1、三角形“四心 ”向量形式的充要條件應用知識點總結1O 是ABC 的重心OAOBOC0 ;若 O 是S BOCS AOCS AOB1S ABCOA OBOC0 ;ABC 的重心，則3故uuuruuuruuuruuurG為 ABC的重心.PG1 (PAPBPC )32O 是ABC 的垂心OAOBOB OCOC OA;若 O 是ABC (非直角三角形 )的垂心，則 S BOC：S：Stan A：AOCAOBtan B tan C故 tan AOAtan BOBtan C OC02223O 是ABC 的外心|OA | |OB | | OC |(或 OAOBOC)若 O 是：sin：ABC 的外心則 S

2、 BOCS AOC S AOBBOC sin AOC sin AOB sin2A : sin2B: sin2C故 sin 2A OAsin 2BOBsin 2C OC0OA(ABACOBBABCOCCACB) 04 O 是內心ABC 的充要條件是)()(| AB|AC| BA|BC | CA| CB|引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記AB , BC , CA 的單位向量為 e1 , e2 ,e3，則剛才 O 是ABC 內心的充要條件可以寫成OA(e1e3 )OB (e1e2 )OC(e2e3 )0， O 是ABC 內心的充要條件也可以是aOAb OBcOC0。若 O是ABC 的內心，則 S

3、 BOC ： S AOC ： S AOBa： b： c故aOAbOBcOC0或 sin A OAsin BOBsin COC0 ;uuur uuuruuuruuuruuur uuurrABC 的內心 ;A|AB|PC| BC |PA|CA | PB0P 是e1e2uuuruuur向量ABAC)(0) 所在直線過ABC 的內心 ( 是BAC的角平分線所在直BC( uuuruuur| AB|AC|線) ；P范例( 一)將平面向量與三角形內心結合考查例 1O 是平面上的一定點， A,B,C 是平面上不共線的三個點，動點 P滿足 OPOA( ABAC)，0,則ABACP 點的軌跡一定通過ABC 的（）

4、（A ）外心（ B ）內心（ C）重心（ D ）垂心ABuuuruuuruuur又 OPOAAP ，則原解析：因為是向量 AB 的單位向量設AB 與 AC 方向上的單位向量分別為 e1和 e2 ，AB- 1 -式可化為 AP(e1e2 ) ，由菱形的基本性質知 AP 平分BAC ，那么在ABC 中， AP 平分BAC ，則知選 B.(二 )將平面向量與三角形垂心結合考查“垂心定理”例 2H 是 ABC 所在平面內任一點，HA HBHB HCHC HA點 H 是ABC 的垂心.由 HAHBHBHCHB (HC HA) 0HB AC0HBAC ,同理 HCAB， HABC .故 H 是 ABC 的

5、垂心 . （反之亦然（證略） ）例 3.(湖南 )P 是 ABC 所在平面上一點，若 PA PBPBPCPCPA ，則 P是ABC 的（D）A 外心B 內心C重心D垂心解析 :由 PA PBPB PC得 PA PBPB PC0 .即 PB (PAPC) 0,即PB CA0則 PBCA,同理 PABC, PCAB 所以 P為 ABC的垂心. 故選 D.(三 )將平面向量與三角形重心結合考查“重心定理”例 4G 是 ABC 所在平面內一點，GA GBGC =0點 G是ABC 的重心.證明作圖如右，圖中GB GCGE連結 BE 和 CE，則 CE=GB ， BE=GCBGCE 為平行四邊形D 是 B

6、C 的中點， AD 為 BC 邊上的中線 .將 GBGCGE 代入 GA GBGC=0，得 GAEG =0GAGE2GD，故 G 是 ABC 的重心 .（反之亦然（證略） ）例 5P 是 ABC 所在平面內任一點. G 是 ABC 的重心1PG(PAPBPC) .證明PGPAAGPBBGPCCG3PG(AGBGCG)(PAPBPC) G 是 ABC 的重心 GAGBGC =0AGBG CG =0，即 3PG PA PBPC由此可得 PG1(PAPBPC) .（反之亦然（證略） ）3例6若O為uuuruuuruuurrABC 的（ABC 內一點， OAOBOC0，則O是）A 內心B 外心C 垂心

7、D重心uuuruuuruuurr uuuruuuruuuruuuruuuruuur解析：由 OAOBOC0得 OBOCOA ，如圖以 OB、OC為相鄰兩邊構作平行四邊形，則OBOCOD ，由uuur1uuur2 OE ，同理可證其它兩邊上的這個性質，所以是重心，選D 。平行四邊形性質知 OE2OD，OA(四 ) 將平面向量與三角形外心結合考查例7若O 為uuuruuuruuurABC 的（ABC 內一點， OAOBOC，則O是）- 2 -A 內心B 外心C垂心D 重心解析：由向量模的定義知O 到ABC 的三頂點距離相等。故 O 是 ABC 的外心 ，選 B 。(五 )將平面向量與三角形四心結合

8、考查例 8已知向量 OP1 ， OP2 ， OP3 滿足條件 OP1 + OP2 + OP3 =0，| OP1 |=| OP2 |=| OP3 |=1，求證 P1P2P 3 是正三角形 .（數學第一冊（下） ，復習參考題五B 組第 6 題）證明由已知 OP1 + OP2 =- OP3，兩邊平方得 OP1 OP2 =1，2OP2 OP3 = OP3 OP11同理=，2 | P1 P2 |=| P2 P3 |=| P3 P1 |= 3 ，從而 P1P2P3 是正三角形 .反之，若點 O 是正三角形 P1 P2 P3 的中心，則顯然有 OP + OP+ OP =0 且|OP |=| OP2|=| O

9、P |.12313即 O 是 ABC 所在平面內一點，OP1 + OP2 + OP3 =0 且 | OP1 |=| OP2 |=| OP3 |點 O 是正 P1P2P3 的中心 .例 9 在ABC 中，已知 Q 、G、 H 分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：Q、 G、H 三點共線，且 QG:GH=1:2 。【證明】：以 A 為原點， AB所在的直線為 x 軸，建立如圖所示的直角坐標系。設A(0,0)、B（ x 1,0 ）、C(x 2,y 2) ，D、E、F 分別為 AB、BC、AC的中點，則有：D（ x1,0)、E ( x 1 x 222G ( x 1uuuurx 2 , y 2 ) AH

10、33uuurBC(x 2x 1 , y 2 )y 2、x 2y 2x 1,)Q（, y 3 )、H (x 2 , y 4 )F( ,由題設可設2222uuurx 2x 1,y 2y 3 )y，(x 2 , y 4 ) QF (222C(x 2,y2)uuuuruuurFHQ AHBCEuuuuruuurGAH ? BC x 2 (x 2x 1 ) y 2 y 40y 4x 2 (x 2x1 )Qxy 2AD1uuuruuuurB( x ,0)Q QFACuuuruuuur( x 2x 1 ) y 2 ( y 2QF ?ACx 2y 3 ) 0222y 3x 2 (x 2x1 )y 22 y 2

11、2uuuurx 1 , y 4（ 2x 2x1 ,3x 2 ( x 2x 1 )y 2 )QH(x 2y 3 )222y22uuurx1 , y 2y 3 ) （ 2x 2x 1 , y 2x 2 (x 2x 1 ) y 2 )QG ( x 2x 1323632y 22( 2x 2x 1 , 3x 2 ( x 2x 1) y 2 )1 ( 2x 22x 1 , 3x 2 (x 2x 1) y 2 )66y2632y 22= 1 QHuuuur3- 3 -uuuuruuur即 QH =3QG ，故 Q、G、H三點共線，且 QG：GH=1： 2例 10若 O H 分別是 ABC 的外心和垂心 .求

12、證OH OAOB OC.、證明若 ABC 的垂心為 H ，外心為 O，如圖 .連 BO 并延長交外接圓于 D，連結 AD， CD. ADAB ， CD BC .又垂心為 H， AHBC ，CHAB ， AHCD，CH AD，四邊形 AHCD 為平行四邊形， AHDCDO OC ，故 OHOA AHOAOBOC .著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”外心、重心、垂心的位置關系：（ 1）三角形的外心、重心、垂心三點共線“歐拉線”；（ 2）三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第一個三分點，即重心到垂心的距離是重心到外心距離的2 倍。“歐拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量

13、問題.例 11 設 O、G、 H 分別是銳角 ABC 的外心、重心、垂心 .求證 OG1 OH3證明按重心定理G 是 ABC 的重心OG1 (OAOBOC)3按垂心定理OHOA OB OC由此可得OG1OH .3補充練習1已知 A 、B、 C 是平面上不共線的三點，O 是三角形 ABC 的重心，動點 P 滿足OP =1(1 OA+1 OB +2 OC ),則點 P 一定為三角形 ABC 的（ B）322A. AB 邊中線的中點B. AB 邊中線的三等分點（非重心）C.重心D.AB 邊的中點11OA +1 OB1.B 取 AB 邊的中點 M，則 OA OB2OM ，由 OP=(+2 OC )可得

14、 3 OP3OM2MC ，322 MP2 MC ，即點 P 為三角形中 AB 邊上的中線的一個三等分點，且點P 不過重心，故選 B.uuuuuur3uuuuuruuuuuuruuuuuuruuuuuruuuuuurABC22OB222AB22在同一個平面上有及一點滿足關系式：O ABCCAOC，則為 ABC的（D）外心內心C 重心D垂心uuuruuuruuur0 ， 則ABC 的2已知ABC的三個頂點 A、B、C 及平面內一點 P滿足： PAPBPCP 為（C）外心內心C 重心D垂心3已知 O 是平面上一定點， A、B、C 是平面上不共線的三個點，動點P 滿足：OPOA( ABAC) ，則 P

15、 的軌跡一定通過 ABC的（C）外心內心C 重心D垂心4已知 ABC ，P 為三角形所在平面上的動點，且動點P 滿足：- 4 -uuuruuuruuuruuuruuur uuur0 ，則 P 點為三角形的PA?PC PA ? PBPB? PC（D）外心內心C 重心D垂心P 滿足： auuuruuuruuur5 已 知 ABC ， P 為三角形所在平面上的一點 ，且點PAb PBc? PC 0 ，則 P 點為三角形的（B）外心內心C 重心D垂心2CB26在三角形 ABC中，動點P 滿足：CA2AB ?CP ， 則P 點軌跡一定通過ABC的：（ B ） 外心內心C 重心D垂心+ACABAC=1,

16、則ABC 為( )7.已知非零向量 AB 與 AC 滿足 ( AB)BC=0 且2|AB |AC|AB |AC |A. 三邊均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形uuuruuur解析：非零向量與滿足ABAC( uuuruuur|AB|AC |uuuruuur) =0，即角 A 的平分線垂直于ABAC=1，A=，BC， AB=AC，又 cosAuuuruuur2|AB|AC|3所以 ABC 為等邊三角形，選D8.ABC 的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H， OHm(OAOBOC) ，則實數 m = 19. 點 O是三角形 ABC所在平面內的一點，滿足OA OBO

17、B OCOC OA ，則點 O是ABC 的（ B ）（A）三個內角的角平分線的交點（B）三條邊的垂直平分線的交點（C）三條中線的交點（D）三條高的交點10.如圖 1，已知點 G是ABC 的重心，過 G作直線與 AB，AC兩邊分別交于 M， N兩點，且uuuuvuuuvAMxAB ，uuuvuuuv113 。ANy AC ，則xyABCuuuvuuuvuuuvO證點 G是的重心，知GAGBGC，uuuvuuuvuuuvuuuvuuuvuuuv1uuuvuuuv得 AG( ABAG)( ACAG )O，有 AG3( ABAC)uuuvuuuuvuuuv,1) ，于是存在，使得 AGAMAN (且u

18、uuvuuuvuuuv1uuuvuuuv有 AGxABy AC =3( ABAC)，。又 M， N， G三點共線（ A 不在直線 MN上），1得1，于是得 113 。xy3xy- 5 -例講三角形中與向量有關的問題教學目標： 1、三角形重心、內心、垂心、外心的概念及簡單的三角形形狀判斷方法2 、向量的加法、數量積等性質3 、利用向量處理三角形中與向量有關的問題4 、數形結合教學重點：靈活應用向量性質處理三角形中與有關向量的問題教學難點：針對性地運用向量性質來處理三角形中與向量有關的問題教學過程：1、課前練習22OC21.1 已知 O是 ABC內的一點，若 OAOB，則 O是 ABC的A、重心B

19、、垂心C、外心D、內心1.2 在 ABC中，有命題 ABACBC ； ABBC CA 0 ；若 ABAC ? AB AC 0 ，則 ABC為等腰三角形；若AB?AC0 ，則 ABC為銳角三角形，上述命題中正確的是A、B、C、D、2、知識回顧2.1三角形的重心、內心、垂心、外心及簡單的三角形形狀判斷方法2.2向量的有關性質2.3上述兩者間的關聯3、利用向量基本概念解與三角形有關的向量問題例 1、已知 ABC中，有ABAC? BC0和 AB? AC1ABACABAC2, 試判斷 ABC的形狀。練習 1、已知 ABC中， ABa ， BCb ，B 是 ABC中的最大角，若a ? b0 ，試判斷 AB

20、C的形狀。4、運用向量等式實數互化解與三角形有關的向量問題222222例 2、已知 O是 ABC所在平面內的一點，滿足 OABCOBACOCABA、重心B、垂心C、外心D、內心5、運用向量等式圖形化解與三角形有關的向量問題例 3、已知 P 是 ABC所在平面內的一動點，且點P 滿足 OPOAABAC,0,ABACABC的A、重心B、垂心C、外心D、內心，則 O 是ABC的，則動點P 一定過- 6 -練習 2、已知 O為平面內一點， A、B、C 平面上不共線的三點，動點P滿足 OP OAAB1BC ,0,，2則動點 P 的軌跡一定通過 ABC的A、重心B、垂心C、外心D、內心例 4、已知 O是 ABC所在平面內的一點，動