1、§2.1 圓的標準方程教學目標（ 一 ） 知識與能力1. 了解確定圓的條件 ;2. 理解圓的標準方程的推導過程及方程形式 , 逐步理解用代數方法研究幾 何問題 ;3. 會用圓的標準方程寫出圓的半徑和圓心坐標 , 能根據條件寫出圓的標準 方程, 能選擇恰當的坐標系解決與圓有關的實際問題 .(1.2.(1.2.3.二）過程與方法 由確定圓的條件推導出圓的標準方程 ; 明確求圓的標準方程的一般步驟 .三）情感態度與價值觀 滲透數形結合的思想方法 ; 培養學生的思維品質和提高學生的思維能力 . 培養學生合作交流的意識 , 培養勤于思考、探究問題的精神 .教學重點1. 已知圓心為 C（a,b）

2、 , 半徑為 r 的圓的標準方程的求法 ;2. 在求圓的標準方程的過程中 , 加強對坐標法的理解 . 教學難點根據已知條件 ,利用待定系數法確定圓的三個參數 a,b,r ,從而求出圓的標準方程.教具準備制作多媒體 , 輔助教學 .教學方法 引導、合作、討論、探究法 .設計思想 設計的根本出發點是促進學生的發展。 教師以合作者的身份參與， 課堂上建 立平等、互助、融洽的關系，師生共同研究，在教學過程中，教師遵循數學發展 規律，并依據建構主義教育理論， 創設一系列數學實驗環境， 在情境中讓學生觀 察、類比、猜想、嘗試、探索、歸納并引導加以證明，強調主動建構，從深層次 加強學生對知識的感知度，使學生

3、能更好地理解和掌握圓的標準方程。教學過程（ 一） 課題引入1.圓的定義：平面內繞著線段的一個端點旋轉一周所組成的圖形.（ 描述性定義 ） 探究圓的幾何特征 （學生討論 ）教師總結：圓的幾何特征是圓上任意一點到定點的距離等于定長 .說明：（1） 定點叫圓心 ,定長稱為半徑 ;探究：確定圓的條件 （學生討論）教師總結 ： 一個圓的圓心位置和半徑一旦給定 , 那么這個圓就被確定下來了 , 所以確定圓的條件是圓心和半徑.說明：在確定圓的條件中，圓心和半徑缺一不可，其中：圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小.2.圓的定義：平面內到一個定點的距離等于定長的點的軌跡(集合).(運動變化的思想)說明:(1)其中

4、定點叫做圓的圓心，定長叫做圓的半徑.(2)設圓心為C( a, b),半徑為r ( r >0 )的圓上的點M 就是集合寫出適合條件的點M的集合; 用坐標表示集合；化方程為最簡形式.P = m| mc =:3. 曲線方程的一般求解步驟(2)(3)(二)圓的標準方程圓的標準方程的推導過程：(圓心為C(a,b),半徑為r(r:>0)的圓)設P(x,y)是圓上的任意一點,根據圓的定義，點P(x,y)到圓心C(a,b)的距離為r,即|P C|=r,由兩點間的距離公式，得J(x-a)2 +(y-b)2 =r 把式兩邊平方，得圓的標準方程為：(X-a)2+(y -b)2 = r2說明：(1)圓的標

5、準方程中有兩個基本要素：圓心和半徑，即只要三個參數a,b, r (r >0),確定了，圓的標準方程就確定了 ，這也是用待定系數法求圓的標準方程的思想方法；(2)特別地，當a=b=0 (即圓心在坐標原點)，時，圓的標準方程為:X2 + y2 =r2;又當r =1時，圓的標準方程為x2 + y2 =1(單位圓);(3)點與圓的位置關系：點在圓上，點在圓內，點在圓外.及時反饋 口答1:下列說法正確嗎？(1)圓(X -1)2 +(y 2)2 =3的圓心坐標為(T,2),半徑為3; 圓(2X-2)2+(2y+4)2 =2的圓心坐標為(2, Y),半徑為72 ; 圓(x+1)2 +(y+2)2 =m

6、2(m H0)的圓心坐標為(-1,-2),半徑為m ;口答2:下列方程分別表示什么圖形？(1) x +y =0;(2) x +y =4;(3) y = J4-X ; (4) y =<0);口答3:已知圓0的方程為(X +1)2 + (y 1)2 = 4 ,判斷下列點與圓0的位置關系：(1) A(1,1); (2)B(0,1); (3)C(0,3)口答4:寫出滿足下列條件的圓的標準方程.(1)以C(4, _6)為圓心,半徑等于3以C(#6)為圓心,半徑等于73(三)例題解析例.已知兩點MjS®), M2(6,3),求以MM 為直徑的圓的標準方程.解:方法一(待定系數法).設圓心為

7、C(a,b),半徑為r ( r >0)r = CM 1=J(4 -5)2 +(9-6)2 二后故所求圓的標準方程為(X -5)2 +(y -6)2 =10變式1.已知圓C的圓心在直線標準方程.解：線段MjM?的中垂線方程為x-3y+13=0lx = -14x + y = 0畀=4F曲4.9)C4x + y=0上,且過點MjSE), M2(6,3),求此圓的X-3 y+13 = 0,即圓心坐標為C(-1,4),2 2 2 2又 r = M1C =(4(1) +(94) =50,故所求圓的標準方程為(X+1)2+(y-4)2 =50變式2.已知 M1M2M3三個頂點的坐標為M1(4,9),

8、M2(6,3), M3(4, -3),求此三角形外接圓的標準方程.解：線段M1M2的中垂線方程為X-3y+13 = 0,線段M1M3的中垂線方程為y = 3lx 3y+13=0 lx = 4由ty=3ySy =3即得圓心C的坐標為又 r2 =(-4-6)2 +(3-3)2 =100 故所求圓的標準方程為(x+4 )2 +(y-3)2 =100總結用待定系數法求圓的標準方程的一般步驟：(1)根據題意，設所求圓的標準方程為(X a)2 +(y b)2 = r2(2)根據已知條件,利用幾何或代數關系求出a,b,r ;(3)將所得的a,b,r的值代回所設的圓的方程中,即得圓的標準方程.(四)測試反饋1

9、. 課本P79練習2. 求滿足下列條件的圓的標準方程：(1)經過點P(5,1),圓心為點C(8, -3);如圖,圓經過兩點A( 1,4), B(3,2),圓心在y軸上.解(1)方法一 ：r = PC =5, 圓的標準方程為(X-8)2方法二：設圓的標準方程為(X-a)2+(y -b)2 =r2, 點P (5,1)在圓上, (5 -8)2 +(1 +3)2 =r2, r2 =25, 圓的標準方程為(x-8)2 +(y + 3)2 =25方法一：設圓心為C(a,b), 圓心在在y軸上，二a =0,設圓的標準方程為X2+(y -b)2 =r2,因為該圓過A(-1,4),B(3,2)兩點，所以有(-1

10、)2 + (4-b)2=r232+(2-b)2=r2=巴" ,所以圓的標準方程為X2+ (y-1)10r =10方法二：線段AB的中垂線方程為：y -3 = 2(x-1),即y =2x +1,令x = 0,得y =1,又 r = AC= 710 ,所以圓的標準方程為X2 + (y -1)2 =103.求以C(1,3)為圓心,并且和直線3x -4y -7 =0相切的圓的標準方程.解:以題意,圓的半徑-右所以圓的標準方程為：(X-1)2+(y-3)23咒14咒37(五)課時小結(1) 確定圓的條件；(2) 圓的標準方程的形式和求法.(六)布置作業(1) P85 習題 A組 1 (1),(

11、2),(3)（2）問題延伸，課外探究:（i ）已知圓的方程為X2 + y2 = r2,試求過圓上一點P（X0, yo）的切線方程.（ii）已知圓的方程為（X a）2 +（y b）2 = r2,試求過圓上一點 P（X0, y。）的切線方程.（七）板書設計§ 2.1圓的標準方程（一）課題引入（1.初中對圓的定義三）例題解析例1(四）課堂演練2.高中對圓的定義變式1（二）圓的標準方程變式2例2（五）課時小結說明例3（八）課后反思本節在給出圓的標準方程的過程中， 運用簡單、特殊的到復雜、一般的數學 思想，使用了觀察、猜測、經驗歸納等方法進行合情地推理，同時引導學生對照 圓的幾何形狀，觀察和欣賞圓的方程，體會數學中的美一一對稱、簡潔。圓的標 準方程的應用是本節的難點。為了突破難點，設計三個例題。充分利用多媒體的 動感演示，刺激學生的感官，引起更強的注意，從而使學生理解理論來源于實踐， 充分調動學生學習數學的熱情，激發學生自主探究問題的興趣，增強應用意識； 同時培養學生勇于探