1、設:高等數學（非數院）第一章函數與極限第一節函數O函數基礎（高中函數部分相關知識）（）O鄰域（去心鄰域）（）U （a, 6 ） = x| x -a <d0U （a,6 ） = x10 c|x -a <d第二節數列的極限O數列極限的證明（）【題型示例】已知數列a【證明示例】；- N語言1 由 Xn a c g化簡得 n a g （g ）, N - | g ；2 .即對乜0 , TN二g 。當n N時，始終有不等式 xn -a| <名成立， lim :xn f 二 ax J：:第三節函數的極限O x > xo時函數極限的證明（）【題型示例】已知函數 f x，證明lim f

2、X二Axo【證明示例】；-語言1 .由 f （x ）A c 化簡得 Oclxxcg（名），、二 g ；O無窮小與無窮大的相關定理與推論（）（定理三）假設 f x為有界函數，g x為無窮小，則 lim ” f x g x =0（定理四）在自變量的某個變化過程中，若f x為無窮大，則f-1 x為無窮小；反之，若f X為無 窮小，且f x=0，貝U f J x為無窮大【題型示例】計算：lim f x g x （或x:）X ,ix0f（x| w M 函數f（x）在x = x°的任一去心鄰域U x0,.內是有界的；（ f x w M，函數f x在D上有界；）2. lim g x =0即函數g

3、x是x“ x0時的無窮小； J.X0 '（lim g x =0即函數g x是x時的無窮小；）X_.3 .由定理可知lim | f x g x =0（lim f x g x =0）第五節極限運算法則O極限的四則運算法則（）（定理一）加減法則（定理二）乘除法則關于多項式p x、q x商式的極限運算p(x )= a0xm+8必“+ + am 、q(x )=b0xn +bXn_1 + + bn2.即對 Ne >0 ,迅 g2),當0cX X0時,始終有不等式f (x ) A < i$成立， lim f (x )= AX0O x時函數極限的證明（）【題型示例】已知函數 f x，證明l

4、im f x；=A xC【證明示例】；- X語言1. 由 f （x）A < E化簡得 x Ag（E ）, X = g ；2. 即對Pm >0 , 2X=g2 ），當x>X時，始終有 不等式f（x）Ac名成立， lim f x 二 Ax J：:第四節無窮小與無窮大O無窮小與無窮大的本質（）函數f x無窮小=lim f x = 0函數f x無窮大二lim f x >二則有lim止淳b°n ： mn = mn mlimX )X0f（X。）g（x。）CO00g X0 - 0g x° i=0, f X)= 0g X0 - f X0 - 0（特別地，當lim f

5、 X （不定型）時，通常分X0子分母約去公因式即約去可去間斷點便可求解出極 限值，也可以用羅比達法則求解）【題型示例】求值lim 2T X -9【求解示例】解：因為 X 3，從而可得x = 3，所以原m3-H X一一9-2X1 - 6-LSI/3-3 X-VAX 3+Xx _3其中x=3為函數f x二上二3的可去間斷點x2 9倘若運用羅比達法則求解（詳見第三章第二節）0x _3 0解：lim 2 limXs3 x 9 L " 3（x -9 ）O連續函數穿越定理 （復合函數的極限求解）（）（定理五）若函數 f x是定義域上的連續函數，那xirVx =lim丄x 32x 6么,I題型示例

6、】求值：附【求解示例】 lim 理三3 = jlim ：_3 = J1 =tYx2-9 Ytx2-9 V66第六節極限存在準則及兩個重要極限O夾迫準則（P53） （）sin x .1x第一個重要極限：limX0 Px 0, , sin x:x ： tanx /. lim Sinx =1 T x解:lim2x+3X 2x 1= lim（2x+1+22x 12X霉+2x+1 丿-0碑（2x+1丿l'2x 2化嚴=e1=elim 1 丄二2x-d2x=ex. li2x-22x 1&祜嚴）2x+1 丿/J："第七節 無窮小量的階（無窮小的比較）O等價無窮小（）U sinU t

7、anU arcsinU arctanU Tn（1 U ）1. U e -11 22. U 1-cosU2（乘除可替，加減不行）【題型示例】求值：lim ln 1 x xln1 x0【求解示例】2x 3x解：因為x 0,即x"所以原式=limln °+x廠xl "（仆） T X +3x（1+x 卜In（1+x）（1+x 卜xx+1 1=limlimlimx 0XX 3 X9xx3 x 0 x 3 3第八節 函數的連續性O函數連續的定義（）lim f x = lim f x = f x0X JXQ -XXg 'O間斷點的分類（P67） （）（跳越間斷點（不等）

8、可去間斷點（相等）limlX丁0=1''sin x limx_0x= lim 1=j0 sin xlimx :xFX丸O單調有界收斂準則（P57） （）+X+ I = ex（一般地，lim | f x % = 血 f x "mslim f x 0）lim Xx 0sinx（特別地,第二個重要極限:x，其中第一類間斷點（左右極限存在）第二類間斷點無窮間斷點（極限為（特別地，可去間斷點能在分式中約去相應公因式）【題型示例】求值：lim 紅衛x”2x +1 丿【求解示例】2x. 0e , x ： 0應該怎樣選 a x x 一 0擇數a，使得f x成為在R上的連續函數？【求解

9、示例】f 0_=e20 =d=e.I .f 0 二a 0 =af 0 =a【題型示例】設函數 f（x）=2 .由連續函數定義lim f x = lim f x = f 0 = exT0_0 a =e第九節 閉區間上連續函數的性質O零點定理（）【題型示例】證明：方程f x =g Xi、C至少有一個根 介于a與b之間【證明示例】1.（建立輔助函數）函數 x二f x ;g x；C在 閉區間la,b 上連續；【題型示例】求函數f J x的導數【求解示例】由題可得 f x為直接函數，其在定于域D 1 上單調、可導，且 f'（x）H0 ；O復合函數的求導法則（）【題型示例】設y = in earc

10、sin C .廠云，求y2. a b 0 （端點異號）3. .由零點定理，在開區間a,b內至少有一點,使得A0,即 fg_C =0 （ 0 < :： 1）4. 這等式說明方程 f x二g x C在開區間 a,b 內至少有一個根'【求解示例】解: y= ©csinC+Vx右（嚴r+扳右）*1arcsi n1 e 7 一第二章導數與微分第一節導數概念O高等數學中導數的定義及幾何意義（r x丄“e +1x2.1x2a21 _ x2 -12 . x2 a2【題型示例】已知函數f (x )=«ax bP83) ()x 0在x = 0x 0 arcs in x2 122e

11、 一；x1arcsin Jx2 _1 arcs in .-x2 122 Jex a2x處可導，求a, b【求解示例】x.x2 -12 x21.嚴0)4f"0 )=a2.由函數可導定義（或)()f 0 - -e°_ 1 =e° 1=2，f 0 "f 0 二e 1 =2f _ 0 f 0 = a 日f 0= f 0 二 f 0 =b =2第四節高階導數O f （n 丸 x ） = f C 哉 x【題型示例】求函數 y = In 1 x的n階導數【求解示例】y = V x ,1 + xa = 1,b =2yJ|i11 x = -1 一21 x，【題型示例】求

12、y二f x在x二a處的切線與法線方程 （或：過y = f x圖像上點 a, f a 處的切線與法線 方程）【求解示例】1. y = f x , y lx/ f a2.切線方程：yf a = f a xa法線方程:y f a 口第二節 函數的和（差）、積與商的求導法則y n L（_1）2 （n -1） .（1 x）第五節隱函數及參數方程型函數的導數O隱函數的求導（等式兩邊對 x求導）（）【題型示例】試求：方程y = x ey所給定的曲線 C :y二y x在點1 - e,1的切線方程與法線方程【求解示例】由y = x e兩邊對x求導2.函數積的求導法則（定理二）:(uv) = u v uvuu v

13、uv3.函數商的求導法則（定理三）: 2vv第三節反函數和復合函數的求導法則O函數和（差）、積與商的求導法則（）1.線性組合（定理一）：（U二lv）u ' ：v特別地，當1時，有（u v） = i_VO反函數的求導法則（）即旳二*ey化簡得y = 1 ey y1 _ 11 - e11 - e切線方程:1y _1x _1 e1 e法線方程：y -仁1 - e x -1 eO參數方程型函數的求導【題型示例】設參數方程/=tp（t 求d_y=Y（t）dx2“2窗【求解示例】1.巴=一12.聳=-dx 4（t） dxA（t）第六節變化率問題舉例及相關變化率（不作要求） 第七節函數的微分O基本初

14、等函數微分公式與微分運算法則（）dy = f x dx第三章中值定理與導數的應用第一節中值定理O引理（費馬引理）（）O羅爾定理（）【題型示例】現假設函數f x在0,二上連續，在0,二上可導，試證明：二匚三0,二,使得fco< C sin =0成立【證明示例】1. （建立輔助函數）令 x = f x sinx顯然函數x在閉區間 0,二I上連續，在開區間0,二上可導；2. 又 0 計 f 0 sin0 =0-f r： sin 二-0即 0 二 :=03.由羅爾定理知一 I 三 i 0,二，使得 f i: cos ' f - isin = 0成立O拉格朗日中值定理（）【題型示例】證明不

15、等式：當x 1時，ex e x【證明示例】1. （建立輔助函數）令函數 f x =ex，則對x1 , 顯然函數 f x在閉區間1,x 上連續，在開區間1,x上可導，并且f x =ex ；2. 由拉格朗日中值定理可得，'-1,xl使得等式X1e-e = x -1 e成立，又t ee1 , ex-e1x-1二e x-e,化簡得ex e x，即證得：當x 1時，ex e x【題型示例】證明不等式：當x 0時，In r x ： x【證明示例】1.（建立輔助函數）令函數f x = In 1 x，則對-X . 0，函數f x在閉區間1.0, x 1上連續，在開區1間0,二上可導，并且f x ;1

16、+ x十；：=l0,x 1使得等式2 .由拉格朗日中值定理可得,ln 1 x - ln 10 = x- 0 成立，1化簡得 ln V x x，又：；：= 0,x,1沁1 f1 , ln 1 x ： 1 x = x,即證得：當x 1時，ex e x第二節羅比達法則O運用羅比達法則進行極限運算的基本步驟（）1. 等價無窮小的替換（以簡化運算）2判斷極限不定型的所屬類型及是否滿足運用羅比 達法則的三個前提條件0 O0A .屬于兩大基本不定型（,）且滿足條件，0旳則進行運算： lim f x 二lim _ iag（x）ag'（x）（再進行1、2步驟，反復直到結果得出）B . 不屬于兩大基本不定

17、型0 ；型（轉乘為除，構造分式）【題型示例】求值：（轉化為基本不定型）【求解示例】lim x In xx >0nQln x ln x解: lim x：Tn x = lim limx_J 1 LLx:= lim 丄 x：-1 lim X - 0a x 10（一般地，lim In x f = 0 ,其中，R） 型（通分構造分式，觀察分母）1 1【題型示例】求值：limT Is in x x【求解示例】si n x xx - sin xx-si nx lim x sinxx00(xsinx)1 -cosx 0(1 cosx)解: lim00= limx0limlimlimL x_02 '

18、;x 0 2x L x)0X00型(對數求極限法)【題型示例】求值：lim xX102x= lim 沁=0x )0 2【求解示例】解：設y =xX,兩邊取對數得：In y =1 n xX =xl8In x對對數取x. 0時的極限:lim In y =lim - =limx 0 *x 01 L *x 91I= lim x lim x =0,從而有 lim y =limelx 01x 0x 0 x 0Inylim In y=ex 0>2X1 :型（對數求極限法）1【題型示例】求值：lim cosx sinx x【求解示例】解：令 y = cosx -sinx x ,兩邊取對數得 In y =

19、sIXIn cosx - sin x 對In y求x. 0時的極限，lim In y =limx*xt00|ln cosx sinx= limcosx-sinx=1,從而可得x0 cosx sin x 1 0lim In ylim y= lim elny =ex 0e1 =ex 0 x 0：:0型（對數求極限法）（1 lim - X 0 x【題型示例】求值:【求解示例】-ta n x解：令y = 1lx丿tanx<1 x，對In y求x； 0時的極限,lim In y =lim tanx In 丄7 T (X 丄1,兩邊取對數得In y =tanx InIn x負Ttan xd = -I

20、imta nxX2sec x2 xtan02 0sin x 0 .limsin2 x2sin x cosx = lim.limli mX0 x L X0xx 0.ilim In y n從而可得 lim y= lim eln y 二 ex 0e° =1x0x0o運用羅比達法則進行極限運算的基本思路0=0,o0(i)07QO0；通分獲得分式（通常伴有等價無窮小的替換）取倒數獲得分式（將乘積形式轉化為分式形式）取對數獲得乘積式（通過對數運算將指數提前）第三節泰勒中值定理（不作要求）第四節 函數的單調性和曲線的凹凸性O連續函數單調性（單調區間）（）【題型示例】試確定函數f xj=2x3-9x

21、2 12x-3的單調區間【求解示例】1 .V函數f X在其定義域R上連續，且可導 f x =6x2 -18x 122.令 f x 嚴6< -1x -2=0，解得：為=1,x2 = 2X(宀1)1(1,2)2（2,畑）fO)+00+f(x)極大值極小值3.（三行表）4.函數f X的單調遞增區間為-：，11,2,=；單調遞減區間為 1,2【題型示例】證明：當 x 0時，ex x 1 【證明示例】1. （構建輔助函數）設 x二eX-x-1 , （ x 0）2. x = ex -10 , （ x 0 ） x“'：；0 =0x3 .既證：當x 0時，e x 1【題型示例】證明：當 x 0時

22、，I 1 x x 【證明示例】1. （構建輔助函數）設 x = I 1 x ；- x, （ X 0 ）12. : x1 ： 0 , （ x 0）1 +x0=03 .既證：當x 0時，In 1 x xO連續函數凹凸性（）【題型示例】試討論函數y = 1 3x2 - x3的單調性、極值、 凹凸性及拐點【證明示例】2a 一2y"工6x 6 =-6 x-1y'3x x - 2 =0y = -6 x-1 =0解得:X1 =0,X2 =23.（四行表）【求解示例】解:J嚴1,1 df11 arctan x Ca ax(,0)0(0,1)1(1,2)2(2, Tyj0+X+0y+/+/yM

23、1U(1,3)5n4函數y =1 3x2 ->X單調遞增區間為（0,1）,（1,2）單調遞增區間為（-：,0） ,（2, ：）；23函數y=13x -x的極小值在x=0時取到，為f 0嚴1,極大值在x = 2時取到，為f 2 =5;函數y=1，3x2-x3在區間（-：,0）,（0,1）上凹，在區間（1,2）, （2,：）上凸；23函數y=1，3x -x的拐點坐標為1,3第五節函數的極值和最大、最小值O函數的極值與最值的關系（）設函數f x的定義域為D，如果 xM的某個鄰域U Xm 二D，使得對U Xm ，都適合不 等式 f X < f Xm ,我們則稱函數f （X ）在點Xm ,

24、f （Xm ）1處有極大值 f Xm ；令 Xm '、Xm 1 , 2 , XM 3,., XMn 匚貝網數f x在閉區間l.a,b 1上的最大值 M滿足:M 二 maxf a ,Xm1,Xm2,Xm3,，Xm. , f b /；設函數f x的定義域為D ,如果 xm的某個鄰域U xm 二D，使得對U Xm，都適合不等式 f X fXm,我們則稱函數f （ X J在點m, f （Xm ）處有極小值令Xm綣1,綣2山皿3,，Xmn?則函數f x在閉區間l.a,b 1上的最小值 m滿足:m=mirTf a , Xm1, Xm2,Xm3,., Xmn, f b /； 【題型示例】求函數 f

25、x =3x-x3在-1,3 1上的最值【求解示例】1.T函數f x在其定義域1-1,3 1上連續，且可導 f x3x2 32.令 f x - -3 x T x 1 =0,解得：X1=-1,X2=13.（三行表）x-1(-1,1)1(1,3】f'(X)0+0f(X)極小值.極大值04.又 f -1 - -2, f 1 i=2,f 3 - -18 f X max = f 1=2, f X min = f 3=-18第六節函數圖形的描繪（不作要求）第七節 曲率（不作要求）第八節方程的近似解（不作要求）第四章不定積分第一節不定積分的概念與性質O原函數與不定積分的概念（）原函數的概念：假設在定義

26、區間I上，可導函數F x的導函數 為F x ,即當自變量I時，有F'x = f x或 dF x = f x dx成立，則稱F x為f x的一 個原函數原函數存在定理：（）如果函數f x在定義區間I上連續，則在I上 必存在可導函數 F x使得F x = f x，也就是 說：連續函數一定存在原函數（可導必連續）不定積分的概念（）在定義區間I上，函數f x的帶有任意常數項C的原函數稱為f x在定義區間I上的不定積分,即表示為：f x dx = F xC（ 稱為積分號，f x稱為被積函數，f x dx稱 為積分表達式，x則稱為積分變量）O基本積分表（）O不定積分的線性性質（分項積分公式）（）兇

27、 f x k2g x dx = & f x dx k2 g x dx第二節換元積分法O第一類換元法（湊微分）（）（dy f x dx的逆向應用）門 1 x dx 二【題型示例】求21 2dx a +x1 1dx 1x aa1【題型示例】求Jdx【求解示例】11宀2" 2x 112、2x 1 a2x2JIJI:令 x = ata nt ( t2 2【題型示例】求【求解示例】1解：r ' dx'j2x+1【題型示例】求x :asint( . . t )22a2宣t a Jcos tdtJ(1 +cos2t gta2sin2t2 2解：2x 1=2x 1 CO第二類

28、換元法（去根式）（）（dy f x dx的正向應用）對于一次根式（a = 0,b R）:,ax b :令 t 二 一 ax b，于是 x = - b , a則原式可化為t對于根號下平方和的形式（a > 0）:x于疋t =arctan ，則原式可化為 a sect ； a對于根號下平方差的形式（ a 0）:221a. a -x :令 x = asin t ( t22n. x疋t =arcsin，則原式可化為 a cost ；ab. , x2 -a2 :令 x = a sect ( 0 t2口a是t二arccos，則原式可化為 ata nt ； x1dx （一次根式）,2x 1J J- td

29、t = f dt =t +C = J2x +1 +Cx t2 2dx 4dta2 -x2dx (三角換元)【求解示例】解:a2 -x2dxxt zarcsi n a dx 壬 costC 二;t sin t cost i 亠C第三節分部積分法O分部積分法（）設函數u二f x , v二g x具有連續導數，則其分部積分公式可表示為：udv二uv- vdu分部積分法函數排序次序：“反、對、幕、三、指”O運用分部積分法計算不定積分的基本步驟：遵照分部積分法函數排序次序對被積函數排序；就近湊微分：（v'dx dv）使用分部積分公式：udv = uv_ vdu展開尾項 vdu二v u dx，判斷a

30、. 若 v u dx是容易求解的不定積分，則直接計算出答案（容易表示使用基本積分表、換元法 與有理函數積分可以輕易求解出結果）；b. 若 v u dx依舊是相當復雜，無法通過a中方 法求解的不定積分，則重復、，直至出現容易求解的不定積分；若重復過程中出現循環， 則聯立方程求解，但是最后要注意添上常數C【題型示例】求ex x2dx【求解示例】解: ex x2dx = x2exdx = x2dex =x2ex 一 exd x2= x2ex -2 x exdx = x2ex - 2 x d ex= x2ex 2xex 2 exdx = x2ex -2xex 2ex Cx【題型示例】求.e sin x

31、dx【求解示例】解: ex sin xdx = - J exd （cosx ）= -ex cosx + Jcosxd（ ex ）=-ex cosx 亠 iex cosxdx = -ex cosx 亠 i exd sin x-ex cosx exsinx - sinxd exxxx=-e cosx e sinx- e sinxdx即：ex sin xdx - -ex cosx exs in x - sinxd exx1 xex sin xdx ex sin x-cosx C2第四節 有理函數的不定積分O有理函數（）設：P _ P x 二 a°xm a/ZamQ（x）qx=b0Xn+b1

32、Xn'+ bP（ x 對于有理函數，當P x的次數小于 Q x的Q（x）次數時，有理函數 旦' 是真分式；當P x的次數Q（x）P（ x 大于Q x的次數時，有理函數是假分式Q（x）O有理函數（真分式）不定積分的求解思路（）Pf X、將有理函數的分母Q x分拆成兩個沒有Q（x）公因式的多項式的乘積： 其中一個多項式可以表示.k為一次因式 X - a ；而另一個多項式可以表示為2i2二次質因式x2px q , （ p _4q ： 0）;即：Q x i=Q x Q2 xm I x n，則參數a - - n I m丿m（2 bc ''-2 ' x +Iaa丿a

33、x2 bx c 二 a i x2則參數p = b,q = ca a則設有理函數 P x的分拆和式為：Q（x）P x P xp2 xk少lQ x i i x - a i i x px q其中P（x） A +A?+ +Ak.kx-a x-ai ix-ax aP2 xM 1x N1M 2x N2T 22x2px q x px qx2 px qMX M2Ix px q參數 a,A,., Ak,仁，zNIN2數法（比較法）求出得到分拆式后分項積分即可求解X2【題型示例】求dx （構造法）' x +1【求解示例】JLUx xLXJdx= x-1 丄 dxX +1VX +1 丿1 1 2二 xdx

34、- dxdx x -x In x 1 C "1 2 * 丿 第五節積分表的使用（不作要求） 第五章定積分極其應用第一節定積分的概念與性質O定積分的定義（）（f x稱為被積函數，f x dx稱為被積表達式，x則稱為積分變量，a稱為積分下限，b稱為積分上限，a,b 1稱為積分區間）O定積分的性質（）bb a f Xdx= a f u dua a f X dX = 0b _-b a kf x dx 二 k a f Xdx（線性性質）bbba H f X k2g X dx 二人 a f X dx k2 a g x dx（5）（積分區間的可加性）bcba f XdX =* f XdX p f X dX若函數f x在積分區間a, b 1上滿足f x 0 ,b則 f xdx 0; a3（推論一）若函數f x、函數g x在積分區間a, bl上滿bb足 f X 乞 g X，則 f xdx g X dx;aTa（推論二）bL f（X）dx"af X dxO積分中值定理（不作要求）第二節微積分基本公式O牛頓-萊布尼茲公式（）（定理三）若果函數 F x是連續函數f x在區間 l.a,b 1上的一個原函數，則ba f X dx=F b -F aO