1、課程設(shè)計(jì)報(bào)告設(shè)計(jì)題目： 高斯-賽德?tīng)柕ǚ抡?學(xué) 院： 電子工程學(xué)院 專 業(yè)： 班 級(jí)： 學(xué) 號(hào)： 姓 名： 電子郵件： 日 期： 成 績(jī)： 指導(dǎo)教師： 西 安 電 子 科 技 大 學(xué)電 子 工 程 學(xué) 院課 程 設(shè) 計(jì) 任 務(wù) 書(shū)學(xué)生姓名 指導(dǎo)教師 職稱 學(xué)生學(xué)號(hào) 專業(yè) 題目 高斯-賽德?tīng)柕ǚ抡?任務(wù)與要求：開(kāi)始日期 完成日期 課程設(shè)計(jì)所在單位 高斯-賽德?tīng)柕ǚ抡嬷形恼?大型線性方程組的求解是大規(guī)模科學(xué)與工程計(jì)算的核心。隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展，迭代法已取代直接法成為求解大型線性方程組的最重要的一類(lèi)方法。而判斷迭代法好壞的標(biāo)準(zhǔn)通常是通過(guò)迭代法的收斂速度刻畫(huà)的，從而迭代法的收斂速度成為

2、一個(gè)很重要的問(wèn)題，因此我們應(yīng)該找收斂速度比較快的迭代方法，這樣才有實(shí)際價(jià)值。因此，本文就通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，求線性方程組的近似解時(shí)，高斯-賽德?tīng)柕ǖ氖諗克俣缺妊趴杀鹊ǖ氖諗克俣纫煲恍?. 引言隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，生產(chǎn)實(shí)際中出現(xiàn)了大量的大型稀疏線性代數(shù)方程組，同時(shí)，用差分方法逼近微分方程的過(guò)程中，也需要求解這類(lèi)線性方程組。因而，研究大型稀疏線性方程組的解法成了人們所關(guān)注的焦點(diǎn)。由于迭代法能夠充分利用矩陣的稀疏性，從而節(jié)省存儲(chǔ)單元，因而它是解大型稀疏線性代數(shù)方程組的比較實(shí)用的方法之一。眾所周知，構(gòu)造一個(gè)迭代法，它的收斂性和收斂速度是一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題，不收斂的格式自然不能用，而收斂滿的方法同樣

3、由于其費(fèi)時(shí)且不一定能得出結(jié)果使得人們無(wú)法使用，這樣在實(shí)際使用迭代法求解問(wèn)題時(shí)就必須尋求收斂性好且收斂速度較快的方法。20世紀(jì)50年代是用數(shù)字計(jì)算機(jī)求解電力系統(tǒng)潮流問(wèn)題的開(kāi)始階段，人們普遍采用以節(jié)點(diǎn)導(dǎo)納矩陣為基礎(chǔ)的高斯-賽德?tīng)柕ā＿@個(gè)方法的原理比較簡(jiǎn)單，要求的數(shù)字計(jì)算機(jī)的內(nèi)存量也比較小，適應(yīng)當(dāng)時(shí)的電子數(shù)字計(jì)算機(jī)制作水平和電力系統(tǒng)理論水平。高斯-賽德?tīng)柍绷饔?jì)算法在牛頓法以及各種解耦法出現(xiàn)以后似乎成了一種邊緣性的方法。但是此方法原理簡(jiǎn)單, 編程實(shí)現(xiàn)容易, 特別是對(duì)于配網(wǎng)潮流有其獨(dú)特優(yōu)勢(shì)。 2. 算法：高斯-賽德?tīng)柕?.1 算法理論或者思想雅克比迭代法基本思想為對(duì)于給定的線性方程組Ax=b，可

4、以用不同的方法把它變?yōu)榕c之等價(jià)的行為：x=Bx+f的方程組。選定初值，在反復(fù)的迭代中校正方程組根的近似值，并在此過(guò)程中求取符合計(jì)算精度要求的方程組近似值。高斯-賽德?tīng)柕ǖ幕舅枷敫趴吮鹊ㄏ嗨啤Ｖ皇窃谘趴吮鹊ㄖ校看蔚鷷r(shí)只用到上次的值，而高斯-賽德?tīng)柕ǔ浞掷昧俗钚碌玫降闹?.2 算法描述（1）雅可比迭代法設(shè)線性方程組 (1)的系數(shù)矩陣A可逆且主對(duì)角元素均不為零,令 并將A分解成 (2)從而(1)可寫(xiě)成 令 其中. (3)以為迭代矩陣的迭代法(公式) (4)稱為雅可比(Jacobi)迭代法(公式),用向量的分量來(lái)表示,(4)為 (5)其中為初始向量.由此看出,雅可比迭代法公式

5、簡(jiǎn)單,每迭代一次只需計(jì)算一次矩陣和向量的乘法.在電算時(shí)需要兩組存儲(chǔ)單元,以存放及.（2）高斯-賽德?tīng)柕ㄓ裳趴杀鹊娇芍?在迭代的每一步計(jì)算過(guò)程中是用的全部分量來(lái)計(jì)算的所有分量,顯然在計(jì)算第i個(gè)分量時(shí),已經(jīng)計(jì)算出的最新分量沒(méi)有被利用，從直觀上看,最新計(jì)算出的分量可能比舊的分量要好些.因此，對(duì)這些最新計(jì)算出來(lái)的第次近似的分量加以利用,就得到所謂解方程組的高斯塞德（Gauss-Seidel）迭代法.把矩陣A分解成 (6) 其中,分別為的主對(duì)角元除外的下三角和上三角部分,于是,方程組(1)便可以寫(xiě)成 即其中 (7)以為迭代矩陣構(gòu)成的迭代法(公式) (8)稱為高斯塞德?tīng)柕?公式),用 量表示

6、的形式為 (9)由此看出,高斯塞德?tīng)柕ǖ囊粋€(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn)是,在電算時(shí),只需一組存儲(chǔ)單元(計(jì)算出后不再使用,所以用沖掉,以便存放近似解.2.3 算法的時(shí)間復(fù)雜度由以下程序可以得出此算法的時(shí)間復(fù)雜度為O（n）2.4 算法的優(yōu)缺點(diǎn)高斯-賽德?tīng)柕ǖ脑肀容^簡(jiǎn)單，要求的數(shù)字計(jì)算機(jī)的內(nèi)存量也比較小，適應(yīng)當(dāng)時(shí)的電子數(shù)字計(jì)算機(jī)制作水平和電力系統(tǒng)理論水平。但是高斯-賽德?tīng)柍绷魉惴ǖ囊灿兄渲旅秉c(diǎn)那就是收斂速度比較慢，尤其是隨著電力系統(tǒng)的發(fā)展，網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點(diǎn)增多，這個(gè)問(wèn)題將會(huì)更加突出。當(dāng)前高斯-賽德?tīng)栔皇亲鳛樘峁┏踔档囊环N方法而被使用。先用高斯-賽德?tīng)柗ㄟM(jìn)行1-2次迭代，然后再進(jìn)入牛頓-拉夫遜法的迭代過(guò)程。

7、這樣可以充分利用這兩種方法各自的優(yōu)點(diǎn)來(lái)克服兩者各自的缺點(diǎn)。通過(guò)在系統(tǒng)中采用這種方法使系統(tǒng)有了一定的穩(wěn)健性，能夠針對(duì)各種不同的網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行潮流計(jì)算。3. 代碼（1）實(shí)驗(yàn)?zāi)康呐c要求：對(duì)于線性方程組1. 用高斯-賽德?tīng)柕ㄇ蟠朔匠探M的近似解（終止迭代過(guò)程的最大允許迭代次數(shù)N，近似解的誤差限eps，均由用戶設(shè)定）；2. 通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)說(shuō)明，求此線性方程組的近似解時(shí)，高斯-賽德?tīng)柕ǖ氖諗克俣缺妊趴杀鹊ǖ氖諗克俣纫煲恍＃ㄓ猛瑯泳纫蟮臈l件來(lái)比較迭代次數(shù)）（2）實(shí)驗(yàn)源程序代碼：運(yùn)用MATLAB軟件編輯M文件如下：function EX()a=input('請(qǐng)輸入系數(shù)矩陣a：');b

8、=input('請(qǐng)輸入矩陣b:');N=input('請(qǐng)輸入最大迭代次數(shù)N：');esp=input('請(qǐng)輸入近似解的誤差限：');if any(diag(a)=0 error('系數(shù)矩陣錯(cuò)誤，迭代終止！')endD=diag(diag(a);X0=zeros(size(b);x1=0;x2=0;x3=0;X1=x1;x2;x3;h=inv(D)*b;B=inv(D)*(D-a);B1=triu(B);B2=tril(B);k=1;fprintf('高斯-賽德?tīng)柕?n');fprintf('第0次迭代得

9、：')disp(X1');while k<=N x1=h(1,1)+B1(1,:)*X0; X1=x1;x2;x3; x2=h(2,1)+B1(2,:)*X0+B2(2,:)*X1; X1=x1;x2;x3; x3=h(3,1)+B2(3,:)*X1; X1=x1;x2;x3; if norm(X1-X0,inf)<esp fprintf('已滿足誤差限。 ') break ; end X0=X1; fprintf('第%2d次迭代得：',k) disp(X1'); k=k+1; endfprintf('滿足誤差限的高

10、斯-賽德?tīng)柕平鉃椋?#39;)disp(X1');fprintf('雅可比迭代法 ');t=0;Y0=zeros(size(b);while t<=N Y1=h+B*Y0; if norm(Y1-Y0,inf)<esp fprintf('滿足誤差限 n') break ; end Y0=Y1; fprintf('第%2d次迭代得：',t) disp(Y1'); t=t+1; endfprintf('滿足誤差限的雅可比迭代近似解為：')disp(Y1');fprintf('用高斯-賽德?tīng)柕ǖ螖?shù)為 %d次n用高斯-賽德?tīng)柕ǖ螖?shù)為%d次n',k-1,t