1、二次系統(tǒng)的一類四次代數(shù)曲線同宿環(huán)II    摘要： 給出一類二次系統(tǒng)的四次不變代數(shù)曲線，當給定參數(shù)滿足一定條件下，討論了系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性態(tài)。運用Dulac 函數(shù)法，得到了系統(tǒng)不存在極限環(huán)的充分條件。最后，得到其孤立閉分支構成系統(tǒng)的同宿環(huán)的充要條件，并給出相應系統(tǒng)的全局相圖。關鍵詞：二次系統(tǒng)；不變代數(shù)曲線；同宿環(huán)中圖分類號：O1751引言考慮具有鞍點的平面二次系統(tǒng)：（1）21 22 22 1( , )( , )dx cx y a x a xy P x ydtdy x cy x b xy b y Q x ydt = + + + = = + =這里1 2 1

2、 2 均為實參數(shù)。c 1,a ,a ,b ,b文1考慮了與平面0,1方向上系統(tǒng)的無窮遠奇點有四階接觸的四次不變代數(shù)曲線同宿環(huán)，其形式為：2 2 3 2 2 3 4 （2）30 21 12 03 40 F (x, y) = x y + a x + a x y + a xy + a y + a x = 0本文尋求與系統(tǒng)(1)在平面0,1方向上的無窮遠奇點有三階接觸和 ,1方向上的無窮遠奇點有一階接觸的四次不變代數(shù)曲線，其形式為：2 2 2 2 3 3 (3)30 21 03 40 F (x, y) = x y + a x y + a xy + a y + a x (x y) = 0由系統(tǒng)（1）的第

3、一個方程知，平面上 方向的無窮遠處有奇點,若曲線（3） 1 v = 0,1 1B為系統(tǒng)（1）的不變代數(shù)曲線，則系統(tǒng)在平面上 方向的無窮遠處有奇點。因為2 v = ,1 2 B二次系統(tǒng)的無窮遠處有三個奇點，所以假設系統(tǒng)在無窮遠處第三個奇點的方向為3 B 。3 v = ,1對系統(tǒng)做Poincare 變換，可知必須滿足關于的二次方程：x v , y 1z z= = , v2 ，1 2 2 1 v + (a +b )v + (a + b ) = 0于是由韋達定理可得： ， 1 2 2 1 a +b = ( + ),a + b =因此系統(tǒng)（1）可寫成：-2-（4）21 2 12 21 2 1( , )(

4、 ) ( ) ( , )dx cx y a x a xy P x ydtdy x cy x a xy a y Q x ydt = + + + = = + + + + + =這里1 2 均為實參數(shù)。c 1,a ,a , ,利用Batin 公式【8】， F (x, y ) 必須滿足下面的恒等式：1 1 （5） ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) x y F x y P x y + F x y Q x y = L x y F x y其中設F (x, y ) 的協(xié)變因子L(x, y) = 2c + Ax + By 。借助Mathematic 軟件計算， 比較各恒等式

5、中各同類項的系數(shù)， 可得：及系統(tǒng)（4）和曲線（3）的系數(shù)應滿足如下9 個方程： 1 2 A = + 4a ,B = 4a （6）2 032 12 1 032 12 031 30 211 21 12 032 30 21 1240 1 03 212 30 1 21 12 40 402 21(2 ) 0( ) (3 2 ) 02 02 02 2 2 3 02 2 3 2 0(2 ) ( ) 0( ) ( ) 2( 2 ) 0(2a aa a a aa a caa ca aa a ca aa a ca ac a a a aa a a a a c a aa a + = + + + =+ + + = +

6、+ = + + + + =+ + + + = + = + + = + 1 12 40 03 a )a 3( a a ) 0 + + =2.主要結果方程組（ 6 ）的代數(shù)流形解集是很豐富的。由于篇幅的限制， 本文僅討論在條件下方程組（6）的解集，借助Mathematic 軟件計算，經(jīng)仔細篩選分析之后12 03 a = a = 0得到兩組條件下系統(tǒng)（4）有同宿環(huán)的情形如下。（1）： ， ， ， ， ，243cc = + 2 = c21 2(1 )2(3 )a c cc+= +22 3 2cac= +230 223cac+= +21 2 ， ，33a cc= + 12 03 a = a = 0240

7、 4(3 2 )a cc=+相應的系統(tǒng)為：（7）2 222 22 22 22 2(1 )2(3 ) 3(6 ) 33 3dx cx y c c x c xydt c cdy x cy x c c xy c ydt c c += + + + = + + +其不變代數(shù)曲線為：2 22 2 3 2 31 2 2 2 2( , ) 2 3 ( 4 ) 03 3 4(3 ) 3F x y x y c x c x y c x x c yc c c c-3-（2）：2 3 22 3 4 2(1 )(1 4 ) , ( 1)( 1) , 3( 1) ,(1 )(1 ) 1 2 2 5 2 5c s s s s

8、 s ss s s s s s s s + + + = = =+ + + + + + + +2 2 2 2 41 2 3 4 2 2 3 4( 1)(1 4 )(3 4 3 ) , 3( 1) ( 1) ,2(5 2 5 )(1 2 2 ) 2(5 2 5 )(1 2 2 )a s s s s s a s ss s s s s s s s s s + + + += = + + + + + + + + + +2 2 4 2 2 230 2 3 4 21 2 3 44(1 ) (1 ) , 4( 1)(1 ) ,(5 2 5 )(1 2 2 ) (5 2 5 )(1 2 2 )a s s s a

9、s s ss s s s s s s s s s+ + + + += =+ + + + + + + + + +2 2 2 212 03 40 2 2 3 40, 2( 1) (1 )(5 2 5 ) (1 2 2 )a a a s s ss s s s s + += = =+ + + + +相應的系統(tǒng)為：2 2 2 2 2 422 2 3 4 2 3 42 2 2 3 422(1 )(1 4 ) ( 1)(1 4 )(3 4 3 ) 3( 1) ( 1)(1 )(1 ) 2(5 2 5 )(1 2 2 ) 2(5 2 5 )(1 2 2 )(1 )(1 4 ) ( 1)(19 44 18 44

10、 19 )(1 )(1 ) 2(5 2dx s s s x y s s s s s x s s xydt s s s s s s s s s s s s sdy x s s s y x s s s s sdt s s s= + + + + + + + + + + + + + + + + + + += + + + + + + + + + + +2 422 3 4 2 3 4(8)9( 1) (1 )5 )(1 2 2 ) 2(5 2 5 )(1 2 2 )xy s s ys s s s s s s s s s + + + + + + + + + +不變代數(shù)曲線為：2 2 4 2 2 22 2 3

11、 22 2 3 4 2 3 4( , ) 4(1 ) (1 ) 4( 1)(1 )(5 2 5 )(1 2 2 ) (5 2 5 )(1 2 2 )F x y x y s s s x s s s x ys s s s s s s s s s+ + + + += + + + + + + + + + + +2 2 2 2 332 2 3 4 3 42( 1) (1 ) ( ( 1)( 1) ) 0(5 2 5 ) (1 2 2 ) 1 2 2s s s x x s s ys s s s s s s s + + + =+ + + + + + + +對第一種情形，在xoy 平面的Poincare 緊化

12、圓盤上畫曲線圖形。因在1 c < 0 的情形，只要令x = x , y = y ,t = t ,c = c ，則系統(tǒng)形式不變，故以下僅對0 c 1的情形進行研究。（i）當c = 0 時， 退化為。1 F (x, y ) = 0 2 2 31( , ) 2 03F x y = x y x =令y = kx 得到的參數(shù)方程： 1 F (x, y ) = 0223 (1 )23 (1 )2x ky k k = = (k R,k為參數(shù))可知：當k = 0 時， 3 , 0; 當時， 。2x = y = k = ±1 x = y = 0（ii）當0 < c < 1時，將y =

13、 kx 代入得： 1 F (x, y ) = 02 2 22 22 2 21 2 3 (3 4 ) 03 4(3 )k ck c x c ck c xc c+ + + + + =+ +解之得：-4-2 2 21 2 22 2 22 2 22(3 )2 3 (1 ) 4 4 (3 4 )2(3 )2 3 (1 ) 4 4 (3 4 )x c ck c ck ck cc ck cx c ck c ck ck cc ck c + + + + + + =+ + = + + + + + + + +從而可得的兩個分支為： 1 F (x, y ) = 0111( , ):( , )x x c kLy kx

14、c k= =222( , ):( , )x x c kLy kx c k= =令則當時， 。        2 21 2 34 , 1 , 3 ,4 4k c k k cc c c+ += = = 0 < c < 1 1 2 3 k < k < k由的表達式可知：當時， 消失于復數(shù)域，即除原點外，與1 2 x , x 1 k < k 1 2 x , x y = kx沒有交點。1 F (x, y ) = 0故以下僅對當時的情況進行討論。1 k k（ 1 ） 當時， ， 即與在點1 k =

15、 k2 21 2 2( 4)( 3)2x x c cc += = 1L2 L匯合；2 2 4 23 2 3( ( 4)( 3) , ( 16)( 3) )2 8D c c c cc c + +（2）當時， ，即與在點匯合； 2 k = k21 2 2x x 2(c 3)c+= = 1L2 L2 22 2 3D ( 2(c 3) , 2(c 3)c c+ +（3）當時， ； 3 k k2 21 2 2, (9 )(3 )4x x c cc + （4）當k = 1時， ；21 2 20, 4(2 )(3 )( 3)x x c cc c += = （5）當k = 0 時， ；2 2 2 21 2 2

16、 2x 2(2 c 4 c ) , x 2(2 c 4 c )c c+ + + + += =（6）當k = 1時， ；21 2 20, 4(2 )(3 )(3 )x x c cc c+ += =+（7）當k + 時， 。1 2 x ,x +因此，當k 從0 連續(xù)增加變化到1 再連續(xù)增加變化到+ 時， 上的點連續(xù)變化路徑1L為： 方向上的無窮遠點;2 21 2C ( 2(2 c 4 c ) , 0) Oc+ + （0，0）（0，1） 1B當k 從0 連續(xù)減少變化到-1 再連續(xù)減少變化到時， 上的點連續(xù)變化路徑為： 3 k 1L1 2 方向上的無窮遠點;43C O cc +（- ，1） 2 B當k

17、 從連續(xù)減少變化到再連續(xù)減少變化到時， 上的點連續(xù)變化路徑為： 3 k 2 k 1 k 1L方向上的無窮遠點；243cc +（- ，1） 2 2 3 B D D當k 從0 連續(xù)增加變化到+ 時， 上的點連續(xù)變化路徑為： 2 L-5-方向上的無窮遠點；2 21 2D (2(2 c 4 c ) ,0)c+ + +（0，1） 1B當k 從0 連續(xù)減少變化到再連續(xù)減少變化到時， 上的點連續(xù)變化路徑為： 2 k 1 k 2 L。1 2 3 D D D（ iii ） 當c = 1 時， 2 3 。可見， 四次曲線1( , ) ( )( 3 1 ) 04 16F x y = x + y x x + x y

18、=是由一直線和三次曲線構成。1 F (x, y ) = 0 y = x 3 2 1 34 16y = x x + x基于上述的計算和分析，可繪出曲線的圖形如下： 1 F (x, y ) = 0圖1 當c = 0 時， 圖2 當0 < c < 1時， 圖3 當c = 1時的圖形的圖形的圖形1 F (x, y ) = 0 1 F (x, y ) = 0 1 F (x, y ) = 0由圖2 可知，當0 < c <1時， F (x, y ) = 0有兩個非孤立緊分支。其中位于區(qū)域1 2 , 1 內(nèi)， 位于區(qū)域內(nèi)。1 = (x, y) y < x < + 2 22(

19、 , ) 4 1 , 04x y c y xc x c = + < < > 采用類似于第一種情況的分析方法，可畫出第二種情況的不變代數(shù)曲線圖形如下。經(jīng)分析知，對應。當時， ；當時， ；當33 5 5 334 2s + c 1 s = 1 c = 0 33 54s= c = 1時， 。令（其中為斜率）5 332s += c = 121 2 21, 37 5 331 21 5 33K s Ks+ = = 1 2 K ,K圖4 當s = 1時， 圖5 當33 5 1 時， 圖6 當時，4s< < 33 54s=的圖形的圖形的圖形2 F (x, y) = 0 2 F (x

20、, y) = 0 2 F (x, y) = 0-6-3.系統(tǒng)（7）的定性分析首先考慮無窮遠奇點xoy 平面上三個方向 ,1, 1, 2,3 ，相應的奇點記為，其中j v j = j B。1 2 2 30, 4 ,3 2v v c v cc= = = = = +其次考慮有限平面奇點。設系統(tǒng)（ 7）有限平面奇點所在的直線為y = kx ，聯(lián)立P (x, y ) = 0,Q (x, y ) = 0，可得k 及有限平面奇點的表達式：2 21 2 2 4 1 2 2 4 1 1 122 2 2 2 2 22 2 4 2 2 2 43 3 2 2 3 3 30, 0(5 ) , 2(3 ) ,3 3 3(

21、3 4 ) 3 3(3 4 )1 , 2(3 ) ,3 3 3(3 4 ) (3 )(3 3(3 4 ), ,6 (3 )x yk c c x c y k xc c c c c ck x c y k xc cc c c c c c ck x y k xc c c= = s s s s s s + + + + + + + + =記有限平面奇點為' ' '1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 O(0, 0), A (x ,k x ), A (x ,k x ), A (x ,k x )奇點的性態(tài)如表2表2 系統(tǒng)（8）的奇點性態(tài)表其中s,c, f , f u ,n,n

22、u 分別表示鞍點，中心，焦點，不穩(wěn)定焦點，結點，不穩(wěn)定結點由' ' '的坐標表達式可知，奇點在不變代數(shù)曲線上，奇點1 2 3 A , A , A ' '2 3 O, A , A 2 F (x, y) = 0 '1 A不在不變代數(shù)曲線上。當取Dulac 函數(shù)1 時，類似可證系統(tǒng)（8）不存在極限2 D = F (x, y)環(huán)。同時，可繪出系統(tǒng)（8）的全局相圖如下：O '1 A'2 A'3 A'1 B'2 B '3 Bs = 1 s c 與' 重合1 B與' 重合1 B五重奇點與'

23、 重合1 B與' 重合1 B33 5 14s< < s f n snu nus3 3 54s = 高次奇點f n 與O 重合nu s s-9-圖10 當s = 1時， 圖10 當33 5 1時， 圖10 當時，4s< < 33 54s=系統(tǒng)（8）的全局相圖系統(tǒng)（8）的全局相圖系統(tǒng)（8）的全局相圖通過分析可知：定理1 當s = 1時，原點O 為鞍點，有連接O 的同宿環(huán)，其內(nèi)部奇點為中心；當時， 原點O 為鞍點，有連接O 的內(nèi)側不穩(wěn)定同宿環(huán)位于區(qū)域33 5 14s< < 1 內(nèi)，其內(nèi)部奇點為穩(wěn)定焦點； 1 = (x, y) y < x < +

24、當時，同宿環(huán)存在，只是穩(wěn)定性改變； 1 33 52s+< < 1當時，原點O 為高次奇點，有連接O 的內(nèi)側不穩(wěn)定同宿環(huán)位于區(qū)域33 54s = 2 內(nèi)，其內(nèi)部奇點為穩(wěn)定焦點； 1 = (x, y) y < x < +系統(tǒng)（8）存在雙同宿環(huán)的充要條件是。33 5 33 54 2s + A class of Quartic Algebraic Curves Homoclinic Cyclesof Quadratic System IINI Chunxia ，Huang Meihua，LI XuepengSchool of Mathmatics and Computer Sc

25、ience,Fujian Normal University,Fuzhou,Fujian（350007）AbstractThe paper is devoted to the quartic invariant algebraic curves in quadratic system. By using stabilitymethods,when the given parameter meets certain conditions,the stability of equilibrium isdiscussed.The sufficient condition for inexistence of the limited ring is gor by using the method ofDulac function.We obtain sufficient and necessary