1、3.3.2 函數的極值與導數教材分析本節課是選修1-1教材中導數應用的第二節，通過第一節利用導數判斷函數的單調性的學習，學生已經了解了導數在函數中的初步應用，為了培養學生運用導數的基本思想去分析和解決實際問題的能力，本節課將繼續學習如何應用導數知識解決較復雜函數的單調性和極值問題，讓學生在了解極值點、極值的概念和取得極值的條件，并在此基礎上重點學會如何求函數的極值.是上節內容的延續和深化，為下節利用導數知識求函數的最值做了鋪墊，在本章起著承上啟下的作用，并且近年高考試卷中均有對本課內容的考察.課時分配本節內容用1課時完成，主要講解基本不等式的證明過程，了解這個基本不等式的幾何意義，會用基本不等

2、式解決簡單的最大(小)值問題.教學目標重點：極大、極小值的概念和判別方法，以及求可導函數的極值的步驟.難點：對極大、極小值概念的理解及求可導函數的極值的步驟.知識點：理解極大值、極小值的概念；能夠運用判別極大值、極小值的方法來求函數的極值； 掌握求可導函數的極值的步驟.能力點：培養學生觀察、分析、探究、歸納得出數學概念和規律的學習能力.教育點：感受導數在研究函數性質中一般性和有效性，通過學習讓學生體會極值是函數的局部性質，增強學生數形結合的思維意識.自主探究點：結合實例，借助函數圖形直觀感知，并探索函數的極值與導數的關系.考試點：用導數求函數的極大值與極小值. 易錯易混點：導數為零的點為極值點

3、.拓展點：利用函數的極值和極值點求參數的值.教具準備：多媒體課件課堂模式：設計學案，借助多媒體輔助教學，增強課堂教學的生動性與直觀性。一. 引入新課師：通過上節課的學習，導數和函數單調性的關系是什么？生：在某個區間內，如果，那么函數在這個區間內單調遞增；如果，那么函數在這個區間內單調遞減如果，那么函數在這個區間內是常函數二探究新知師：觀察表示高臺跳水運動員的高度隨時間變化的函數的圖象，回答以下問題（1）當時，高臺跳水運動員距水面的高度最大，那么函數在處的導數是多少呢？（2）在點附近的圖象有什么特點？ （3）點附近的導數符號有什么變化規律？師生共同歸納: 函數在點處,在的附近,當時,函數單調遞增

4、, ;當時,函數單調遞減, ,即當在的附近從小到大經過時, 先正后負,且連續變化,于是.yxOba師：對于這一事例是這樣，對其他的連續函數是不是也有這種性質呢？觀察下圖所表示的的圖象，回答以下問題：（1）函數在點的函數值與這些點附近的函數值有什么關系?（2） 函數在點的導數值是多少?（3）在點附近, 的導數的符號分別是什么，并且有什么關系呢?如圖，函數在等點的函數值與這些點附近的函數值有什么關系？在這些點的導數值是_,在這些點附近，的導數的符號有什么規律？ c x y d e f O g i j h 三. 理解新知師生共歸納：極值的定義：在附近，先減后增，先_后_，連續變化，于是有比在點附近其

5、它點的函數值都小.我們把點叫做函數的_,叫做函數的_.在附近，先增后減，先_后_，連續變化，于是有比在點附近其它點的函數值都大.我們把點叫做函數的_,叫做函數的_.極小值點和極大值點統稱為_，極大值和極小值統稱為_.練習1：師：判斷正誤：點是函數的極值點.畫函數圖像，觀察得出結論：函數在處導數為，但在該點兩側都單調遞增，無極值，故導數值為的點是該點為極值點的必要非充分條件.師：通過以上探索，你能歸納出可導函數在某點取得極值的充要條件嗎？充要條件：且點的左右附近的導數值符號要相反練習2：下圖是導函數的圖象，試找出函數的極值點，并指出哪些是極大值點，哪些是極小值點，極大值一定大于極小值嗎？yxOx

6、1x2x3x4x5x6ba不一定，極值是函數的局部性概念練習3:如圖是函數的圖象,試找出函數的極值點,并指出哪些是極大值點,哪些是極小值點.如果把函數圖象改為導函數的圖象呢?四運用新知例1、求函數的極值教師分析:求,解出,找函數極值點由函數單調性確定在極值點附近的符號,從而確定哪一點是極大值點,哪一點為極小值點,從而求出函數的極值.學生動手做,教師引導.解:令,解得.下面分兩種情況討論:(1) 當時,即;(2) 當時,即.當變化時, ,的變化情況如下表:+_+單調遞增單調遞減單調遞增因此,當時, 有極大值,且極大值為 ;當時, 有極小值,且極小值為思考：根據上表，你能畫出該函數的大致圖象嗎？函

7、數的圖像如圖所示歸納：求函數極值的方法是:求,解方程,解得(1) 如果在 附近的左邊,右邊,那么是極大值.(2) 如果在 附近的左邊,右邊那么是極小值討論：求極值的步驟(1)求導 (2)求極值點 (3)討論單調性 (4)列表 (5)寫出極值. 練習求下列函數的極值.(1) (2) 求解：(1) 令，解得，.當變化時，的變化情況如下表.+極大值極小值當時，有極大值，且.當時，有極小值，且(2)解：, 令解得，當變化時，的變化情況如下表+無極值極小值0無極值當時，有極小值且例2. 設，在和處有極值，且,求的值，并求出相應的極值.解：，是函數的極值點，則是方程的根，即有，又，則有，由上述三個方程可知

8、，函數的表達式為，令，得，當變化時，,的變化情況表：+極大值極小值由上表可知因此,當時, 有極大值,且極大值為 ;當時, 有極小值,且極小值為 練習.已知在處取得極值，求的值.五.課堂小結1.函數極值的定義2.求函數極值的方法是: 求,解方程,解得(1)如果在 附近的左邊,右邊,那么是極大值.(2)如果在 附近的左邊,右邊那么是極小值.3.一個點為函數的極值點的充要條件.可導函數極值點的導數為，但導數為零的點不一定是極值點，要看這點兩側的導數是否異號. 六. 布置作業1、函數下列結論中正確的個數為（ ）（1）由可知是的極值點 （2）在處無切線（3）在處的切線方程為2、可導函數在某一點兩側的導數異號是這點為極值點的（ ）A、充分不必要條件B、必要不充分條件C、充要條件D、既不充分也不必要條件3、關于函數，給出下列命題，其中正確的個數是是增函數，無極值