1、相似三角形知識結構模塊一：比例線段知識精講一、比和比例一般來說，兩個數或兩個同類的量 a與b相除，叫做a與b的比，記作a:b （或表示為且）; b如果a:b c:d （或a £）,那么就說a、b、c、d成比例. b d二、比例的性質（1）基本性質：a c如果一，那么ad bc ； b d如果b 那么合比性質:如果如果b那么等比性質:如果三、比例線段的概念對于四條線段a、b、c、d ,如果a : b c:d （或表示為 a ）,那么a、b、c、db d叫做成比例線段，簡稱比例線段.四、黃金分割如果點P把線段AB分割成AP和PB （ AP PB ）兩段（如下圖），其中AP是AB和PB的比

2、例中項，那么稱這種分割為黃金分割，點P稱為線段 AB的黃金分割點.其中,AP 5 1AP -520.618,稱為黃金分割數，簡稱黃金數.五、三角形一邊的平行線性質定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的對應線段成比例.六、三角形一邊的平行線性質定理推論平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.如圖，點D、E分別在 ABC的邊AB、AC上,如果DE BC,那么DE AD AEBC AB AC七、三角形的重心定義：三角形三條中線交于一點，三條中線交點叫三角形的重心.性質：三角形重心到一個頂點的距離，等于它到這個頂點對邊中點的距離的兩倍.

3、八、三角形一邊的平行線判定定理如果一條直線截三角形的兩邊所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.九、三角形一邊的平行線判定定理推論如果一條直線截三角形的兩邊的延長線（這兩邊的延長線在第三邊的同側）所得的對應 線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.如圖，在 ABC中，直線l與那么l BC .C十、平行線分線段成比例定理兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對應線段成比例.如圖，直線I1/I2/I3,直線m與直線n被直線li、12、13所截，那么-DF -EGFB GC卜一、平行線等分線段定理兩條直線被三條平行的直線所截，如果一條直線上截得的線段相等，那么另一條直線上 截得的

4、線段也相等.例題解析【例1】 如圖，點D、E分別在 ABC的邊AB和BC上.下列所給的四個條件中，不一定能得到DE / AC的條件是（）BEA.BDBCBACE ADB. 一 一BE BDC BD DED .日生BA ACAB AD【例2】 在比例尺為1 : 40000的一張地圖上，量得 A、B兩地的距離是37 cm,那么A、B 兩地的實際距離是 km .【例3】（2015學年普陀區二模 第5題）如圖，已知l1 /l2/l3, DE = 4, DF = 6,那么下列結論正確的是（）A. BC : EF = 1 : 1B. BC : AB = 1 : 2C. AD : EF = 2 : 3D.

5、BE : CF = 2 : 3【例4】 如果線段a = 4 cm , b = 9 cm,那么它們的比例中項是 cm.【例5】 四邊形ABCD是平行四邊形，點 E在邊BA的延長線上，CE交邊AD于點F,交對角線BD于點G .求證：CG是EG與FG的比例中項.【例6】 已知線段AB = 10, P是線段AB的黃金分割點（AP > PB）,則AP =【例7】已知? ? f £，a 18 C e' b d f 0，求b d f的值【例8】如果直角三角形的斜邊長為18,那么這個三角形的重心到直角頂點的距離為【例9】 如圖，已知 AD / EF BC, AE = 3BE,AD =

6、2, EF = 5,那么 BC =.AD【例10 如圖，點E、F分別在正方形 ABCD的邊AB、BC上，EF與對角線BD交于點G,如果BE = 5, BF = 3,那么FG : EF的比值是 【例11】如圖,BD是 ABC的角平分線，點 E、F分別在 BC、AB上，且 DE / AB,DEF(1)求證:BE = AF ;設BD與EF交于點M,聯結AE,交BD于點N,求證：BNgMD BDgND .【例12 如圖，在直角梯形 ABCD中，AD / BC, DAB ABC 90 , E為CD的中點,聯ZAE并延長交BC的延長線于F ;(1)聯結BE,求證BE = EF.(2)聯結 BD 交 AE

7、于 M,當 AD = 1, AB =2, AM = EM 時，求 CD 的長.模塊二：相似三角形知識精講相似三角形的定義如果一個三角形的三個角與另一個三角形的三個角對應相等，且它們各有的三邊對應成 比例，那么這兩個三角形叫做相似三角形.如圖，DE是 ABC的中位線，那么在ADE與ABC中，A A , ADE B, AED C;AD DE AE 1CD _DE CE 1 .由相似三角形的定義，可知這兩AB BC AC 2個三角形相似.用符號來表示，記作 ADEs ABC, 其中點A與點A、點D與點B、點E與點C分別是對 應頂點；符號“ s ”讀作“相似于”.用符號表示兩個相似三角形時，通常把對應

8、頂點的字母分別寫在三角形記號"”后相應的位置上.根據相似三角形的定義，可以得出：(1)相似三角形的對應角相等，對應邊成比例；兩個相似三角形的對應邊的比，叫做 這兩個三角形的 相似比(或相似系數).(2)如果兩個三角形分別與同一個三角形相似，那么這兩個三角形也相似.二、相似三角形的預備定理平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形與原三角形相似.如圖，已知直線l與 ABC的兩邊AB、AC所在直線分別交于點 D和點E ,則 ADE sABC.B B ,那么 ABCs AB1C1.三、相似三角形判定定理 1如果一個三角形的兩角與另一個三角形的兩角對應相等，那么這兩個三角形相似

9、.可簡述為：兩角對應相等，兩個三角形相似.如圖，在 ABC與 AiBiCi中，如果 A A、常見模型如下:四、相似三角形判定定理 2如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應成比例，并且夾角相等，那么這兩個 三角形相似.可簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似.如圖，在ABABC與 A1B1c1 中，A AABCs AB1G.五、相似三角形判定定理 3如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成比例,那么這兩個三角形相似.可簡述為：三邊對應成比例，兩個三角形相似.如圖，在 ABC與ABC1中，如果2AB BC- -CA ,那么ABiBCiCiAiABCs A1B1C1 .A六

10、、直角三角形相似的判定定理如果一個直角三角形的斜邊及一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊及一條直角邊對 應成比例，那么這兩個直角三角形相似.可簡述為：斜邊和直角邊對應成比例，兩個直角三角形相似.那么如圖，在Rt ABC和Rt ARC1中，如果 CCiABABBCBiCiABC七、相似三角形性質定理相似三角形性質定理 1:相似三角形對應高的比、 對應中線的比和對應角平分線的比都等于相似比.相似三角形性質定理 2:相似三角形周長的比等于相似比.相似三角形性質定理3:相似三角形的面積的比等于相似比的平方.例題解析【例13 在下列4 4的正方形網格圖中，每個小正方形的邊長都是1,三角形的頂點都在格點上，

11、那么與圖1中ABC相似的三角形所在的網格圖是（）圖1A .B.C.D.【例14】已知ABC s DEF ,且相似比為 3 : 4, S abc 2 cm2,則 S DEF cm2.【例15 如圖，已知點 D是 ABC中的邊BC上的一點,BAD C , ABC的平分線交邊AC于點巳交AD于F,那么下列結論中錯誤的是A. BACs BDAB. BFAs BECC. BDF s BECD. BDF s BAE)AED【例16】如圖，已知點D 在 ABC 的邊 AB 上，且 ACD B, S ACD ：S DBC 1:3. ACD DBC求AC的值.AB【例17】如圖，已知點E、F分別在矩形 ABCD

12、的邊BC和CD上，EF AE , BE = 3 cm,【例18】如圖，已知點D、E 分別在 ABC 邊 AB、AC 上,DE / BC, BD = 2AD,那么AB = 6 cm,矩形ABCD的周長為28 cm,求CF的長.BCDEB ： S EBC 等于A. 1B. 1 : 3C. 1 : 4D. 2 : 3【例19 如圖， ABC中，如果 AB = AC, AD BC于點D, M為AC中點，AD與BM交 于點G ,那么S gdm : S gab的值為 .C【例20 如圖，已知 ABC中，AB = AC, CD是邊AB上的高，且 CD = 2, AD = 1,四邊形BDEF是正方形.CEF和

13、【例21 已知：如圖，點E是四邊形ABCD的對角線BD上一點，且 BAC BDC DAE .(1)求證：ABEs acd；(2)求證：BCgAD DEgAC .【例22 如圖，已知：四邊形 ABCD是平行四邊形，點 E在邊BA的延長線上，CE交AD 于點 F, ECA D .(1)求證：ECAs ECB;口0DC(2)若 DF = AF,求 AC : BC 的值./ 【例23 如圖，BD是平行四邊形 ABCD的對角線，若 DBC 45 , DE BC于E,BF CD于F , DE與BF相交于H , BF與AD的延長線相交于 G.求證：(1) CD = BH;(2) AB是AG和HE的比例中項.

14、BCE【例24如圖，已知等腰ABC 中，AB = AC, ADBC, CE AB,垂足分另1J為 D、E.(1)求證：CAD ECB ；(2)點F是AC的中點，聯結 DF ,求證：BD2 FCgBE .【例25】如圖，已知在梯形 ABCD中，AD / BC,A 90 , AB = AD.點 E 在邊 AB 上,且DECD , DF平分 EDC ,交BC于點F,聯結CE、EF .(1)求證：DE = DC;/ 一、 r . . Mr-tD. 、BF(2)如果 BE BFgBC ,求證： BEF CEF .【例26 已知：如圖，在 ABC中，AB = AC,點D、E分別是邊 AC、AB的中點，DF

15、 AC, DF與CE相交于點F , AF的延長線與 BD相交于點 G .(1)求證：AD2 DGgBD; (2)聯結 CG,求證： ECB【例27 如圖，直角梯形 ABCD中， B 90 , AD BC, BC = 2AD,點E為邊BC的中與 八、(1)求證：四邊形 AECD為平行四邊形；(2)在CD邊上取一點 F,聯ZAF、AC、EF,設AC與EF交于點G,且 EAF CAD .求證： AECs ADF ； 在(2)的條件下，當 ECA 45時，求：FG : EG的比值.【例28 如圖，已知在 ABC中，P是邊BC上的一個動點，PQ AC, PQ與邊AB相交 于點 Q, AB = AC =

16、10, BC = 16, BP = x, APQ 的面積為 y.(1)求y關于x的函數解析式；(2)試探索：APQ與 ABP能否相似？如果能相似， 請求出x的值，如果不能相似， 請說明理由.隨堂檢測【習題1】如果兩個相似三角形的面積的比為4 : 9,那么它們對應的角平分線的比是CB【習題4】已知,如圖，D、E、F分別是 ABC的邊BC、AB、AC的中點，AD與EF相交【習題2】如圖,ABC和 AMN都是等邊三角形,點M是 ABC的重心，那么S-AMN-的值 S ABC1B. 一3【習題 3】 如圖，AB / DC, DE = 2AE, CF = 2BF ,且 DC = 5, AB = 8,貝U

17、 EF =于點O,線段CO的延長線交 AB于點P,求證：AB = 3AP.【習題5如圖，在平行四邊形 ABCD中，AE BC于E, AF CD于F.(1)求證：CDgDF BCgBE;(2)若M、N分別是AB、AD中點，且B 60 ,求證：EM / FN.AB【習題6】如圖，Rt ABC中,ACB 90 , D是邊BC上一點，點 E、F分別是線段 AB、(1)求證：CEF AEF ;AD中點，聯結CE、CF、EF.(2)聯結 DE ,當 BD = 2CD 時，求證：DE = AF .【習題7】已知正方形ABCD的對角線相交于點 O, CAB的平分線分別交BD、BC于點E、F,作BH AF ,垂

18、足為H , BH的延長線分別交 AC、CD于點G、P.(1)求證：AE = BG;(2)求證：GOgAG CGgAO.課后作業【作業1若 ABC" AB1C1 (其中點A和A、B和Bi、C和Ci分別對應)，且AB = 4, ABi=6,則 ABC的周長和 ABiG的周長之比是()A. 9:4B. 4:9C. 2:3D. 3:2【作業2】已知,如圖，在 Rt ABC中， ACB 90，點D為AB的中點，BE CD ,垂足為點F, BE交AC于點E, CE = 1cm求證：(1) ECBs BCA； (2)求斜邊【作業3】已知：如圖，線段 AB / CD, AC CD , AC、BD相交于點P, E、F分別是線 段BP和DP的中點.(1)求證：AE / CF;(2)如果AE和DC的延長線相交于點 Q, M、N分別是線段 AP和DQ的中點，求證：MN = CE.【作業4】如圖，已知在四邊形 ABCD中，AD / BC,對角線AC、BD相交于點O, BD平 分 ABC ,過點D作D