1、數學分析 第二十章 課件 重積分第二十章 重積分數學分析 第二十章 課件 重積分1 1 重積分的概念 分別討論下面幾種情況. 先考慮一個物理問題： 求物體的質量，由于物體的幾何形狀不同，lMl( )x, a bxM( )baMx dx物體為一細棒(直線段):,長度為，則質量為 2) 設質量分布不均勻,設是直線上端點坐標為的不點的(線)密度.那么細棒的質量為1、均勻細棒在1) 若密度分布均勻設數學分析 第二十章 課件 重積分2、物體為一塊平面薄板(看成平面區域) M, D1) 若均勻,則質量,其中分別表示的密度和面積. D( , )x yMDn12,n12,ni( ,)iii iiM( ,)ii

2、i 2) 設不均勻,設薄板對應平面區域,它的(面)密度函數為求薄板的質量:把分成任意塊可求面積的小塊,這些小塊的面積仍記為; 在上任取一點 那么的質量就近似等于( ,)iiiiM DM11( ,)nniiiiiiMM 即,因而的質量近似為 D1lim( ,)niiiiM 易知,對取極限的分法越細 (塊數增多,每小塊面積變少),近似程度越高.數學分析 第二十章 課件 重積分一維 (定積分.細棒): 1max0ii nx 二維若用1max0ii n ？則不能保證( ,)iiiiM i( ,)ii i(一個平面圖形的值作為小塊誤差很大) ，不論它的面積多小都可能有其上的兩點，它的距離很大,從而用一點

3、密度可能如何刻劃 的分法越來越細? D數學分析 第二十章 課件 重積分iS為了保證中的任意兩點的距離任意小,引入平面集合 的直徑 SS( )d s稱中所有兩點間的距離的上確界為的直徑.記為, 即 1212( )sup (,)|,d Sr p ppS pS1maxii nd 0d D01lim( ,)niiidiM 設 ,則便描述了 的分法越分越細.從而的直徑數學分析 第二十章 課件 重積分D( ),f p12,nip1()niiif p設為一幾何體，這個上定義了一個函數將此幾何形體分為若干可度量的小塊它們的度量仍記為此。并令在每一小塊中任取一點，做和式0I( )f p( )f p( )If P

4、 d如果 當時， 的極限存在，且不依賴于分法和點的選取。在上可積，并稱此極限值為在上的積分記為根據的不同形態，進一步給出上積分具體表達式幾名稱： 則稱設 為其極限的直徑p幾何體是可以度量的，在Rieman積分的定義數學分析 第二十章 課件 重積分 , a bDD01( , )lim( ,)niiiiDf x y dxdyf 是一個區間是一塊可求面積的平面區域,那么,那么上述積分就是定積分.若1、2、 若上的積分就稱為 二重積分, 在直角坐標下即D二重積分的幾何解釋:以 為底,以曲面( , )zf x y曲頂柱體的體積 為頂的 稱為面積微元dxdy( , )Df x y d( , )Df x y

5、 dxdy記為或數學分析 第二十章 課件 重積分V( , , )f x y zV( , , )Vf x y z dV( , , )Vf x y z dxdydz是一塊可求體積的 立體 ，那么在上的積分稱為三重積分,記為 或3、若LL( , , )Lf x y z ds4、若是一條可求長的空間曲線段 ,那么第一類曲線積分,記為上的積分就稱為SS( , , )Sf x y z dS5、若 是一可求面積的曲面,那么上的積分就稱為第一類曲面積分,記為數學分析 第二十章 課件 重積分( , )1,f x y (DdxdyD的面積）DD12,D D12DDD12,D D( )f pD( )f p12,D

6、D12( )( )( )DDDf p df p df p d 1) 被積函數2) (線性) 3) (可加性) 若由組成: ,且除邊界外不相交,在充要條件是在均可積則二重積分的基本性質且 可積的數學分析 第二十章 課件 重積分( )( )DDf p df p d5) 6) (積分中值定理)設 是有界閉區域（因而是連通的）， 在0P( , )f x y上連續，則存在 ，使得 D0() ()Dfp dfp D DD 4) (單調性) 若與都在 可積，且在的每點fgD( )( )f pg p( )( )DDf p dg p d都有，則P數學分析 第二十章 課件 重積分D( , )f x y 定理1.

7、函數 在有界閉區域 上連續二重積分的性質（補充）D則 在 上可積. ( , )f x yD 定理2. 函數 在有界閉區域 上可積( , )f x y( , )f x y則 在 上有界 . D 定理3.函數 在有界閉區域 上有界，且y( )f P間斷點只分布在有限條光滑曲線上，則 在 上可積. 10sinxxyIdxdyy x數學分析 第二十章 課件 重積分復習 1) 曲邊梯形的面積: ( )dcAf y dy2) 已知截面面積的立體體積: ( )baVA x dx 2 重積分化累次積分 1. 二重積分化累次積分數學分析 第二十章 課件 重積分00()(, )dcA xf xy dy( )( ,

8、 )dcA xf x y dy( )baVA x dx( , )bdacdxf x y dy( , )DVf x y dxdyNoImage又 從而有數學分析 第二十章 課件 重積分( , )( , )bdacDf x y dxdydxf x y dy( , )f x y , Da b , c d , a b若在矩形區域上可積,并且對( )( , )dcA xf x y dy上的任何x含參變量積分 存在,則 推論1 ( , )( , )bdacDf x y dxdydxf x y dy( , )dbcadyf x y dx( , )f x y0,1D 0,1設 在上連續,則定理 20.1數學分

9、析 第二十章 課件 重積分例例1. 1. 2()Dx xydxdy0,1D 0,1計算,其中解解: 2()Dx xydxdy11200()xdxxydy13011()03x xydx13301(1) 3x xxdx1201(331)3xxxdx43211 3103 42xxx112 數學分析 第二十章 課件 重積分矩形區域簡單區域一般區域 下面:簡單區域: 區域的邊界與平行于某一坐標軸()xy軸或 軸至多兩點,或有部分邊界是平行于坐標軸的. 的直線相交12( , )|,( )( )Dx yaxb y xyyx12( , )|,( )( )Dx ycyd x yxxy 用不等式表示: 或數學分析

10、 第二十章 課件 重積分定理 20.2定理定理20.220.2 (簡單區域) 兩種情形 21( )( )( , )( , )dxycxyDf x y dxdydyf x y dx224Dxyd x d y (1) (2) 數學分析 第二十章 課件 重積分例例2. 2. D0 ,1 ,yxyxy求 ,其中是圍成 解解: : 做出的圖形 (強調) D 0 ,1 x 0yxD0yx01xzxy122220044xDxy dxdydxxy dy16002 cos 2 sindxxt xtdt D1226004cosx dxtdt360141cos2032txdt411s in 263240tt1333

11、2平行于 軸的直線去截,則對每一,有故可表示為: ,因此 對內層定積分做變量代換，則 數學分析 第二十章 課件 重積分空間區域如圖20-9所示,它在D面上的投影1xy 由0,0 xyy所圍成(圖20-10).用平行于D軸的直線去截 0 ,1 x 則對每一個01yx ,有D.因此0 1,y x 可表示為01x,故體積11cos(cossin )00yyyy 1201(1)02xxxyydx1301(1)(1)2xxxdx2341111(1)0238xxx724(,)DI fxy d x d y 解: 例例3. 3.2 sinyxt1xy0,0 xyOx y求由 圍成的區域的體積 數學分析 第二十

12、章 課件 重積分例例4. 4. 3yx用兩種積分的不同順序將二重積分 D化為累次積分,其中30 ,y yx由2xy圍成. 兩曲線2x y 和(1 , 1 )的交點為y.考慮先對y的積分.用平行于D軸的直線去截 0 ,1 x ,當30yx時有1,2x當02yx 時有D.這樣1D可分為兩部分2D和2222:,4 ,4D y x y x x y x y 其中 2:01,Dyx 01y12x( ,)Dfx y dxdy因此 3100( , )xdxf x ydy 2210( , )xdxf x y dyx在考慮先對x積分.用平行于D軸的直線去截 0 ,1 y ,則對每一132yxy有D,故0 1 ;x

13、 又可表示為,0,x yJu vu v13120(, )(, )yyDf xyd x d y d yf xyd x 因此 (,)fxy解解: : 數學分析 第二十章 課件 重積分例例5 5.計算積分 D這個累次積分是先對x積分,再對sin yy積分.而D 根據積分限知,將上述積分表示為二重積分時,xy x為01xD即,yxyx由曲線0 ,x的原函數不能用初等函數表示. 因此按上述順序進行累次積分是行不通的.為此考慮改變積分順序.1x 和D圍成.作出x的圖形如圖20-12.用平行于D直線去截 0 ,1 y ,對每一2yxy,有10sinxxyIdxdyy,于是有 軸的積分區域數學分析 第二十章

14、課件 重積分計算量（繁，簡）能否積出來( , , )Vf x y z dxdydz1100sinsinydyyydx210sinyyydydxy數學分析 第二十章 課件 重積分總結 1、由例4,例5 看出,將二重積分化為累次積分時,積分次序對計算是有影響的 。120sin()yyy dyy2、步驟：1)作出的圖形 2) (根據被積函數及積分區域)確定積分順序.即決定對哪一個變量先積分 3) 確定累次積分的積分限 (原則:利用圖形,后積分的變量先定限) 數學分析 第二十章 課件 重積分 V (1) , , ,a b c d e f是長方體,xuvyuvOy z dd,Dx yxy , , ( ,

15、 , )fea bc ddxdyf x y z dzV2. 三重積分化為累次積分(三次積分)可由質量來解釋一下：對于固定 與長方體截面的質量（小薄片）所有小薄片的質量連續累加,(,)bac de fd x fx y z d y d z 數學分析 第二十章 課件 重積分（2）設ze 介于平面zf和, z e f之間。對每一個O x y用平行于Z z的平面V去截立體zD的截面( ,) ( ,)zfeVDfx y z d x d y d zd zfx y z d x d y ，則有zD一般z依賴于zD，若O xy可表示為（投影到yexeyxdd22面） zD12( , )( , )x y zx x

16、y z (,)Vfxyzd x d y d z則2211( )( , )( )( , )(, , )fy zx yzey zx yzd zd yf xyzd x zD若:D z表示為12()()xyxxy12( , )( , )y x zyy x z 20d42xex則 ( , , )Vf x y z dxdydz V數學分析 第二十章 課件 重積分3）設O xy在xyD面的投影z是簡單區域，且平行于xyD軸且通過V的內點的直線與:xyD的邊界相交至多兩點見圖20-16：12()()a x by z y y z ( , , )Vf x yzdxdydz則 2212( )( , )( )( ,

17、)(, , )by xz xyay xz xyd xd yf xyzd z V也可以把, ,S Ju v d u d v 投影到(,)b d fa c ed xd yfxyzd z面或Oxz面.得到類似的公式 設 數學分析 第二十章 課件 重積分例6 ：計算 V其中0 , 0 xy由0,1zx y z )1 (limd42220aaxexe圍成 解解: : 區域3( 1 )Vd x d y d zIxyz 在0 , 0 ,x y 平面的投影由1xyV圍成,這時區域0z的底為1zx y,頂為130(1)x yDdzIdxdyx y z .因此 111300(1)xx yodzdxdyxyz 11

18、201102(1)xoxydxdyxyz 11201112(1)4xodxdyxy1011102(1)4xydxxy10113214xdxx2111(3)ln(1)0028xx15ln 228222()VIx y zd x d y d z 數學分析 第二十章 課件 重積分例7. 求V,其中2 2 22 2 21 .x y zabc是橢球體,zc c 解：顯然，對于每一O x y用平行于Z z面的平面:zD去截橢球體，得一橢圓面 222222221 ,11xyzzabcc 22222222111.zzzaba bccc 數學分析 第二十章 課件 重積分 它的面積為 222.VVVIxdxdydz

19、ydxdydzzdxdydz 顯然22.zccVDzd x d y d zzd zd x d y 由前面的公式有zzDd x d yD 根據二重積分的幾何意義知，22221ccVzzd x d y d z z a bd zc的面積。因此24320142.15cabzz dzabcc2341 5Vyd x d y d za b c 由橢球體的對稱性易見22d d ,xyDex y于是5x2222224.1 5VIx y zd x d y d za b ca b c 數學分析 第二十章 課件 重積分在上例的求解過程中，我們用到了以下一些技巧，使計算大大簡化了。 1、利用積分域的對稱性和被積函數的對

20、稱性，只需計算三項積分中的一項 2、我們選擇了最后對積分， 即22zccVDz dxdydzz dzdxdy是因為一方面被積函數僅是的函數而不依賴于y和zDdxdy另一方面234;1 5Vxd x d y d zab c總之在求重積分時，應同時兼顧到積分域和被積函數的特點，合理地選擇積分次序，盡可能簡化計算。 的值可利用二重積分的幾何意義直接得到。數學分析 第二十章 課件 重積分 引理1設是內的一個正方形，左下方頂點為 , ,Dfx y d x d yfu v u v J u v d u d v ( ,)( ( ,) ,( ,) ,( ,) )F u v w fx u v w y u v w

21、z u v w邊長為h，經T映為D內的一個曲邊四邊形，記為S，則S的面積,3 重積分的變量代換1z h(h)數學分析 第二十章 課件 重積分定理20.3設變換T:(, ,)Vfxyzd x d y d z把Ouv平面上由逐段光滑的閉曲線圍成的區域 , ,Dfx y d x d yfu v u v J u v d u d v 一一映射為Oxy平面的區域D，且V在 , ,Dfx y d x d yfu v u v J u v d u d v 有二階連續偏導數，(,)(,)(,)xxuvwyyuvwzzuvw,當cos,0sin,02,xrryrzzz 而, u v 是定義在D上的連續函數，則00,

22、uv數學分析 第二十章 課件 重積分例例1. 計算:1 4 ,1 4 ,D u v 其中31: 0,Dyx解解: 作變換175dddd,34Dxy x yuv uvu vx y,1,10 ,3xyuvJuvxyuv 221:,yxTuvxy22zxy則則數學分析 第二十章 課件 重積分例例2. 計算.:222ayxD其中) () (,) , (21xyyxybxay xD解解: 在極坐標系下sincosrzryxx)1 (2ae2xedd rr原式re rard02are0221220d), , ( z yx故2re的原函數不是初等函數 , 故本題無法用直角由于坐標計算.數學分析 第二十章 課

23、件 重積分注注:利用例2可得到一個在概率論與數理統計及工程上非常有用的反常積分公式2d02xex事實上, 當D 為 R2 時,22d dxyDex y12( )( )y zyyz2211()(,)()(,)(, , )fx zy xzex zy xzd zd xf xyzd y 利用例6的結果, 得Oxyx故式成立 .數學分析 第二十章 課件 重積分作極坐標變換O xy則之上，由圓柱面 截出的空間立體的體積。 22() dd,DVxyxy例例4. 計算在旋轉拋物面 之下，平面0z 222 (,) () D x yxaya cos,sinxryr解解: 記平面區域222()xaya2120042

24、13abcVd crabrdr4442038c o s2ada32222()Vzd x d y d zxyz2 cos223202()d daDVxyx ydrdr數學分析 第二十章 課件 重積分例例5. 計算橢球體 的體積 。cos,sinxarybr作廣義極坐標變換:02 ,01 ,Dr 則222221d d ,DxyVcx yab解解:2222221xyzabc(,)(,)xyJabrr:, 02 cos ,22Dra ( , ),( , )x yJ u vu v數學分析 第二十章 課件 重積分2. 三重積分的變量代換三重積分變量代換公式公式: 令令:D對應雅可比行列式為),(),(wv

25、uzyxJ13:2,Dyxy ,c o s ,s i n ,Vfx y z d x d y d zfrrz r d r d d z 其中數學分析 第二十章 課件 重積分（1）柱坐標變換co ssin 0, , ,sinco s0, ,001rxyzJr zrrr z這時c o ss in,0s ins in,02c o s,0 xrryrzr 因此變量代換公式為,fxy數學分析 第二十章 課件 重積分例例6. 求積分 2222( , )1,xyDx yab作柱坐標變換則解解:其中 是 與 及 圍成2 21xy 3co ssin,0co ssinsin,02co s,02xrrayrzrc o

26、s,01s i n,02,xrryrzzrzh2220 xyz(z)V222 2()(0)xyzaz a2133002222222()()hrVzzd zd x d y d zd rd rx y zr z 數學分析 第二十章 課件 重積分（2）球坐標變換2, , , ,cos sinsin sincos cossin sincos sinsin cossincos0sinx y zJ rrrrrrrr 220122lim1,1,nxiiyiiiixyDSffDfx yfx y dxdy 這時221,c o sxyd x d yd Sfxyfxyd x d y因此變量代換公式為數學分析 第二十章

27、 課件 重積分例例7. 求 所圍區域的體積 作球坐標變換則解解:212 (1)2hh ( ,)( ,)bdacDfx y dxdydxfx y dy32cos22000sin3aVaVdxdydzddrdr數學分析 第二十章 課件 重積分4 曲面積分曲面積分曲面S的面積是D上的一個二重積分，記為 2,c o ss i n,s i ns i n,c o s s i nVfx y zd x d y d z frr r r d r d d 面積元為數學分析 第二十章 課件 重積分5 重積分的物理應用重積分的物理應用 1 質心設物體占有空間域 , ),(kkk有連續密度函數則 將 分成 n 小塊,),

28、(kkk將第 k 塊看作質量集中于點nkkkkknkkkkkkvvx11),(),(例如, 0系的質心坐標就近似該物體的質心坐標.的質點, 此質點在第 k 塊上任取一點數學分析 第二十章 課件 重積分質心mass，centre of質量中心或稱質心，指物質系統上被認為質量集中于此的一個假想點。與重心不同的是，質心不一定要在有重力場的系統中。值得注意的是，除非重力場是均勻的，否則同一物質系統的質心與重心不通常在同一假想點上。數學分析 第二十章 課件 重積分令各小區域的最大直徑zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),(zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),(即得同理可得zyx

29、zyxzyxzyxzzddd),(ddd),(,) , , (常數時當z yx數學分析 第二十章 課件 重積分,dddVzyxxx則得質心坐標：,dddVzyxyyVzyxzzddd的體積為 zyxVddd,),(yx為數學分析 第二十章 課件 重積分若物體為占有xoy 面上區域 D 的平面薄片,yxyxyxyxxxDDdd),(dd),(yxyxyxyxyyDDdd),(dd),(,常數時,ddAyxxxDAyxyyDddMMy(A 為 D 的面積)得D 的質心坐標:則它的質心坐標為MMxxM其面密度 yM. ) , , ( z y x 對 x 軸的 靜力矩 對 y 軸的 靜力矩數學分析 第

30、二十章 課件 重積分 2 轉動慣量設物體占有空間區域 , 有連續分布的密度函數vzyxyxd ), ()(22該物體位于(x , y , z) 處的微元 zyxzyxyxIzddd),()(22因此物體 對 z 軸 的轉動慣量:zIdyz y x z y xIxd d d ) , , ( ) (1y xx 2RzD1對 z 軸的轉動慣量為 因質點系的轉動慣量等于各質點的轉動慣量之和, 故 連續體的轉動慣量可用積分計算. 數學分析 第二十章 課件 重積分類似可得:zyxzyxIyddd),( zyxzyxIoddd),( )(22zy)(22zx )(222zyxDyxyx), (), (對 x

31、 軸的轉動慣量對 y 軸的轉動慣量對原點的轉動慣量數學分析 第二十章 課件 重積分如果物體是平面薄片,面密度為DxyxyxIdd),( DoyxyxIdd),( x則轉動慣量的表達式是二重積分.Dyo2y2x)(22yxDyyxyxIdd ) , ( 222zyxr數學分析 第二十章 課件 重積分 3 引力，連續),(zyx G 為引力常數設物體占有空間區域 ,vrxzyxGFxd),(d3物體對位于原點的單位質量質點的引力利用微元法,vryzyxGFyd),(d3vrzzyxGFzd),(d3r在上積分即得各引力分量:其密度函數vdzD1yFd) (1y xx ), , (zyxFFFF 引

32、力元素在三坐標軸上的投影分別為vrxzyxGFxd),(3數學分析 第二十章 課件 重積分vryzyxGFyd),(3vrzzyxGFzd),(3,d),(3DxxyxGF對 xoy 面上的平面薄片D ,它對原點處的單位質量質點的引力分量為DyyyxGFd),(3)(22yx 數學分析 第二十章 課件 重積分內容小結(1) 二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形直角坐標系情形 : : 若積分區域為)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf)()(,), (21yxxyxdycyxD 若積分區域為xy) (1y xx Ddc) (2yxx )(1xyy )(2xyy by)

33、(1y xx az y xdddd數學分析 第二十章 課件 重積分z ddddddsin2rr*ddd) , , (ddd ) , , (wvuJwvuFzyxz yxf積分區域多由坐標面被積函數形式簡潔, 或坐標系 體積元素 適用情況直角坐標系柱面坐標系球面坐標系變量可分離.圍成 ;數學分析 第二十章 課件 重積分習題,d222DyxRcos0Rr 22cos022dRrrRr原式2033d)sin1(32R)34(313R22dx Ryx 22解:利用極坐標其中D 為周圓區域所圍成的閉區域.計算二重積分數學分析 第二十章 課件 重積分z y x z y x fd d d ) , , (22

34、2,xyyxz化為三次積分,其中由曲面0,1zy:提示提示: : 積分域為220d ),(yxzzyxf原式220yxz 及平面12 yx11 x12dxy11dxx所圍成的閉區域 .z) (1y xx zD1.把積分數學分析 第二十章 課件 重積分zD22222Rz yx zRzyx2222及,ddd2zyxzzDyx1dd其中是兩個球 提示提示: : 由于被積函數缺 x , y ,原式 =zzz RzRd )2 (2022zzRd202zDyx2ddzzRRd22zzRzRRd )(2222548059RRozD1) (1y xx y2R, d ) (22v z y.計算積分數學分析 第二

35、十章 課件 重積分xy22其中是由xoy 平面上曲線,200:arD所圍成的閉區域 .提示提示: : 利用柱坐標522drx原式5221 xr繞x軸旋轉而成的曲面與平面100r20rrd100320d3250:ozD1y) (1y xx 5, d d )(2 22y xe y x xIy xD.計算三重積分z數學分析 第二十章 課件 重積分.計算積分,22xy其中D 由12, 4 yxyxxy22所圍成 .提示提示: :如圖所示4246y5x, 12DDD 內有定義且在2) , (Dyxy x fDyxd)(2d)(Dyx1d)(Dyxyyxyx1222d)(連續, 所以46d yyyxyx422d)(24d y15115431D2DD1, 1, xy x y數學分析 第二十章 課件 重積分補充題例例1. 1. 計算二重積分;122yx(1) D為圓域Ddyx,)(2) D由直線1解解: : (1) 利用對稱性.x5, 12DDD Dyx