1、第六節 高階導數一、問題的提出二、主要定理三、典型例題四、小結與思索一、問題的提出一、問題的提出問題問題: :(1) 解析函數能否有高階導數解析函數能否有高階導數? (2) 假設有高階導數假設有高階導數, 其定義和求法能否與實變其定義和求法能否與實變函數一樣函數一樣?回答回答: :(1) 解析函數有各高階導數解析函數有各高階導數. (2) 高階導數的值可以用函數在邊境上的值經高階導數的值可以用函數在邊境上的值經過積分來表示過積分來表示, 這與實變函數完全不同這與實變函數完全不同.解析函數高階導數的定義是什么解析函數高階導數的定義是什么?二、主要定理二、主要定理定理定理. , )( ), 2 ,

2、 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而且它的內部全含于而且它的內部全含于線線任何一條正向簡單閉曲任何一條正向簡單閉曲的的內圍繞內圍繞的解析區域的解析區域為在函數為在函數其中其中導數為導數為階階它的它的的導數仍為解析函數的導數仍為解析函數解析函數解析函數 證證 , 0內任一點內任一點為為設設Dz , 1 的情況的情況先證先證 n根據導數的定義根據導數的定義,zzfzzfzfz )()(lim)(0000從柯西積分公式得從柯西積分公式得,d)(21)(00 Czzzzfizf,d)(21)(00 Czzzzzfizzfzzfzzf )()

3、(00,d)(d)(2100 CCzzzzfzzzzzfzi Czzzzzzzfid)()(2100 CCzzzzzzzzfizzzzfid)()()(21d)()(2102020I CzzzzzzzzfId)()()(21020 Cszzzzzzfzd)(21020 , )( 上上解解析析在在因因為為Czf,上連續上連續所以在所以在 C , )( 上有界上有界在在故故Czf,)( , 0 MzfM 使使得得于于是是D 0zC , 0上上各各點點的的最最短短距距離離到到曲曲線線為為從從設設Czdd , 適當地小適當地小并取并取z , 21 dz 滿足滿足 , 0dzz 則則 , 110dzz

4、00zzzzzz ,2d ,210dzzz ,3dMLzI ,3dMLzI . 的的長長度度為為這這里里CL , 0 z如如果果, 0 I那那末末zzfzzfzfz )()(lim)(0000,d)()(2120 Czzzzfi再利用以上方法求極限再利用以上方法求極限zzfzzfz )()(lim000.d)()(2! 2)( 300 Czzzzfizf可可得得至此我們證明了一個解析函數的導數依然是解至此我們證明了一個解析函數的導數依然是解析函數析函數.依次類推依次類推, 利用數學歸納法可證利用數學歸納法可證.d)()(2!)(100)( Cnnzzzzfinzf證畢證畢高階導數公式的作用高階

5、導數公式的作用: 不在于經過積分來求導不在于經過積分來求導, , 而在于經過求導而在于經過求導來求積分來求積分. .三、典型例題三、典型例題例例1 1解解 CzCzzezzzrzC.d)1()2(;d)1(cos)1( . 1 : ,225為為正正向向圓圓周周其其中中計計算算下下列列積積分分 , 1 )1(cos )1(5處不解析處不解析內內在在函數函數 zCzz , cos 內處處解析內處處解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根據公式根據公式 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i , )1( )2(22處處不不解解析析內

6、內的的在在函函數數izCzez 1C2Cxyo iCi , 1CiC為為中中心心作作一一個個正正向向圓圓周周內內以以在在 , 2Ci為中心作一個正向圓周為中心作一個正向圓周以以 , , )1( 2122圍圍成成的的區區域域內內解解析析在在由由則則函函數數CCCzez 1C2Cxyo iCi 根據復合閉路定理根據復合閉路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze 1d)()(22Czzizizeizzizei 2)()!12(2,2)1( iei1C2Cxyo iCi 2d)1( 22Czzze同同理理可可得得,2)1( iei Cz

7、zzed)1( 22于是于是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i例例2 2.dcos)2(;d)1(1(1) 12243 zzzzzzezzz求求積積分分解解 , 1 )1(3在在復復平平面面內內解解析析函函數數 z , 2 10內內在在 zz, 3 n 243d)1(1zzzz131! 32 zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根據公式根據公式 12dcos)2(zzzzze , cos 在在復復平平面面內內解解析析函函數數zez , 1 00內內在在 zz, 1 n 12dcoszzz

8、zze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 例例3 3解解) (.d 1為整數為整數求積分求積分nzzeznz , 0)1( n , 1 上解析上解析在在 zzenz由柯西古薩根本定理得由柯西古薩根本定理得 1; 0dznzzze, 1)2( n由柯西積分公式得由柯西積分公式得 1dznzzze0)(2 zzei;2 i , 1)3( n Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根據公式根據公式 1dznzzze0)1()()!1(2 znzeni.)!1(2 ni課堂練習課堂練習 CzzzzzzgzC.d)()( , 302400求求的簡單

9、閉曲線的簡單閉曲線是不通過是不通過設設答案答案 ; 0)( , 00 zgCz外外在在 . )16(2)( , 2000izzgCz 內內在在例例4 4解解. 31)2(; 23)1(:.d)2(1 32 zzCzzzC其其中中求求積積分分 , 0 2 )2(1 32 zzzz和和有有兩兩個個奇奇點點函函數數, 23)1( z 2, z僅僅包包含含奇奇點點,1)( 3zzf 取取 Czzzd)2(1 32 Czzzd)2(1 23231! 12 zzi;83 i 31)2( z , 0 2 內內都都含含在在和和兩兩個個奇奇點點Czz 2, 0 21和和分分別別包包含含和和作作簡簡單單閉閉曲曲線

10、線CC , 21互不包含且互不相交互不包含且互不相交和和CC根據復合閉路定理和高階導數公式根據復合閉路定理和高階導數公式, Czzzd)2(1 32 21d)2(1d)2(1 3232CCzzzzzz 21d)2(1d)2(1 2332CCzzzzzz23021! 12)2(1 ! 22 zzzizi8383ii . 0 例例5 5. )( , 0d)( , )( 內解析內解析在在證明證明都有都有內任何一條簡單閉曲線內任何一條簡單閉曲線且對于且對于內連續內連續在單連通域在單連通域設函數設函數BzfzzfCBBzfC (Morera定理定理)證證 , , 0內內任任意意一一點點為為內內取取定定一

11、一點點在在BzzB依題意可知依題意可知 , d)(00的的路路線線無無關關和和的的值值與與連連接接zzfzz , d)()( 0 zzfzF 定義了一個單值函數定義了一個單值函數參照本章第四節定理二參照本章第四節定理二, 可證明可證明),()(zfzF , )( 內一個解析函數內一個解析函數是是所以所以BzF由于解析函數的導數仍為解析函數由于解析函數的導數仍為解析函數, . )( 為解析函數為解析函數故故zf例例6 6證證), 2 , 1()!1(11)!1()0( ,11)( )( 1 )( nnennfzzfzfznn證證明明解解析析且且內內如如果果, 10d)(2!)0( 1)( rzz

12、zfinfrznn因為因為 rznnzzzfnfd)(2!)0( 1)(所以所以 rznzzznd)1(12!1,)1(!nrrn ,1 nnr取取不等式即證不等式即證.四、小結與思索四、小結與思索 高階導數公式是復積分的重要公式高階導數公式是復積分的重要公式. 它闡明它闡明了解析函數的導數依然是解析函數這一異常重了解析函數的導數依然是解析函數這一異常重要的結論要的結論, 同時闡明了解析函數與實變函數的本同時闡明了解析函數與實變函數的本質區別質區別. Cnnzzzzfinzfd)()(2!)(100)(高階導數公式高階導數公式思索題思索題 解析函數的高階導數公式闡明解析函數的導解析函數的高階導數公式闡明解析函數的導數與實函數的導數有何不同數與實