1、高等數(shù)學(xué)期末考試卷11答案一.單項(xiàng)選擇題(3分5 =15分1設(shè)二階線性非齊次方程(x f y x q y x p y =+'+''有三個特解x y =1,x e y =2,x e y 23=,則其通解為(C A.x x e C e C x 221+;B.x x e C e C x C 2321+;C.(221x x x e x C e e C x -+-+;D.(2221x e C e e C x x x -+- 2. =-+y x y x y x 0234x y z -=與xoy 平面的交線是(D A 雙曲線 B 拋物線 C 平行直線 D 相交于原點(diǎn)的兩條直線4.若曲

2、面2132222=+z y x 的切平面平行于平面02564=+-z y x ,則切平面?zhèn)€數(shù)為 ( B A. 1; B. 2; C. 3; D. 無窮多5. 設(shè)D 是xoy 面上以1,1(,0,0(,1,1(-為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域,1D 是D 中在第一象限的部分,則積分+Dd y x y x cos cos (33= ( A A.d y x D 1cos cos 23;B.132D yd x ;C.+1二.填空題(3分5 =15分6 . 函數(shù)yx z ln = , 則 x z =x 1 7. (x q y x p dxdy =+ 為一階線性微分方程,其通解公式是 (c dx e x q e y

3、dx x p dx x p +=-8. 過點(diǎn)2,3,-4且垂直于平面3x +y -z +4=0的直線方程是 141332-+=-=-z y x 9. 曲面3=+-xy z e z 在點(diǎn)0,1,2(處的切平面方程為042=-+y x , 法線方程為02112zy x =-=- 。10. 與三個坐標(biāo)軸夾角相等的單位向量是3kj i +±三.計(jì)算題(7分×7=49分11. 設(shè)(x y y =滿足方程x e y y y 223=+'-'',且其圖形在點(diǎn)1,0(與曲線12+-=x x y 相切,求函數(shù)(x y 。解:原方程的齊次通解為:xxe C e C y

4、2210+= (2設(shè)x xe A y =*為原方程的一特解,代入原方程,解得1-=A即原方程的通解為:x xx xe e C e C y -+=221 (4而函數(shù)(x y 的圖形在點(diǎn)1,0(與曲線12+-=x x y 相切,故函數(shù)(x y 在點(diǎn)1,0(與曲線12+-=x x y 有相同的切點(diǎn)和相同的斜率 即 10(=y ,10(='y (6 代入原方程通解,解得 1,021=C C函數(shù)x x xe e x y -=2( (712.求過點(diǎn)(2,0,-5且垂直于平面x-2y-4z -7=0及3x+5y-z +3=0的平面方程解:平面x-2y-4z -7=0的法向量4,2,11-=n ,平面

5、3x+5y-z +3=0的法向量1,5,32-=n , (2同時垂直于平面x-2y-4z -7=0及3x+5y-z +3=0的平面法向量2(1111112215342121k j i k j i kj i n n n +-=+-=-= (4所求平面方程為 05(0(2(2=+-z y x 化簡為012=+-z y x (713.求過點(diǎn)M(0,2,4且與直線130 y x y z =+=平行的直線方程解:直線130 y x y z =+=的方向矢量k i kj i l -=3311010 (3過點(diǎn)M(0,2,4且與直線130 y x y z =+=平行的直線方程為14023-=-=z y x.(

6、7 14.求曲線042=y x z 繞z 軸旋轉(zhuǎn)所成的旋曲面的方程,并求此曲面與平面z =1的交線在xoy 平面投影曲線的方程解:曲線042=y x z 繞z 軸旋轉(zhuǎn), z 坐標(biāo)不變,x 坐標(biāo)由22y x +±代替, 所成的旋曲面的方程為422y x z += (3該曲面與平面z =1的交線方程為1422=+=z y xz (5在xoy 平面投影曲線的方程為422=+y x (715.設(shè),(xy y x f z -=具有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù),求y x z2。解:記y x u -=,xy v =,則 x v v z x u u z x z +='+'v u yf f (3(

7、2v u yf f y y x z +'=(y vv f y u u f y f y v v f y u u f v v v u u '+'+'+'+' (5='+"+"+"v vv uv uu f f xy f xy x xf ( (716.計(jì)算積分Dxydxdy ,其中D 是由拋物線2x y = 和直線2+=x y 所圍成的閉區(qū)域解:區(qū)域D 如圖所示 2,21,(2+-=x y x x y x D .(2 D xydxdy =-+2122x x xydy dx =2221221+=-x y xdxdy y

8、 x 22sin ,其中4,0,(222+=y x x y y x D 。解:區(qū)域D 如下圖所示,作極坐標(biāo)變換=sin cos r y r x 20,40,(=r r D (2+D dxdy y x 22sin =Drdrd r sin =2040sin dr r r d .(4 =20sin 4dr r r =cos (cos 42020-=dr r r r rr =22- (7四.應(yīng)用題: (7分2 =14分 18 求球面2222=+z y x 與旋轉(zhuǎn)拋物面 z y x =+22 所圍立體區(qū)域的體積。 解:所圍立體區(qū)域如下圖所示 x 2 + y 2 + z 2 = 2 與 x 2 + y

9、2 = z 所圍曲線在 XOY 平面上的投影柱面方程為 x 2 + y 2 = 1 ，即 在XOY平面上的投影區(qū)域D= ( x, y x 2 + y 2 1 .(2 V = dxdydz = ( 2 x 2 y 2 x 2 y 2 dxdy .(4 D x = r cos 作極坐標(biāo)變換 y = r sin V = ( 2 r 2 r 2 rdrd = 02 d ( 2 r 2 r 2 rdr D 0 1 = 2 ( 2 2 1 = 1 3 1 4 4 2 7 .(7 3 6 19：已知柱面的母線方向是2，1，1，準(zhǔn)線是 求該柱面的方程。 y= x2 4 z=0 解：設(shè)柱面上任意一點(diǎn) P 的坐標(biāo)

10、為 ( x, y , z ，其準(zhǔn)線上對應(yīng)點(diǎn) P0 的坐標(biāo)為 ( x 0 , y 0 , z 0 ， rr 則向量 PP0 平行于母線方向，即 x0 x y 0 y z z = = 0 = .(3 2 1 1 將 P0 的坐標(biāo) y x 0 = 2 + x 0 = + y 代入準(zhǔn)線方程，消去參數(shù) .(5 z0 = + z x 2 + 4 xz + 4 z 2 4 y + 4 z = 0 .(7 得到柱面的方程： 五、證明題（7 分） 20設(shè) f(x= sin t sin t dt ( 定義 t t x t =0 = 1 , 證明 f ( xdx = 2. 0 證明： 0 f ( xdx = 0 sin t sin t dt.dx = dx dt. .(2 t 0 t x x 6 其中：二重積分 0 dx sin t dt. 的積分區(qū)域 D = ( x , t 0 x , x t t x （下圖三條紅線所圍區(qū)域就是 D） 交換順序后， D = ( x ,