1、課題函數(shù)的定義域與值域1、掌握定義域的求法教學(xué)目的2、掌握復(fù)合函數(shù)定義域求法3、掌握值域的幾種重要求法1、定義域重難點(diǎn)2、值域教學(xué)內(nèi)容【基礎(chǔ)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)總結(jié)與鞏固】、函數(shù)及其表示設(shè)a B是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合a中的任意一個(gè)數(shù)X,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f（x）和它對(duì)應(yīng)，那么就稱f: At B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作：y=f（x） , x A.其中，x叫做自變量，x的取值范圍a叫做函數(shù)的定義域；與 x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合f（x）|x A叫做函數(shù)的值域.注意：如果只給出解析式y(tǒng)=f（x），而沒有指明它的定義域，則函數(shù)的定義域即是指能使這個(gè)

2、式子有意義的實(shí)數(shù)的集合；函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.構(gòu)成函數(shù)的三要素：定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域 再注意：1）構(gòu)成函數(shù)三個(gè)要素是定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系決定的，所以，如果兩個(gè)函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，即稱這兩個(gè)函數(shù)相等（或?yàn)橥缓瘮?shù)）2）兩個(gè)函數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系完全一致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法：表達(dá)式相同：定義域一致（兩點(diǎn)必須同時(shí)具備）、區(qū)間的概念及表示法設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且 a b，滿足a x b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做a,b；滿足a x b的實(shí)數(shù)x的集合叫做開區(qū)間，記做（a, b）；滿足a

3、xb，或 a xb的實(shí)數(shù)x的集合叫做半開半閉區(qū)間,分 別 記 做a,b) ,(a,b；滿足x a, xa, x b, x b的實(shí)數(shù)x的集合分別記做a,),(a,),(,b,(,b).而后者必須a b .注意：對(duì)于集合x|a x b與區(qū)間（a,b），前者a可以大于或等于b ,、求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則:f(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).f(x)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).f (x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合.對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于 y tan X 中，x k (k Z). 2 零(負(fù))

4、指數(shù)幕的底數(shù)不能為零. 若f(x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集.對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問題,般步驟是：若已知f (x)的定義域?yàn)閍,b，其復(fù)合函數(shù)fg(x)的定義域應(yīng)由不等式a g(x) b解出.對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類討論.由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問題的實(shí)際意義.四、求函數(shù)的值域或最值求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最小(大)不同.求函數(shù)值域與最值的常用方法:觀察法:函數(shù)的定義域與對(duì)應(yīng)法則直接制約著函

5、數(shù)的值域,對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)可直接通過觀察法求得值配方法:將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值二次函數(shù)或可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)形式的問題,常用配方法求值域.判別式法：若函數(shù) y f (x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有 y的關(guān)于x的二次方程a(y)x2 b(y)x c(y) 0，則在a(y) 0時(shí)，由于x, y為實(shí)數(shù)，故必須有2b (y) 4a(y) c(y) 0，從而確定函數(shù)的值域或最值分子、分母是一次函數(shù)或二次齊次式的有理函數(shù)常用分離變量法求值域：分子、分母中含有二次項(xiàng)的有理函數(shù),常用判別式法求值域(主要適用于定義域?yàn)镽的函數(shù)).不等式法：利用基本不

6、等式確定函數(shù)的值域或最值.數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題.反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值.數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值. 函數(shù)的單調(diào)性法.只要是能求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)常可用導(dǎo)數(shù)的方法求值域【重難點(diǎn)例題啟發(fā)知識(shí)點(diǎn)1求相關(guān)函數(shù)的定義域【例1】求下列函數(shù)的定義域:(1)3x2f (x) =+lg(3 x+1)；(2)f (x) 2x x2 +(3-2 x)0.1g(2x 1)1

7、x解答(1)由題意可得3x 100,解之得1<x<1，即原函數(shù)的定義域?yàn)?2xX2(2)由題意可得 2x2x2x0,0,1,0,解之得x 2,丄21,32,原函數(shù)的定義域?yàn)閬A,121,|I'2'精要點(diǎn)評(píng)會(huì)求函數(shù)的定義域是正確求解一切函數(shù)問題的基礎(chǔ)，求解時(shí)要注意找全限制條件，并正確取岀各部分的 公共部分，且最后結(jié)論一定要寫成集合或區(qū)間的形式【舉一反三】1、求函數(shù)f (x) =茫+|gsin x的定義域.,k z解答由題意可得25 x 0,解之得5x5si nx 0,2k x 2k原函數(shù)的定義域?yàn)?5,- n：U( 0, n).2、求下列函數(shù)的定義域: y 曲 2X 1

8、5 h()2 y|x 3| 3V X 1【例2】求抽象函數(shù)求定義域記住兩句話：地位相同范圍相同，定義域是關(guān)于x的。1 )設(shè)f(X)的定義域是3，J2 ，求函數(shù)f (JX 2)的定義域。2)已知y=f(2x+1)的定義域?yàn)?，求f(x)的定義域;1,【舉一反三】已知函數(shù)f( X)的定義域?yàn)椋蠛瘮?shù)y2x2的定義域.1解答 - < x2-x-2x2-x-10,1 7521,所求函數(shù)的定義域是U1,1知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的定義域的應(yīng)用【例3】若函數(shù)y J(a21)x2 (a 1)x的定義域?yàn)镽，a 1求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思維引導(dǎo)可先求岀使函數(shù)有意義的不等式(組)，再對(duì)其中的參數(shù)進(jìn)行分類討論使問題獲解解

9、答由題意知當(dāng)xR 時(shí)，(a2-1 ) x2+2(a-1 ) X2+> 0 恒成立.a 1當(dāng)a2-1=0，即0,時(shí)，得 a=1，此時(shí)有(a2-1) x2+(a-1) x+02=1.可知當(dāng) x R時(shí)，(a-1 ) x2+ (a-1 ) xa 1a20,當(dāng)a-1工0,即(a1)2 4(a2 1)g 0 時(shí)"2a2a10a解得1<a< 9.9 0,綜上所述，使得函數(shù)的定義域?yàn)镽的a的取值范圍是1,9 :.精要點(diǎn)評(píng)解決本題關(guān)鍵的是理解函數(shù)的定義域是R的意義，并會(huì)對(duì)函數(shù)式進(jìn)行分類討論，特別要注意不要遺漏對(duì)第一種情況 -1=0的討論.【舉一反三】已知函數(shù)f（ x）= y3x 1a

10、x ax 3的定義域是R求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解答由a=0或a 0,2a 4a3）解得-12<a0,即 a（ -12，0）.0,知識(shí)點(diǎn)3函數(shù)值域的求法1、直接法:例1 ：求函數(shù)Tx26x 10的值域。例2 :求函數(shù)TX1的值域。2、配方法:例1:求函數(shù)x24x1,1）的值域。例2：求函數(shù)y2x5,x1,2的值域。例3 :求函數(shù)2x25x6的值域。分離常數(shù)法:1 :求函數(shù)的值域。2x 52 :求函數(shù)2x x的值域.x x 13 :求函數(shù)丄丄得值域.3x 2換元法:例1 ：求函數(shù)2x 71 2x的值域。例2:求函數(shù)yJx 1的值域。5、函數(shù)的單調(diào)性法：確定函數(shù)在定義域（或某個(gè)定義域的子集）上的

11、單調(diào)性，求岀函數(shù)的值域。例1 ：求函數(shù)y x J12x的值域。6、數(shù)型結(jié)合法：函數(shù)圖像是掌握函數(shù)的重要手段，利用數(shù)形結(jié)合的方法，根據(jù)函數(shù)圖像求得函數(shù)值域，是一種求值域的重要方法。當(dāng)函數(shù)解析式具有某種明顯的幾何意義（如兩點(diǎn)間距離，直線的斜率、截距等）或當(dāng)一個(gè)函數(shù)的圖象易 于作岀時(shí)，借助幾何圖形的直觀性可求岀其值域。例1:求函數(shù)y I X 3| x 5|的值域。【舉一反三】求下列函數(shù)的值域:(1) y5x 3門(2) y(3) y22x 2x 3(4) y X X 14x1.(2008-山東卷文改編)設(shè)函數(shù)f(X)=則2,x1,f 2)=答案1516解析 f(2)=22+2-2=4, 1 =-,f

12、 f(2) 4=1-(丄)415162.(2009J X 3x 4江西卷文)函數(shù)y=的定義域?yàn)榇鸢竫|-4 < x<0 或 0<x < 1解析由 X20,X得 4 X 0 或 0X 1 .3x 40,3.(2008江西卷文)若函數(shù)y=f (X)的定義域是0,2，則函數(shù)g( x)= f (2X)的定義域是X 1答案0,1)解析因?yàn)閒 (x)的定義域?yàn)?, 2，所以對(duì)于g(x)中，0W 2x< 2且X工1,故x： 0,1).4.函數(shù)2Xy= 2的定義域是X21，值域是答案R, : 0,1)2X解析定義域是R.當(dāng)x=0時(shí)，y=0 ;當(dāng)X工0時(shí)，y 2 X 11 2 1

13、1./ x2>0,飛 >0, 1+r >1， 0<1 AX2X21 2X11 x2<1.二0<y<1，即原函數(shù)的值域是0,1.5.設(shè)x取實(shí)數(shù),則f(x)與g(x)表示同一個(gè)函數(shù)的是()A、 f(x)x， g(x) Vx備 f(x) Qx) , g(x)C、f(x) 1 ,nX29g(x) (x 1) D、f(x) VT，g(x)6.下列四個(gè)函數(shù)中，與y=x表示同一函數(shù)的是()x2=(仮)2=V77.判斷下列各組中的兩個(gè)函數(shù)是同一函數(shù)的為()/ "(x 3)( x 5) yx 5 -y1，72入J ；x 3y1 -Jx 1 Jx1， y2J(X

14、 1)(x 1)； f (x)x， g(x) Jx2 ； f (x)Vx4 x3，F(xiàn)(x)X 1 ； f1(x)(J2x 5)2，f2(X)2x 5。、C.D.、A.、B.8.求函數(shù)的定義域(1)f (x)J(x 1)= (2) g(x)= Vx1 V1x已知y=f(x+3)的定義域?yàn)? , 3，求f(x-1)的定義域.(4)若函數(shù)y f (x)的定義域?yàn)?,1,求函數(shù)11y f(x -) + f(x -)定義域449.求下列函數(shù)的值域:(1)y=3x2-x+2,x 1,3;(2)3x 1y=x 2(3)y=x+4x ;y=2xL(xj,2x 12思維引導(dǎo)函數(shù)的值域問題是函數(shù)知識(shí)的重要組成部分

15、，它蘊(yùn)含的思想方法豐富，不同類型函數(shù)模型的值域問題有不同的解法，要視具體問題而定1解答(1)(配方法) y=3x2- x+2=3 x 一6223一，函數(shù) y=3x-x+2在：1,3 .上單調(diào)增.12' 當(dāng)x=1時(shí)，原函數(shù)有最小值為4;當(dāng)x=3時(shí),原函數(shù)有最大值為26._ 2函數(shù) y=3x-x+2, xe： 1,3 :的值域?yàn)?,26 :.3x 1(2)(分離變量法)y=HLx 23(x 2) 7 =3+x 2工 0,. 3+x 272 3.3x1函數(shù)y= 的值域?yàn)閥ly e R且y工3.x 2(3)(換元法)設(shè) t = J1 X >0,則 x=1-t2, 2 2原函數(shù)可化為y=i-t+4t=- (t-2 ) +5( t > 0)， y< 5,原函數(shù)的值域?yàn)?-(4)(基本不等式法)y=x2x &