B1 內任取一點內任取一點 z0，將，將 f 1 (z)在在 z0 的鄰域展開的鄰域展開成泰成泰勒級數勒級數 設級數的收斂區域為設級數的收斂區域為B2 2。如果。如果B2 2超出了超出了B1 1的范圍。由于的范圍。由于在在B1和和B2的重疊區域的重疊區域 f1(z)= f2(z)，所以，所以 f2(z) 就是就是 f1(z) 在在 B2中的解析延拓。中的解析延拓。 這樣不斷作下去，得到一系列的解析這樣不斷作下去，得到一系列的解析 Bn,fn (z) (

31、n=2,3.)(n=2,3.)。 一個解析元素一個解析元素 Bn,fn (z) 的全部解析延拓的集合，稱為的全部解析延拓的集合，稱為 f1(z)所產生的完全解析函數所產生的完全解析函數 F( (z) )，F(z)的定義域是鄰解析的定義域是鄰解析元元素給出的定義域的總和。素給出的定義域的總和。1122( )( )( )( )nnf zzBfzzBF zfzzB( )1020000()( )()()!kkkkkkfzfzzzazzk(二二)泰勒級數展開泰勒級數展開解析延拓的方法解析延拓的方法第46頁/共92頁47 3.3 (1)（3）(6）(8)第47頁/共92頁48第48頁/共92頁49例例1.

32、1.10)1(1)( zzzzzf及及在在都不解析都不解析, ,但在圓環域但在圓環域01z及及011z內都是解析的內都是解析的.)1(1)(zzzf ,111zz 而而1,1112 zzzzzk:10 內在圓環域 z所以所以)1(1)(zzzf ,121 kzzzz即即在在)(zf10 z內可以展開成冪級數內可以展開成冪級數. .第49頁/共92頁5011( )(1)111 (1)fzzzzz kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121 kzzzz10100100( )()()()()kkkkf zazzazzaa zzazz，若f (z) 在R 2 z - - z

33、0 R1 內解析, ,f (z) 可以展開成含有負冪次項的級數, ,即內，內，在圓環域110 z第50頁/共92頁51 本節將討論在以本節將討論在以z 0為中心的圓環域內解析的函為中心的圓環域內解析的函數的級數表示法。它是后面將要研究的解析函數在數的級數表示法。它是后面將要研究的解析函數在孤立奇點孤立奇點鄰域內的性質以及定義鄰域內的性質以及定義留數留數數和計算留數數和計算留數的基礎。的基礎。第51頁/共92頁52定理定理C為圓環域內繞為圓環域內繞 的任一正向簡單閉曲線的任一正向簡單閉曲線. . 0z,)()(0kkkzzazf ),1,0( n，在在環形域環形域設設 )( 102RzzRzf

34、內可展開成洛朗級數內可展開成洛朗級數在在 Bzf )( 為洛朗系數為洛朗系數.1012( ) di()kkCfaz 其其中中2R1R.0z第52頁/共92頁53證證對于第一個積分對于第一個積分(CR1): : 121122( )ddiiCCRRfff zzz)()(1100zzzz 因因為為00001kkzzzz 000001111zzzzz zz 0100(),()kkkzzz 1RC2RCBzz00z1R.z2RC1RC2R. .第53頁/共92頁54對于第二個積分對于第二個積分:21( )2 iRCf d - z 所以 因為0011 () ()zzz z 001zzz 000111z z

35、z zz 00()kkkazz112( )diCRfz 0110012( )d()i()kkCRkfzzz 0z1R.z2RC1RC2R. .第54頁/共92頁55則212( )diCRfz 01200112()( )d()illCRlzfzz 0010000011()()()()()llllllzzzzzzzz 10210112()( )d()ikkCRkzfzz 0121012( )()di()kkCRkfzzz 12012( )di()kkCRfaz 第55頁/共92頁5601() ,kkkazz121( )1( )( )22ddiiRRCCfff zzz則則 1010122( )d(,

36、)i()kkCfakz 對于C為在圓環域內繞 的任何一條正向簡單0zkkkkkkzzazza )()(0100.)(0kkkzza 閉曲線. .可用一個式子表示為可用一個式子表示為: :kkaa 與與第56頁/共92頁57說明說明:函數函數)(zf在圓環域內的在圓環域內的洛朗展開式洛朗展開式)(zf在圓環域內的在圓環域內的洛朗洛朗(Laurent)級數級數. 1) 2) 某一圓環域內的解析函數展開為含有正、負某一圓環域內的解析函數展開為含有正、負冪項的級數是唯一的冪項的級數是唯一的. 定理給出了將圓環域內解析的函數展為洛朗級數的一般方法. .kkkzzazf)()(0 第57頁/共92頁58常

37、用方法常用方法 : 1.: 1.直接法直接法 2.2.間接法間接法 1. 直接展開法直接展開法ka),2,1,0(d)()(2110 kzfiaCkk .)()(0kkkzzazf , , 可用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開用代數運算、代換、求導和積分等方法去展開 . .2. 間接展開法間接展開法第58頁/共92頁59例例2 2, 0 內內在在 z. )( 2展開成洛朗級數展開成洛朗級數將將zezfz 解解由定理知由定理知: :,)(kkkzazf 而而 d)()(2110 Ckkzfia d213 Ckei00z 令令f1= =e,則則f1=e在在閉合回路閉合回路C內和內和C上均解析

38、，上均解析，故由解析函數的導數公式故由解析函數的導數公式 d2(k+1)!3 Ck1eif(k+1) )!1(k+1)kfka1(0)即有即有 如何計算如何計算ak? 00zz.0z第59頁/共92頁60間接法解：間接法解：直接展開直接展開ez ! 4! 3! 21143222zzzzzzez ! 4! 3! 211122zzzz d213 Ckkeia022)(dd)!2(1 zzkkezk)!2(1 k ! 4! 3! 211122zzzz z0 2)!2()( kkkzzf故第60頁/共92頁61例例3 3 ;10)1 z;21)2 z.2)3 z內是處處解析的內是處處解析的, ,試把試

39、把 f (z) 在這些區域內展開成洛朗級數在這些區域內展開成洛朗級數. .解解,)2(1)1(1)(zzzf : )2)(1(1)( 在圓環域函數 zzzf , 10 )1內在 z第61頁/共92頁62oxy12112121zz )1(2 zz 421212zz 2874321zz nnzzz22212122 )( zf所以 nzzzz2111則,1 z由于12 z從而是泰是泰勒級數勒級數第62頁/共92頁6312oxyzzz111111 21111zzz1 z由由11 z2 z12 z且仍有且仍有 2112121zz nnzzz22212122 , 21 )2內在 z第63頁/共92頁64

40、842111121zzzzznn2oxy2 z由由12 z此時此時zzz211121 , 2 )3內在 z 21111zzz 2222121zz)( zf于是第64頁/共92頁65 24211zzz仍有仍有zzz111111 21111zzz,121 zz此時 24211zzz 21111zzz.731432 zzz)( zf故注意注意:0 z奇點但卻不是函數奇點但卻不是函數)2)(1(1)( zzzf的奇點的奇點 .本例中圓環域的中心是各負冪項的第65頁/共92頁66說明說明:1. 函數函數)(zf在以在以0z為中心的圓環域內的洛朗級為中心的圓環域內的洛朗級數中盡管含有數中盡管含有0zz 的

41、負冪項的負冪項, , 而且而且0z又是這些又是這些項的奇點項的奇點, , 但是但是0z可能是函數可能是函數)(zf的奇點的奇點, ,也可能也可能)(zf的奇點的奇點.不是2. 給定了函數給定了函數)(zf與復平面內的一點與復平面內的一點0z以后以后,函數在各個不同的圓環域中有不同的洛朗展開式式 ( (包括泰勒展開式作為它的特例包括泰勒展開式作為它的特例).).第66頁/共92頁67解：解：間接法間接法 即通過即通過展開展開sinz為級數求解：為級數求解： z0zzzfsin)( .)!12()1(02 nnnnz例例4 )!12()1(! 51! 3111253nzzzzznn. 0 sin

42、0洛朗級數的去心鄰域內展開成在在將函數 zzz第67頁/共92頁68定義定義：若函數若函數f (z)在點在點z0處不解析處不解析（或沒有定義）（或沒有定義），但在點，但在點z0的某個的某個 內解析內解析，則稱點，則稱點z0為為f (z)的的孤立奇點孤立奇點。00(0)zzRR 例例1z=0是函數是函數1/ze的孤立奇點的孤立奇點.1 z是函數11 z的孤立奇點. .注意注意: : 孤立奇點一定是奇點, , 但奇點不一定是孤立奇點. .第68頁/共92頁69例例2 2 指出函數0 z在點zzzf1sin)(2 的奇點特性. .解解 kzz1,0),2,1( k即在即在0 z的不論怎樣小的去心鄰域

43、內的不論怎樣小的去心鄰域內, , 的奇點存在的奇點存在, , 函數的奇點是1/z=0和sin(1/z)=0對應的點，即)(zf總有總有0 z不是孤立奇點.所以所以，因為01lim kk第69頁/共92頁70kkkf zazz0( )() 定義定義 設設z0是解析函數是解析函數f (z)的孤立奇點的孤立奇點，f (z)在在點點z0的某去心鄰域的某去心鄰域 內的羅朗展式為內的羅朗展式為00zzR (1)(1)若展式中若展式中，則稱，則稱z0為為f (z)的的可去奇點可去奇點； (2)(2)若展式中若展式中，則稱則稱z0是是f (z)的的極點極點，稱稱m為極點為極點z0的階，按照的階，按照m=1或或

44、m1，稱稱z0是是f (z)的單極點或的單極點或m階的極點；階的極點； (3)(3)若展式中若展式中，則稱，則稱z0為為f (z)的的本性奇點本性奇點。第70頁/共92頁71其和函數其和函數)(zF為在為在0z解析的函數解析的函數. .說明說明: (1)0(0 zz)(lim)(00zfzfzz (2) 無論無論在在是否有定義是否有定義, , )(zf0z補充定義補充定義則函數則函數在在0z解析解析. .)(zf1可去奇點可去奇點如果洛朗級數中不如果洛朗級數中不含含 的負冪項的負冪項, 0zz 0z)(zf那末孤立奇點那末孤立奇點 稱為稱為 的的可去奇點可去奇點.1) 定義定義,)(0的孤立奇

45、點若是zfz.)()()(0010 kkzzazzaazf,)(00azf 000,)()(zzazzzFzf第71頁/共92頁72 2) 可去奇點的判定可去奇點的判定(1) 定義判斷定義判斷:的洛朗級數無負的洛朗級數無負0z)(zf在如果冪項則冪項則0z為為)(zf的可去奇點. .(2) 極限判斷極限判斷:)(lim0zfzz若極限存在且為有限值若極限存在且為有限值, ,則則0z為為)(zf的可去奇點. .如果補充定義: :0 z時時, , 1sin zz那末那末zzsin在在0 z解析. .例例3 42! 51! 311sinzzzz中不含負冪項中不含負冪項, ,0 z是是zzsin的可去

46、奇點的可去奇點 . . 第72頁/共92頁73例例4 說明0 z為zez1 的可去奇點.解解 由定義判斷由定義判斷 zez1,!1! 2111 nznz z0所以0 z為為的可去奇點. .zez1 無負冪項無負冪項極限判斷極限判斷zzzzeze00lim1lim 因為因為0 z所以所以的可去奇點的可去奇點. .為為zez1 )1!1! 211(12 nznzzz, 1 第73頁/共92頁742. 極點極點 , )()(1)(0zgzzzfm 10)( zz,)(0mzz 其中關于其中關于的最高冪為的最高冪為即即級極點級極點.0z)(zfm那末孤立奇點那末孤立奇點稱為函數稱為函數的的或寫成或寫成

47、1) 定義定義 0zz 如果洛朗級數中只有有限多個如果洛朗級數中只有有限多個的的負冪項負冪項, 1012020)()()()( zzazzazzazfmm )(010zzaa)0,1( mam第74頁/共92頁75說明說明:1.2.0)(0 zg特點特點: :(1)(2)的極點 , , 則0z)(zf為函數如果如果.)(lim0 zfzz例例5 有理分式函數有理分式函數,)2(23)(2 zzzzf是二級極點是二級極點, , 0 z2 z是一級極點. . 20201)()()(zzazzaazgmmm內是解析函數在 0zz第75頁/共92頁762)極點的判定方法極點的判定方法)(zf的負冪項為

48、有的負冪項為有0zz 的洛朗展開式中含有限項限項. .在點在點 的某去心鄰域內的某去心鄰域內0zmzzzgzf)()()(0 其中其中 在在 的鄰域內解析的鄰域內解析, ,且且 )(zg0z. 0)(0 zg(1) 定義判別定義判別(2) 定義的等價形式判別定義的等價形式判別(3)(3)極限判斷極限判斷 )(lim0zfzz.第76頁/共92頁77本性奇點本性奇點3.如果洛朗級數中如果洛朗級數中含有無窮多個含有無窮多個0zz 那末孤立奇點那末孤立奇點0z稱為稱為)(zf的的本性奇點本性奇點.的負冪項的負冪項,例如，例如，,!1! 211211 nzznzze)0( z含有無窮多個z的負冪項 特

49、點特點: : 在本性奇點的鄰域內在本性奇點的鄰域內)(lim0zfzz不存在且不為為. 同時同時zze10lim不存在不存在. .為本性奇點，所以0 z第77頁/共92頁781. 定義定義如果函數如果函數)(zf在無窮遠點在無窮遠點 z的去心的去心鄰域鄰域 zR內解析內解析, , 則稱點則稱點 為為)(zf的的孤孤立奇點立奇點. .Rxyo第78頁/共92頁79作變換作變換:1zt 并且規定此變換將并且規定此變換將: : tfzf1)(則則映射為映射為 z, 0 t擴充擴充 z 平面平面擴充 t 平面映射為映射為)( nnzz)0(1 nnntzt映射為映射為 zRRt10 映射為映射為),(t 第79頁/共92頁802 結論結論: 在去心鄰域在去心鄰域 zR內對函數內對函數)(zf的研究的研究在去心鄰域在去心鄰域Rt10 內對函數內對函數)(t 的研究的研究Rt10 因為因為 )(t 在去心鄰域在去心鄰域內是解析的內是解析的, ,所以所以0 t是是)(t 的孤立奇點的孤立奇點. .3 規定規定: m級奇點或本性奇點 .)(t 的可去奇點的可去奇點、m級奇點或級奇點或本性奇點本性奇點, ,如果如果 t=0 是是 z是是)(zf的可去奇點、 那末就稱點那末就稱點第80頁/共92頁811)1)不含正冪項不含正冪項; ;