1、水桶的外表、臺燈的罩子面等水桶的外表、臺燈的罩子面等曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面在空間解析幾何中被看成是點的幾何軌跡曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關關系系：（1 1） 曲曲面面S上上任任一一點點的的坐坐標標都都滿滿足足方方程程；（2 2）不不在在曲曲面面S上上的的點點的的坐坐標標都都不不滿滿足足方方程程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形曲面的實例：曲面的實例：一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念以下給出幾例常見的曲面以下給出

2、幾例常見的曲面.例例 1 1 建建立立球球心心在在點點),(0000zyxM、半半徑徑為為R的的球球面面方方程程.解解設設),(zyxM是是球球面面上上任任一一點點，RMM |0根據題意有根據題意有 Rzzyyxx 202020 2202020Rzzyyxx 所求方程為所求方程為特殊地：球心在原點時方程為特殊地：球心在原點時方程為2222Rzyx 例例 2 2 求與原點求與原點O及及)4 , 3 , 2(0M的距離之比為的距離之比為2:1的的點的全體所組成的曲面方程點的全體所組成的曲面方程.解解設設),(zyxM是是曲曲面面上上任任一一點點，,21|0 MMMO根據題意有根據題意有 ,2143

3、2222222 zyxzyx .911634132222 zyx所求方程為所求方程為例例 3 3 已已知知)3 , 2 , 1(A，)4 , 1, 2( B，求求線線段段AB的的垂垂直直平平分分面面的的方方程程.設設),(zyxM是是所所求求平平面面上上任任一一點點，根據題意有根據題意有|,|MBMA 222321 zyx ,412222 zyx化簡得所求方程化簡得所求方程. 07262 zyx解解zxyo例例4 4 方程方程 的圖形是怎樣的？的圖形是怎樣的？1)2()1(22 yxz根據題意有根據題意有1 z用用平平面面cz 去去截截圖圖形形得得圓圓：)1(1)2()1(22 ccyx 當當

4、平平面面cz 上上下下移移動動時時，得得到到一一系系列列圓圓圓心在圓心在), 2 , 1(c，半徑為，半徑為c 1半徑隨半徑隨c的增大而增大的增大而增大.圖形上不封頂，下封底圖形上不封頂，下封底解解c以上幾例闡明研討空間曲面有兩個根本問題：以上幾例闡明研討空間曲面有兩個根本問題：2 2知坐標間的關系式，研討曲面外形知坐標間的關系式，研討曲面外形討論旋轉曲面討論旋轉曲面討論柱面、二次曲面討論柱面、二次曲面1 1知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的

5、曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸播放播放xozy0),( zyf), 0(111zyM M),(zyxM設設1)1(zz （2）點點M到到z軸軸的的距距離離|122yyxd 旋轉過程中的特征：旋轉過程中的特征：如圖如圖將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyfd將將 代入代入2211,yxyzz 0),(11 zyf , 0,22 zyxfyoz坐坐標標面面上上的的已已知知曲曲線線0),( zyf繞繞z軸軸旋旋轉轉一一周周的的旋旋轉轉曲曲面面方方程程.得方程得方程同理：同理：yoz坐標面上的已知曲線坐標面上的已知曲線0)

6、,( zyf繞繞y軸旋轉一周的軸旋轉一周的旋轉曲面方程旋轉曲面方程為為 . 0,22 zxyf例例 5 5 直線直線L繞另一條與繞另一條與L相交的直線旋轉一周，相交的直線旋轉一周，所得旋轉曲面叫所得旋轉曲面叫圓錐面圓錐面兩直線的交點叫圓錐面的兩直線的交點叫圓錐面的頂點頂點，兩直線的夾角，兩直線的夾角 20叫圓錐面的叫圓錐面的半頂半頂角角試建立頂點在坐標原點，旋轉軸為試建立頂點在坐標原點，旋轉軸為z軸，半頂軸，半頂角為角為 的圓錐面方程的圓錐面方程xozy解解 yoz面面上上直直線線方方程程為為 cotyz ), 0(111zyM ),(zyxM圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz oxzy

7、例例6 6 將以下各曲線繞對應的軸旋轉一周，將以下各曲線繞對應的軸旋轉一周，求生成的旋轉曲面的方程求生成的旋轉曲面的方程（1）雙雙曲曲線線12222 czax分分別別繞繞x軸軸和和z軸軸；繞繞x軸軸旋旋轉轉繞繞z軸旋轉軸旋轉122222 czyax122222 czayx旋轉雙曲面旋轉雙曲面（2）橢橢圓圓 012222xczay繞繞y軸軸和和z軸軸；繞繞y軸軸旋旋轉轉繞繞z軸旋轉軸旋轉122222 czxay122222 czayx旋轉橢球面旋轉橢球面（3）拋拋物物線線 022xpzy繞繞z軸軸；pzyx222 旋轉拋物面旋轉拋物面播放播放定義定義三、柱面三、柱面察看柱面的構察看柱面的構成過程

8、成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 挪動的直線挪動的直線 所構成的曲面稱為柱面所構成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CL柱面舉例柱面舉例xozyxozyxy22 拋物柱面拋物柱面xy 平面平面從柱面方程看柱面的特征：從柱面方程看柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標標系系中中表表示示母母線線平平行行于于z軸軸的的柱柱面面，其其準準線線為為xoy面面上上曲曲線線C.其他類推其他類推實實 例例12222 czby橢圓柱面橢圓柱面 / 軸軸x12

9、222 byax雙曲柱面雙曲柱面 / 軸軸zpzx22 拋物柱面拋物柱面 / 軸軸y曲面方程的概念曲面方程的概念旋轉曲面的概念及求法旋轉曲面的概念及求法.柱面的概念柱面的概念(母線、準線母線、準線). 0),( zyxF四、小結四、小結思索題思索題 指出以下方程在平面解析幾何中和空指出以下方程在平面解析幾何中和空間解析幾何中分別表示什么圖形？間解析幾何中分別表示什么圖形？; 2)1( x; 4)2(22 yx. 1)3( xy思索題解答思索題解答平面解析幾何中平面解析幾何中空間解析幾何中空間解析幾何中2 x422 yx1 xy平平行行于于y軸軸的的直直線線平平行行于于yoz面面的的平平面面圓圓

10、心心在在)0 , 0(，半半徑徑為為2的的圓圓以以z軸軸為為中中心心軸軸的的圓圓柱柱面面斜率為斜率為1的直線的直線平平行行于于z軸軸的的平平面面方程方程一、一、 填空題：填空題：1 1、 與與Z軸和點軸和點)1,3,1( A等距離的點的軌跡方程是等距離的點的軌跡方程是_；2 2、 以點以點)1,2,2( O為球心，且通過坐標原點的球面為球心，且通過坐標原點的球面方程是方程是_；3 3、 球面：球面：07442222 zyxzyx的球心是的球心是點點_，半徑，半徑 R _ _；4 4、 設曲面方程設曲面方程22ax+ +22by+ +22cz=1=1，當，當ba 時，曲面可由時，曲面可由xoz面

11、上以曲線面上以曲線_繞繞_軸旋軸旋轉面成，或由轉面成，或由yoz面上以曲線面上以曲線_ 繞繞_軸旋轉面成軸旋轉面成 ; ;練練 習習 題題5 5、 若若柱柱面面的的母母線線平平行行于于某某條條坐坐標標軸軸，則則柱柱面面方方程程的的特特點點是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _；6 6、 曲曲面面1422 zyx是是由由_ _ _ _ _ _ _ _繞繞_ _ _ _ _ _ _ _ _ _軸軸放放置置一一周周所所形形成成的的；7 7、 曲曲面面222)(yxaz 是是由由_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _繞繞_ _ _ _ _ _軸軸旋旋轉轉一一周周所所形形成成的的

12、；8 8、 方方程程2 x在在平平面面解解析析幾幾何何中中表表示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _在在空空間間解解析析幾幾何何中中表表示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _；9 9、 方方 程程422 yx在在 平平 面面 解解 析析 幾幾 何何 中中 表表 示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， 在在 空空 間間 解解 析析 幾幾 何何 中中 表表 示示_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .二、二、 畫出下列各方程所表示的曲面：畫出下列各方程所表示的曲面：1 1、222)2

13、()2(ayax ；2 2、14922 zx ；3 3、22xz . .練習題答案練習題答案一、一、1 1、0112622 zyxz； 2 2、0244222 zyxzyx；3 3、(1,-2,2),4(1,-2,2),4； 4 4、, 1, 1, 1222222222222ybyaxzczbyzczax yczby, 12222 ； 5 5、不含與該坐標軸同名的變量；、不含與該坐標軸同名的變量； 6 6、xoy面上的雙曲線面上的雙曲線yyx, 1422 ； 7 7、面面yoz上的直線上的直線 zayz, ； 8 8、平、平y行于行于軸的一條直線軸的一條直線, ,與與面面yoz面平行的平面；面

14、平行的平面； 9 9、圓心在原點、圓心在原點, ,半徑為半徑為 2 2 的圓的圓, ,軸為軸為軸軸z, ,半徑為半徑為 2 2 的圓柱面的圓柱面. .二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸二、旋轉曲面二、旋

15、轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這

16、條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成

17、的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條

18、直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸二、旋轉曲面二、旋轉曲面定義定義 以一條平面以一條平面曲線繞其平面上的曲線繞其平面上的一條直線旋轉一周一條直線旋轉一周所成的曲面稱為旋所成的曲面稱為旋轉曲面轉曲面. .這條定直線叫旋轉這條定直線叫旋轉曲面的軸曲面的軸定義定義三、柱面三、柱面察看柱面的構察看柱面的構成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 挪動的直線挪動的直線 所構成的曲面稱為柱面所構成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線

19、柱面的母線.CL定義定義三、柱面三、柱面察看柱面的構察看柱面的構成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 挪動的直線挪動的直線 所構成的曲面稱為柱面所構成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CL定義定義三、柱面三、柱面察看柱面的構察看柱面的構成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 挪動的直線挪動的直線 所構成的曲面稱為柱面所構成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CL定義定義三、柱面三、柱面察看柱面的構

20、察看柱面的構成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 挪動的直線挪動的直線 所構成的曲面稱為柱面所構成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CL定義定義三、柱面三、柱面察看柱面的構察看柱面的構成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 挪動的直線挪動的直線 所構成的曲面稱為柱面所構成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CL定義定義三、柱面三、柱面察看柱面的構察看柱面的構成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 挪動的直線挪動的直線 所構成的曲面稱為柱面所構成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面的母線.CL定義定義三、柱面三、柱面察看柱面的構察看柱面的構成過程成過程:平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線 挪動的直線挪動的直線 所構成的曲面稱為柱面所構成的曲面稱為柱面. .CL這條定曲線這條定曲線 叫柱面的準線叫柱面的準線，動直線，動直線 叫叫柱面的母線柱面