1、高中數學必修4-三角函數的圖像與性質三角函數的圖像和性質課 題三角函數的圖像和性質學情分析三角函數的圖象與性質是三角函數的重要內容，學生剛剛剛學到，對好多概念還 不很清楚，理解也不夠透徹，需要及時加強鞏固。教學目標與 考點分析1.掌握三角函數的圖象及其性質在圖象交換中的應用； 2,掌握三角函數的圖象及其性質在解決三角函數的求值、 求單調區間等問題中的應用.求參、求最值、求值域、教學重點三角函數圖象與性質的應用是本節課的重點。教學方法導入法、講授法、歸納總結法基礎梳理1. “五點法”描圖(1)y= sin x的圖象在0,2 起的五個關鍵點的坐標為,小21)°小(0,0), (一,1),

2、(乃 0), (2 , 1)，(2 萬 0).2(2)y= cos x的圖象在0,2 起的五個關鍵點的坐標為一，.、3(0,1), (一,0)，(外1),(。, (2 方 1).222.三角函數的圖象和性質函數性質y= sin xy= cos xy= tan x定義域RR，.冗x|xwktt+ 2，kCZ圖象入今JA口 ：r1值域T,1T,1R對稱性一 r 一，r九對稱軸：x=k：t+ 2(kCZ)對稱中心：(k. 0)(kCZ)對稱軸：x=kTtkC Z)對稱中心：(k ,0)k Z2無對稱軸對稱中心：k(,0)k Z2周期2兀2-_5單調性單調增區問2k-,2k-k Z ;22單調減區問3

3、 2k,2kk Z22單調增區問2ktt-乃 2k：t KCZ);單調減區問2k 乃 2k 兀+ 兀kC Z)單調增區問(k -,k -)k Z奇偶性<他直兩條性質(1)周期性一一，一，一2兀，一函數y=Asin(cox+(D和y= Acos(cox+而的取小正周期為 亡，y= tan(cox+ 4)的取小正周 .血I 期為”.1-1(2)奇偶性一三角函數史一奇.函數二般可化為一 ymAsin _ax或y mAtan 一®一偶一函數二般包化為ymAcos一.吐b.的形式.三種方法求三伯函數值域(最值)一的方法(1)®!用sin x>. .cos. x一的有一斃:

4、生;一形式復雜的一函數應化為_一y二Asin(3 一吐一 6土 k1勺形式逐發分析co± 4的范圍，根據正.弦函數.單調性一寫出函數的值域;(3)換元法:把一sinx或cosx看:作二仝整體一一可化為求函數在區間上的值域(最值)一問題一8 / 13雙基自測1.函數 y cos(x 3),xCR().A.是奇函數B.是偶函數C.既不是奇函數也不是偶函數D.既是奇函數又是偶函數2 .函數y tan(4 x)的定義域為().A. x|x k 4，k ZC. x|x k-,k Z4B. x|x 2k ,k Z 4D. x|x 2k 一，k Z 43. y sin(x 1)的圖象的一個對稱中心

5、是().“，c、一3A.(兀，0)B.(,0)4-3rC.(,0)D .(二,0)224.函數f(x) = cos(2x )的最小正周期為 .考向一三角函數的周期【例11 ?求下列函數的周期：tan(3x ) 6/n y sin(- -x) 232，(2) y考向二 三角函數的定義域與值域(1)求三角函數的定義域實際上是解簡單的三角不等式，常借助三角函數線或三角函數圖象來求解.(2)求解三角函數的值域(最值)常見到以下幾種類型的題目：形如y= asin2x+bsin x+ c的三角函數，可先設sin x= t,化為關于t的二次函數求 值域(最值)；形如y= asin xcos x+ b(sin

6、 xztcos x)+c的三角函數，可先設 t=sin x為os x,化為關 于t的二次函數求值域(最值).【例21 ?(1)求函數y= lg sin 2x+19 x2的定義域.(2)求函數y=cos2x+sin x(|x| 7)的最大值與最小值.【訓練2 (1)求函數y = ysin x cos x的定義域；tan(x ) , sin xy 4 、-(2) lg(2cosx 1) 的止義域(3) 已知f (x)的定義域為0,1,求f (cos x)的定義域.考向三三角函數的單調性求形如y= Asin(cox+k的單調區間時，只需把cox+小看作一個整體代入y= sin x的相應單調區間內即可

7、，若 為負則要先把 化為正數.【例3】？求下列函數的單調遞增區間. y cos(3 2x)， y【訓練3】函數f(x) = sin(2x )的單調減區間為 31 . .2 、-sin(- - x) , (3) y tan(3x ).24 33考向四三角函數的對稱性)正、余弦函數的圖象既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形.正切函數的圖象只是中心 對稱圖形，應熟記它們的對稱軸和對稱中心，并注意數形結合思想的應用.【例4】？(1)函數y=cos(2x )圖象的對稱軸方程可能是( 3-九 r九八九 r九A. x= _ 6 B. x= 一 12 C. x 6 D . x1？一 九 .一，一一. 右0<

8、a<3，g(x) sin(2x )是偶函數，則a的值為24【訓練4】(1)函數y= 2sin(3x+ ) (| |金)的一條對稱軸為x=12,則 -(2)函數y= cos(3x+的圖象關于原點成中心對稱圖形.則 -.難點突破一一利用三角函數的性質求解參數問題含有參數的三角函數問題，一般屬于逆向型思維問題，難度相對較大一些.正確利用三角函數的性質解答此類問題，是以熟練掌握三角函數的各條性質為前提的，解答時通常將方程的思想與待定系數法相結合.5【小例】？已知函數f(x) = sin( x )(>0)的單調遞增區間為k ,k 一(kC 31212Z),單調遞減區間為k 一,k(k Z),

9、則的值為1212練一練：1、已知函數 f (x) sin(3x -)(1)判斷函數的奇偶性；(2)判斷函數的對稱性.2、設函數f(x) sin(2x )(0)的圖象的一條對稱軸是直線x ,則8課后練習：三角函數的圖象與性質練習題一、選擇題(1)下列各命題中正確的是A.函數y二JcoTsiruQ的定義域是22竄-二,2K冗+張2Z)4 m - 6B.要使gsB -VI疝有意義,那么m的取值范圍4 - mC.函數y = t挈的對稱中心為(k冗，0)低Z)D.函數y = cos式丁的值域是,工高中數學必修4-三角函數的圖像與性質(2)下列四個命題中，正確的是A.函數y=ctgx在整個定義域內是減函數

10、B. y=sinx和y=cosx在第二象限都是增函數C.函數y=cos(-x)的單調遞減區間是(2k兀-冗，2k tt )(k C Z)D,函數y = t段在也兀- 3 , kx +今&E Z)內單調遞增(3)下列命題中，不正確的是A.函數y =惱口中"|匚0網的最小正周期是5B.函數丫=3口式-久-與的最小正周期是5冗 56C.函數y = 2國n(三十芻的最小正周期是冗.則a 或亂=二 a 322D.函數y=sin|x|是周期函數(4)下列函數中，非奇非偶的函數 是A. y = i1 -HsitlX - COSKB. y =1 -Fsin +cosxC. y = 1g/se

11、c2K +1空)+!>( Jsec”. - tg笈)7TD. y = 2cos2(u + -)(5)給出下列命題：函數y=-1-4sinx-sin 2x的最大值是2函數f(x)=a+bcosx(a R且bC R)的最大值是a-b9 / 13高中數學必修4-三角函數的圖像與性質11 / 131凸號她場十1=0(0口兀，口盧多.則口 =：或口 Ujj雨足c由sx - cos(arc：sin y)=0的熊:為2k冗+ 1以上命題中正確命題的個數 是A. 1B. 2C. 3D. 4已知則fa-1A.sin a < COs a < tg aB.cos a > tg a >

12、sin aC.sin a > tg a > COS aD.tg a > sin a >cos a(7)設x為第二象限角，則必 有A.C.埴5海萬sin Reos一 22X . St叼(強5.工LXSill 22(2)函戮 y =)的一條對稱軸的方程是、填空題再T-C.兄=一28D.S= 2(9)函數 y=sinx+sin|x|的值域是(IQ)若函數尸2唔豌一會的最小正周期T滿足yX2,則自然數k的值是.(11)設函數f(x)=arctgx 的圖象沿x軸正方向平移2個單位，所得到的圖象為C, 又設圖象C與C關于原點對稱，那么C所對應的函數是 .(12)給出下列命題：存在實

13、數a ,使 sin a cos a =1c43存在實數Q,使smCl+EsCL=?函數V =-笈)是偶函數宣=否是函數¥ = &!(* +的1條對稱軸方程若a , B是第一象限角,> > B則tg a > tg B其中正確命題的序號是.三、解答題(14)已知函數y=cos2x+asinx-a 2+2a+5有最大值2,試求實數a的值.高中數學必修4-三角函數的圖像與性質答案與提示(1)B (2)D(3)D(4)B(5)D(6)D(7)A(8)D提示1)當汽E R時.-1, 1,此時cos(SLnx)恒大于零，y =的定義域為R由已知條件將2gq*。+g)=:小

14、,54 -m2m - 37/. |-141, 即|2m -3區K-m解得-函數了 = tgK的對稱申心為3 0)r7A函數y =兀)的值域是1 r-662(2)y=ctgx 在(k tt , k兀+兀)(k C Z)內是單調遞減函數.ny = sinx 與 y = cosk在2kn, 2k冗4- 71 (k£ Z)上都是減函數.y=cos(-x)=cosx 在2k兀-兀，2k兀(k CZ)上是增函數，而在2k兀，2卜兀+兀 上是減函數.冗 了土屏在俚冗-,k/ +:-)僅后Z)內是增函數.(3)可畫出y=sin |x|圖象驗證它不是周期函數或利用定義證之.(4)y 二小心乂是偶函數；

15、y = 2tos2(芯+ /) =-2dn2x奇函數m y= lgt7sec3x + tgu) + lg(Vsec2s -tg?E)=。既是奇函數又是偶函數？ y =-3口需的分母+窈打算+(:0螟盧0,即久盧2k兀+打，X聲2卜冗十 1 + sin x + coskU(kEz),由此可知此函數定義域關于原點不對稱，故此函數是非1奇非偶函數.(5)=-y(sinx+2) 2+3 sinx=-1 時，ymax=2當 cosx=-1 時，f(x) max=a-b由條件知3nCL)=前我二嗎0<<t<7T ,。聲g，兀3兀，CL =,01 = 4 '41、8 H 11(iJ

16、cosfarc sin-) cos 1 二一？ cosx2322JT豆=2k 兀 + (ki6 Z)(6)若g<Q<g 則館d>l,又用口 口匚8口. cos a < sin a < tg a兀由:ct第二象限角，得= + 2k兀 <父<兀+ 2kn(k Z)/. L + fcK<|<-l+k7TCkeZJs結合單位圓申三角函數線，宜X易知 tgqActg5Lf "jr(8)y sin(2x 冗)= mi2% 對稱軸方程是又=方我 Z),當k二 uiL-n-時，x = q1 16 / 13(12)、-2 , 2(10)2 或 3

17、(11)y=arctg(x+2)提示JT, 1,西 O-= 2或 3若 sand +gg5 口 =(則 1 + 2ain 口95丁 即皿口 =>1.兀C10)T = 電 因(11)C: y=arctg(x-2) , C: -y=arctg(-x-2) , . y=arctg(x+2)(12)若sinQ cosCl = 1，則a否口二一,由此知司:？ 口 +corQ slilQf即通，故不正碑故不正確.3_ _由尸=sn(口 -x) = -c©sx是偶函數,故正確.5網兀止目 k幾 3H 業兀4t由 2又+ 丁 =及兀+弁、= - - s 當 k = l 時，s<=q-為 一條對稱軸方程，故正確.由 390° >