1、v1.0可編輯可修改用空間向量解立體幾何題型與方法9平行垂直問題基礎知識直線l的方向向量為a=(ai,bi, Ci).平面 a,B的法向量u = (4, b3,C3), v=(a4, b4,C4)(1)線面平行：l / a ? a，u? a u = 0? a1a3+ bib3+CiC3= 0(2)線面垂直：l，a? a/u? a=ku? a = ka3, bi=kb3, Ci=kC3(3)面面平行：a / B? u / v? u=kv? a3 = ka4, b3=kb4, C3=kC4 面面垂直：a，B?u，v?uv = 0? a3a4+ b3b4+ c3c4= 0 例1、如圖所示，在底面是矩

2、形的四棱錐 P- ABC沖，PZ底面ABCD E, F分別是PC, PD的中點，PA= A五 1, BG= 2.(1)求證：EF/平面PAB(2)求證：平面PADL平面PDG 證明以A為原點，AB, AD, AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖1,11所小，則 A(0,0,0) , B(1,0,0) , G(1,2,0) , D(0,2,0) , P(0,0,1)，所以 E, 1,萬，F 0, 1, 2 ,1- 2，0,0 , PB = (1,0 , 1),噌=(0,2 , 1) , AP = (0,0,1),= (0,2,0),= (1,0,0),點= (1,0,0)

3、.即 EF/ AB又AB?平面PAB EF?平面PAB所以EF/平面PAB(2)因為AP 噌= (0,0,1) - (1,0,0) =0, 噌= (0,2,0)(1,0,0) =0,所以,即 API DC ADL DG又APn AD= A, AP?平面PAD AD?平面PAQ所以DC1平面PAD因為DC?平面PDQ所以平面PADL平面PDCEG =0+22=0,使用空間向量方法證明線面平行時，既可以證明直線的方向向量和平面內一條直線的方向向 量平行，然后根據線面平行的判定定理得到線面平行，也可以證明直線的方向向量與平面的法向 量垂直；證明面面垂直既可以證明線線垂直，然后使用判定定理進行判定，也

4、可以證明兩個平面的法向量垂直.例2、在直三棱柱 ABC ABG中，/AB生90° , BG= 2, CG= 4,點E在線段BB上，且EB=1, D, F, G分別為CC, GB, CA的中點.求證：(1) BD，平面ABD(2)平面EGF/平面ABD證明：(1)以B為坐標原點，BA BC BB所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角 坐標系，如圖所示，則 B(0,0,0) , U0,2,2) , Bi(0,0,4),設 B天a,則 A(a, 0,0),所以 BA = (a,0,0) , BD=(0,2,2) , BlD=(0,2 , 2),小尸BlD BA = 0, BlD -噌

5、=0 + 4 4 = 0,即 BD± BA BiD>± BD又BAH BD= B,因此BD,平面ABD笈4弓-a . ._a . .(2)由(1)知，E(0,0,3) , Ga, 1, 4 , F(0,1,4),則 EG = a, 1, 1 , EF= (0,1,1)，以=0+2 2 = 0,即 BQ,EG BD,EF.又EG? EF= E,因此BD,平面EGF 結合(1)可知平面EGF/平面ABD利用空間向量求空間角基礎知識(1)向量法求異面直線所成的角：若異面直線 a, b的方向向量分別為a, b,異面直線所成的角|a - b| 為 8 ,貝U cos 0 =|c

6、os a, b> | = ：-tt-tt. |a| b|(2)向量法求線面所成的角：求出平面的法向量n,直線的方向向量a,設線面所成的角為9 ,| n - a |貝U sin 8 = |cos n, a| =：-.1n| a|(3)向量法求二面角：求出二面角民l B的兩個半平面a若二面角a一l B 所成的角 0 為銳角，則 cos 0 =|cos <nb n2> | =| n1 n2| ；| n1| n2|若二面角al B 所成的角 0 為鈍角，則 cos 0 = |cos <nb n2> | =- | n' n2|.1n川 n2|例 1、如圖，在直三棱柱

7、 ABC- ABC中，AB±AC AB= AC2, AA= 4,點D是BC的中點. 求異面直線A1B與CD所成角的余弦值;(2)求平面ADC與平面ABA所成二面角的正弦值.解(1)以A為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系 A xyz,則70,0,0) ,B(2,0,0),qo,2,0) , D(1,1,0) , A(0, 0,4) , G(0,2,4),所以喘因為cos| AX CD|18|二 20X 18所以異面直線AB與GD所成角的余弦值為 斗10= (2,0 , -4), C1D=(1 , 1, -4)._3/1010 ' 設平面ADC的法向量為Q=(x, y, z

8、),因為AD =(1,1,0),(0,2,4)，所以 m AD=0, n1 =0,即 x + y = 0且 y+2z = 0,取 z=1,得 x = 2, y= 2,所以，ni = (2, 2,1)是平面ADC的一個法向量.取平面 ABA的一個法向量為 止=(0,1,0).設平面ADC與平面ABA所成二面角的大小為9 .由 |cos 0 | 二n1 , n2| n1| n2|也X小2 /口八 5=3，得 sin 9=3.5因此，平面ADC與平面ABA所成二面角的正弦值為 .3例 2、如圖，三棱柱 ABC ABG 中，CA CB AB= AA, /BAA = 60以O為坐標原點,的方向為x軸的正

9、方向，|OA|為單位長，建立如圖所示的空間直角X +迅Z=0,可取 n=(73, 1, -1).即x + V3y = 0.所以AC與平面BBGC所成角的正弦值為10 "V(1)證明：AB，AC； 若平面ABCL平面AABB, AB= CB求直線AiC與平面BBGC所成角的正弦化解(1)證明：取AB的中點O,連接OC OA, AiB.因為CA= CB所以OCLAB由于AB= AA, /BAA= 60° ,故 AAB為等邊三角形，所以 OA,AB因為OCT OA = 0,所以AB1平面OAC.又 AiC?平面 OAC,故 AB± AC(2)由(1)知OCLAB, OA

10、,AB又平面ABCL平面AABB,交線為AB,所以OCL平面AABB,故OA OA, OCM兩相互垂直.坐標系。xyz.由題設知 A(1,0,0) , A(0,事,0), C(0,0 , 3) , B( - 1,0,0). = AA1 = ( 1,木,0), S=(0, -3, V3).設n = (x, y, z)是平面BBCC的法向量,(1)運用空間向量坐標運算求空間角的一般步驟:建立恰當的空間直角坐標系；求出相關點的坐標；寫出向量坐標；結合公式進行論 證、計算；轉化為幾何結論.(2)求空間角應注意：兩條異面直線所成的角 a不一定是直線的方向向量的夾角 B ,即COS a =|COS B |

11、.兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能兩法向量夾角的補角為所求.例3、如圖，在四棱錐 S- ABC時,AB±AD AB/ CD C* 3A五3,5平面 SADL 平面 ABCD E 是線段 AD上一點，AE= EA J3, SEX AD/ A(1)證明：平面SBEL平面SEC(2)若S91,求直線CE與平面SBCf成角的正弦值.解：(1)證明：二.平面SADL平面ABCD平面SAD1平面ABCR AD, SE?平面SAD SEX AD SEEXT面 ABCD BE?平面 ABCD SE，BE AB, AD AB/ CD C5 3AB= 3, AE= ED=品 . . /

12、AEB= 30° , / CE氏60° . . / BEC= 90° ,gp BE± CE又 SEA CE= E, . . BE,平面 SECBE?平面 SBE平面SBEL平面SEC(2)由知，直線ES, EB, EC兩兩垂直.如圖，以E為原點，EB為x軸，EC為y軸，ES 為 z 軸，建立空間直角坐標系.則 E(0,0,0) , C(0,2 V3, 0), S(0,0,1) , B(2,0,0),所以CE = (0, -2a/3, 0), CB = (2, -273, 0), CS=(0, -23, 1).設平面SBC的法向量為n=(x, y, z),

13、n CB = 0,2x 2 鎘y=0,廠 廠 J-K則 T即令y=1,得 x=<3, z = 2«3,/ ：An CS=0.-2/3y + z = 0.#億:七則平面SBC的一個法向量為n = (43, 1,2m).n CE設直線CE與平面SBC所成角的大小為9 ,則sin 9 = | 1nn | 澄| | =：,1故直線CE與平面SBC所成角的正弦值為4.例4、如圖是多面體ABC ABG和它的三視圖.(1)線段CC上是否存在一點E,使BE，平面AiCC若不存在，請說明理由,若存在，請找出并證明;(2)求平面CAC與平面ACA夾角的余弦值.解：(1)由題意知AA, AB, AC

14、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標系,A(0,0,2) , B(-2,0,0) , q0, 2,0) , G( 1, 1,2),則= (T,1,2)則 A(0,0,0),，B =( 1,-1,0),=(0, 2, -2).設 E(x,= (x, y+2，z),人 >0),=(一 1 一 x, 一 1 一 y, 2 一 z).設x= 一入一入x ,則y+ 2=入一入y ,z= 2入入z,入 2入則 E 1+ L 1+ 入'2人1+入，2+入 一2一入1+入'1+入'2人1+人.H由=0,=0,解得人=2,2+入 2+入1+入+1+入=0一 2 一人 2人1+入+1

15、+入=0所以線段CC上存在一點E,使BE1平面ACC.=0,=0,一 x一 y 二 0,2y 2z = 0,m.設平面CAC的法向量為m= (x, y, z),則由m-A1取 x=1,則 y= 1, z=1.故 m= (1 , 1,1),而平面 ACA的一個法向量為 n = (1,0,0),貝 cos <m,n)故平面GAC與平面AiCA夾角的余弦值為利用空間向量解決探索性問題例1、如圖1,正4ABC的邊長為4, CD是AB邊上的高，E, F分別是AC和BC邊的中點，現將ABC& CD®折成直二面角A- DC B(如圖2). 試判斷直線AB與平面DEF的位置關系，并說明

16、理由;求二面角E- DE C的余弦值；BP,在線段BC上是否存在一點P,使API DE如果存在，求出bc勺值；如果不存在，請說明 理由.解 在ABCt,由E, F分別是AC, BC中點，得EF/ AB又AB?平面DEF EF?平面DEF . .AB/平面 DEF(2)以點D為坐標原點，以直線DB, DC DA分別J為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則 A0,0,2) , B(2,0,0) , q。, 2小,0), E(0 ,1), F(1 ,木,0), DF = (1,木,0), DE=(0, 限 1), DA =(0,0,2).則平面CDF的法向量為DA = (0,0,2).設平面ED

17、F勺法向量為n = (x, y, z),x+J3y = 0,廠即廠取 n = (3, -f3, 3),>/3y + z = 0,cos7 ，所以二面角E- DR C的余弦值為217存在.設 P(s, t, 0),有嫌=(s, t, 2), WjAP 短=x/3t2=0,.=羋, 3把1=卒代入上式得s = 4, 33= (s2, t, 0), pC = (s, 2吸t, 0), vBP/pC, (s-2)(2 -t) = -st ,. .淄s + t =2姆.BP 1在線段BC上存在點P,使AP, DE 此時，M彳-.BC 31空間向量法最適合于解決立體幾何中的探索性問題，它無需進行復雜

18、的作圖、論證、 推理，只需通過坐標運算進行判斷.2解題時，把要成立的結論當作條件，據此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉化 為“點的坐標是否有解，是否有規定范圍內的解”等，所以為使問題的解決更簡單、有效，應善于運用這一方法.例2、.如圖所示，在直三棱柱 ABC AB1G中，/ AC氏90° , AA= BC= 2A提2.若D為AA中點，求證：平面BCDL平面BCD;(2)在AA上是否存在一點D,使得二面角Bi- CD G的大小為60°解：(1)證明：如圖所示，以點C為原點，CA CB CC所在直線分別為x, y, z軸建立空間直角坐標系.則 C(0,0,0) , A(1,

19、0,0) , Bi(0,2,2) , G(0,0,2)= (0,2,0),由= (-1,0,1)，D(1,0,1)= (1,0,1) .- CD = (0,2,0) (1,0,1)=0+0+0= 0,±cd ,即 CBCDv1.0可編輯可修改= ( 1,0,1)(1,0,1)=1 + 0+1 = 0,得,即 DC，CD又 DCnGB=C,.CDL平面 BCD 又 CD?平面 BCR平面 BCDL平面 BCD設A*a,則D點坐標為(1,0 , a),= (1,0 , a) , Cb(= (0,2,2), 存在.當AD=乎AA時，二面角B- CD C的大小為60° .理由如下:

20、設平面BCD的法向量為mn= (x, y, z),2y+2z = 0, x + az=0,令 z= 1,得 m= (a, 1, 1).又丁= (0,2,0)為平面GCD的一個法向量，則cos 60 0解得a= 42(負值舍去)，故A4也=.,.在AA上存在一點D滿足題意.空間直角坐標系建立的創新問題空間向量在處理空間問題時具有很大的優越性， 能把“非運算”問題“運算”化，即通過直線的 方向向量和平面的法向量解決立體幾何問題. 解決的關鍵環節之一就是建立空間直角坐標系， 因 而建立空間直角坐標系問題成為近幾年試題新的命題點.一、經典例題領悟好例1、如圖，四棱錐P- ABC時,PAL底面ABCD

21、B捻C*2, A捻4,_ _ 九 _/AC氏 Z ACD= , F 為 PC 的中點，AF± PB 3求PA的長；求二面角B- AF- D的正弦值.(1)學審題一一審條件之審視圖形由條件知ACL BD底gDB AC分別為x, y軸一-寫出A, B, C, D坐標一P2面AbCD設PPF= CFAF± PB.坐標 > 可行F坐標 > AFPB=0彳3P坐標并求PA長.(2)學審題由(1)AF, AB的坐標向量n1, n2分別為平面FAD平面FAB勺內向量. AD=0 且 n1.AFL0求得n1 - n2求得夾角余弦.立v1.0可編輯可修改解(1)如圖，連接BD交A

22、C于O,因為BG= CD,即BCM等腰三角形，又AC平分/ BCD故AC! BD以O為坐標原點,的方向分別為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空15間直角坐標系 Q xyz,則。:CDCos -=i.而 AC= 4,得 AO= AC-OC= 3.又 O*Ctsin=，3， 33故A(0, 3,0),蛻也，0,0), qo,i,0), 口一V3, 0,0).z=0, 2， 2 ,=(m，3, z), AF±PB,故奈因PAL底面ABCD可設P(0 , 3,z).由F為PC邊中點，知F0, 1,2.又號FPB = 0,即 6 ( = 0, z = 23(舍去一2/3),PA | 二2g(2)

23、由(i)知 AD =(-V3, 3,0) , AB=(質,3,0),aF =(0,2 ,、/3).設平面FAD的法向量為n1 = (xi, yi, Zi),平面FAB的法向量為2=(x2, y2,由 ni AD/日V3xi+3yi = 0,=0，J ,仁 - 2yi +q3zi= 0,因此可取m=(3, 3, 2).由 n2 , AB=0, n2 ,TV3x2+3y2= 0,AF =0,得2y2+ ：'3z2= 0,故可取 亮=(3 , -3, 2).從而法向量nb n2的夾角的余弦值為cos <ni,必I ni| 18.本題利用ACL BD ,若圖中故二面角B- AF- D的正

24、弦值為387建立空間直角坐標系的基本思想是尋找其中的線線垂直關系存在交于一點的三條直線兩兩垂直，則以該點為原點建立空間直角坐標系.在沒有明顯的垂直關系時，要通過其他已知條件得到垂直關系，在此基礎上選擇一個合理的位置建立空間直角坐標系， 注意建立的空間直角坐標系是右手系，正確確定坐標軸的名稱.例2、如圖，在空間幾何體中，平面 ACDL平面ABC AB= B堤CD" DC= 8£=與平面ABC所成的角為60° ,且點E在平面ABCft的射影落在/ ABC的平分線上.(1)求證：DE/平面ABC(2)求二面角E- BC A的余弦值.解：證明：易知AABC ACDfB是邊

25、長為2的等邊三角形， 取AC的中點O,連接BO, DO則BOL AC DOL AC二平面ACDL平面ABC DOL平面ABC 作EF，平面ABC則EF/ DO 根據題意，點F落在BO上, /EB三600 , 易求得EF= DO=小,一.四邊形DEF源平行四邊形，DE/ OF . DE?平面 ABC OF?平面 ABC DE/ 平面 ABC建立如圖所示的空間直角坐標系。xyz,可求得平面ABC勺一個法向量為ni= (0,0,1).可得 q 1,0,0)，即，*，0), E(0, V3-1,小),則CB =(1,5,0),晶=(0, ,也).=0,設平面BCE的法向量為"=(x, y,

26、z),則可得n2 , CB = 0, n2 , BE=133.又由圖知，所求二面角的平面角是 13即(x, y, z) . (1 , a 0)=0, (x, y, z) . (0, 1,也)=0,可取 窕=(3,品 1).、，n1 - n1故cosn1，n2=inr 銳角, 故二面角E- BG A的余弦值為嚕.專題訓練1.如圖所示，在多面體 ABCD- ABCD中，上、下兩個底面 ABGD和ABCDS相平行，且都 是正方形，DD，底面 ABCD AB/ AB , AB= 2AB = 2DD= 2a.(1)求異面直線AB與DD所成角的余弦值；(2)已知F是AD的中點，求證：FB，平面BCC1.解

27、：以D為原點，DA DC DD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A(2a,0,0) , B(2a, 2a, 0), C(0,2 a, 0), D(0,0 , a), F(a, 0,0) , B(a, a, a), C(0 , a,所以異面直線AB與DD所成角的余弦值為 烏3證明：;=(2a, 0,0),曷=(0, a, a),=0,.FBXBB, FBXBC =0. BBABOB, . FB，平面 BCCB.2.如圖，在三棱柱 ABC A1B1G中，AACiC是邊長為4的正方形，平面 ABCL平面AACC,A-3, B捻5.(1)求證：AAL平面ABC求二面角A

28、i- BC- B的余弦值；-、， BD,一(3)證明：在線段BC上存在點D,使得ADLAiB,并求訴的值.BC解：(1)證明：因為四邊形AAGC為正方形，所以AALAC因為平面ABCL平面AACC,且AA垂直于這兩個平面的交線 AQ所以AAL平面ABC(2)由(1)知 AALAC, AAl AB 由題知 AB= 3, BC= 5, AC= 4,所以 AB± AC如圖，以A為原點建立空間直角坐標系A- xyz,則 B(0,3,0) , A(0,0,4) , Bi(0,3,4),C(4,0,4),戰1 =(4,0,0).設平面AiBC的法向量為n=(x, y, z),(0,3 , -4)

29、,3y 4z=0,即令z = 3,則 x = 0, y=4,所以 n= (0,4,3)4x = 0.同理可得，平面BBC的一個法向量為m= (3,4,0).所以 cos < n, mi>n m 16= =I n| m 25-由題知二面角A- BC- B為銳角，所以二面角 A- ，一、16BC- B1的余弦值為26. 證明：設D(x, y, z)是直線BC上一點，且BD=入 整.所以(x, y-3, z)=入(4 , 3,4).解得 x = 4 入,y = 3 3 入,z=4人.9=0,即9 25人=0,解得入=方.25所以AD = （4入，3 3入，4入）.由ADAlB一 .9一

30、因為前 0,1,所以在線段BC上存在點D,使得AD±AiB.25r BD 、9此時，BC=入=2?3.如圖（1）,四邊形ABCg, E是BC的中點，D五2, DC= 1, B捻y5, A五AD=5.將圖 （1）沿直線BD折起，使得二面角A BD- C為60° ,如圖（2）.求證：AE,平面BDC 求直線AC與平面ABD所成角的余弦值._ 一、_ _ 1_.解：(1)證明：取 BD的中點 F,連接 EF, AF,則 AF= 1, EF= 2、/ AFE= 60 .由余弦定理知 AE= Ji2+ 12-2X1X -cos 60 0 二乎. A在+ eF=aF, . .aej_

31、ef.vAB= AD, F為 BD中點./. BD±AF 又 BD= 2, DC= 1, BG=加，.BD+DC= BC, 即 BDL GD 又 E 為 BG中點，EF/ GED . . BDL EF 又 EFA AF= F,.BDL平面 AEF 又 BDL AE, v Bm EF= F, . AE,平面 BDG3(2)以E為原點建立如圖所小的空間直角坐標系，則 A0, 0, + ,v1.0可編輯可修改-,11 -C1, 2，0, B1, 2，0,=（2,0,0）, dA= 1, g,卑 aC= 1,當.設平面ABD的法向量為n=(x, y, z),2x=0,得，1,3八 x+2y+

32、 2 z = 0，則 y= 3,cos <n,又= n = （0, 3,小）.取 z=q3,25故直線AC與平面ABD所成角的余弦值為-0-4.如圖所示，在矩形ABCg, A五3® AA6, BD是對角線，過點A作AE, BR垂足為O,交CD于E,以AE為折痕將 ADE向上折起，使點D到點P的位置，且PB=441.求證：POL平面ABCE求二面角E- AR B的余弦值.解：（1）證明：由已知得 AB= 35, AD= 6,.BA 9.在矩形 ABCDK ; AE! BD,DO AD.-.RtAAODoRtzXBAQ .-.77= . DO= 4, . BO= 5.AD BD在A

33、PO皿，P五 41, PO= 4, BO= 5, .PO+ BO= PB2, POL OB 又 POL AE, AEn OB= O, /. POL平面 ABCE(2) VBO= 5, a AO= <A百一OB: 2部.以O為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則 P(0,0,4) , A(275, 0,0) , B(0,5,0), . = (2 季，0, 4), PB=(0,5 , 4).、r, 一一ni pA =0,1 2/5x-4z = 0,設m=(x, y, z)為平面APB的法向重.則 即ni PB =0,5y 4z = 0.取x = 2<5得。=(2加，4,5).又&qu

34、ot;=(0,1,0)為平面AEP的一個法向量, .cosn1，n2>ni n 4 4y6l| ni| |必| 6ix-61 '故二面角E- AR B的余弦值為4 .61615.如圖，在四棱錐P- ABCM,側面PADL底面ABCD側棱PA= P4 J2, PALPD,底面ABCD 為直角梯形，其中BC/ AD AB±AD, AB= BG= 1, O為AD中點.(1)求直線PB與平面POC9T成角的余弦值；(2)求B點到平面PCD的距離；(3)線段PD上是否存在一點Q,使得二面角Q AG D的余弦值為若存在，求出PQQ勺值；3QD若不存在，請說明理由.解：(1)在PAD

35、, PA= PD, O為AD中點，所以POL AD又側面PADL底面ABCD平面PAD? 平面ABCa AD PC?平面PAD所以POL平面 ABCD又在直角梯形ABCDt,連接OC易得OCLAD,所以以O為坐標原點，OC OD OP所在直 線分別為x, y, z軸建立空間直角坐標系，則P0,0,1) , A(0, 1,0) , B(1 , 1,0) , C(1,0,0),PB = (1 , -1, 1),易證 OAL平面31,0),直線PB與平面POO成角的余弦值為POC OA =(0 , 1,0)是平面POC勺法向量,PD = (0,1 , -1), CP =(1,0,1).設平面 PDC

36、的一個法向量為 u = (x, y, z),U . CP = X + z = 0,I_ , _'_| 早 .u|則 T取z=1,得u = (1,1,1) . ；B點到平面PCD勺距離為d=-L-u - PD=y z = 0,| u|假設存在一點q,則設pQ=入PD (0入i). = pD =(o,i , -1),pQ=(o ,入，-入)=二(o,入，1入)，.qo,入，1 入).設平面CAQ勺一個法向量為m= (x, y, z),又量C =(1,1,0) , A岸(0 ,入 +1,1 入),m.則m.AC =x + y = 0,T取 z=入+1,得m= (1 -AQ=入 +1 y+1入

37、 z = 0.入，入- 1,入+1),又平面CADW一個法向量為n= (0,0,1),二面角Q AC D的余弦值為所以1cos ® n|=|Y，得3入2T0入+3=0，解得入1.人=鼻或入=3(舍)，3所以存在點Q且盤=1. xQD 26.如圖，在四棱錐S- ABCDK 底面ABCt直角梯形，側棱SZ底面ABCDAB垂直于AD和BC SA= AB= BO2, AD=M棱SB的中點.(1)求證：AM/平面SCD(2)求平面SCDt平面SAB所成二面角的余弦值; 設點N是直線CD上的動點，MNW平面SA可成的角為8 ,求sin 9的最大化解：(1)以點A為原點建立如圖所示的空間直角坐標系

38、，則A(0,0,0) , B(0,2,0) , C(2,2,0),口1,0,0)，S(0,0,2) , M(0,1,1).所以 AM= (0,1,1)，= (1,0 , 2) , CD =( 1, -2,0).設平面SCD勺法向量是n=(x, y, z), n= 0, 即CD , n= 0,x2z = 0,_X_2y_0.令 z=1,則 x = 2,1,于是 n = (2 , 1,1). n = 0, ； AM，n.又AM?平面SCD .AM/ 平面 SCD(2)易知平面SAB的一個法向量為ni = (1,0,0).設平面SCM平面SAB所成的二面角為 小,ni n1, 0, 02, 1, 1

39、2、6 J63 .平面SCM平面SAB所成二面角的余弦值為6.3設 N(x, 2x 2,0)( xC 1,2)，則 MN =(x, 2x3, 1).又平面SAB的一個法向量為m= (1,0,0),sin 0=x, 2x 3, 11, 0, 0y(x2x3 2+ _1 2 - 1x5x2-12x+105 12 i"P 10 2117、如圖，四邊形ABE刖四邊形ABCD勻是直角梯形，/ FAB= / DA氏90AF= AB= BG= 2, AD= 1, FAX CD(1)證明：在平面BGE上，一定存在過點G的直線l與直線DF平行；(2)求二面角F- GD A的余弦值.解：(1)證明：由已

40、知得，BE/ AF, BC/ AD, BEA BG= B, Am AF= A, 平面BG日平面ADF 設平面DF3平面BG白l ,則l過點G. 平面BG日平面ADF平面DF3平面BG白l ,平面DF3 平面 AD已DF . DF/ l ,即在平面BGE上一定存在過點G的直線l ,使得DF/ l .(2) vFA± AB, FAX GQ AB與 GD相交，/. FA,平面 ABGD由已知得,故以A為原點,AD, AB, AF分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，如圖.口1,0,0) , G(2,2,0)，F(0,0,2) DF =(1,0,2) , DG =(1,2,0)則18s川=向一向=中=不/6 =1 即cos "=設平面DFC的一個法向量為n = (x, y, z),n DF =0,x = 2z,則 1?不妨設z=1.n - DC =0x = _ 2y,則n = (2, 1,1),不妨設平面 ABCD勺一個法向量為 m= (0,0,1)cosmi, n> = 一-= 由于二面角 F- CD A為銳角, | m| n| #66而角F- CD A的余弦值為吟.8、.如圖