1、線性代數練習題答案第一章 行列式1.計算下列三階行列式：（1）；（2）； （3）； （4）；（5）；（6）；（7）,其中對角線上元素都是，未寫出的元素都是0；解 （1）=（2）（3）（范德蒙行列式公式）（4）12 （范德蒙行列式公式）(5)=0(6) =（7）()2.（1）設，求 （2）設，求解：（1）= （2）=第二章 矩陣一 1. 4， -42. 3. -1, 4. 二 A B D D三1. 解：先化簡 從而 而 可逆 所以 2.（1），(2) 3. 證明：由兩邊同時加上得 ，要據矩陣乘法及加法的性質得 。根據可逆矩陣的定義知，可逆，且4. 解：當時，所以R(A)=3當時，另外顯然有A的二

2、階子式不為零，所有R(A)=25解：6 解: 7. 解：第3章 線性方程組1非齊次線性方程組當取何值時有解？并求出它的解解方程組有解，須得當時,方程組解為當時,方程組解為2 已知 試討論向量組，以及，的線性相關性。解 可見，向量組線性相關；而向量組線性無關。3 設矩陣，求矩陣A的列向量組的一個最大線性無關組，并把不屬于最大線性無關組的列向量用最大線性無關組線性表示。解 事實上 ，而由行最簡形矩陣 4 求齊次線性方程組的基礎解系和通解。解 第一步，得同解方程組第二步，第三步，5 求解非齊次線性方程組解 第一步， 第二步， 得第三步， ，取得到基礎解系為第四步，原非齊次線性方程組的通解為 即第四章

3、 1 計算矩陣的特征值與特征向量解：因為方陣A的特征多項式為所以A的特征值為，。當時，代入特征方程組，由得基礎解系，因此，屬于的全部特征向量為。當時，代入特征方程組，由得基礎解系，因此，屬于的全部特征向量為。2 已知三階矩陣A的3個特征值分別為1, -1, 2，矩陣，求B的特征值，并求出行列式的值。解：因為，所以B的特征值為。將矩陣A的3個特征值分別為1, -1, 2分別代入得B的三個特征值：-4, -6，-12.從而。3 設三階方陣A的三個特征值為，對應的特征向量分別為，求。解：根據題意知A能對角化，故根據矩陣對角化的性質有：，其中。所以有，。所以，又因為，所以4 判斷下列矩陣是否與對角陣相

4、似。若與對角陣相似，求一個可逆矩陣P，使為對角矩陣。（1）（2）解：（1）由求解得（二重）。將代入特征方程組得：，其系數矩陣為因為，所以不能與對角陣相似。（2）由求解得三個不同的，所以可以與對角陣相似。將代入特征方程組得，解為：，（）；將代入特征方程組得，解為：，（）；將代入特征方程組得，解為：，（）。故得使5設A為n階方陣且，試證明A的特征值為1或-1證明：設為A的任一特征值，則為的特征值，而的全部特征值全為1，所以，解得或，故A的特征值為1或-1.6設方陣與相似，求x, y.解：由兩個矩陣相似可得，即。求解得7. 教材Ex4(3)第五章 二次型1. 寫出二次型的矩陣表示式, 并求其秩。解：二次型的矩陣表示式為.因為二次型的矩陣的秩為3, 故二次型的秩為3.2. 求一正交變換將二次型化成標準型, 其中。解: 二次型對應的矩陣解得的特征值將代入特征方程得得方程組 基礎解系 單位化得將代入特征方程得得方程