1、橢圓典型例題一、已知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。例1 :已知橢圓的焦點是 Fi（0，- 1）、F2（0,1）, P是橢圓上一點，并且 PFi+ PF2= 2F1F2，求橢圓 的標準方程。解：由 PFi+ PF2 = 2FiF2= 2X2 = 4,得 2a= 4.又 c= 1,所以 b2= 3.22所以橢圓的標準方程是七+3=1.2已知橢圓的兩個焦點為F1（ 1,0）, F2（1,0），且2a = 10,求橢圓的標準方程.2 2解：由橢圓定義知c= 1 , b5 1=24. 橢圓的標準方程為 亦+1.二、未知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。例：1.橢圓的一個頂點為 A 2,0，其長軸長是

2、短軸長的 2倍，求橢圓的標準方程.解：（1）當A 2,0為長軸端點時，a = 2 , b = 1,22橢圓的標準方程為： y 1;41（2）當A 2,0為短軸端點時，b=2 , a =4 ,2 2橢圓的標準方程為： y 1;416三、橢圓的焦點位置由其它方程間接給出，求橢圓的標準方程。2 2例.求過點（一3,2）且與橢圓9+y4 = 1有相同焦點的橢圓的標準方程.x2y29解：因為c2= 9 4= 5,所以設所求橢圓的標準方程為2+¥匚=1.由點（一3,2）在橢圓上知r+a a 5aa= 1，所以a2 = 15.所以所求橢圓的標準方程為a 5210=1.四、與直線相結合的問題，求橢圓

3、的標準方程。已知中心在原點，焦點在 x軸上的橢圓與直線 x + y-1 = 0交于A、B兩點，M為AB中 的斜率為0.25,橢圓的短軸長為 2,求橢圓的方程.2由題意，設橢圓方程為 務 y2 =1 ,a例:點，OM解:x y 0由x2x + 2彳+ y =1 £，得（1 +a fx2 -2a2x =0,x1x2koM2=YmXMa22a1,yM=1 - Xm11 a2，2 X y2 =1 為所求.4五、求橢圓的離心率問題。例1 一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率.解：寫 2c = 2 3c2 = a2, e =.c 3罷X2y2、1例2已知橢圓1的離心率e ，求k的

4、值.k +892解：當橢圓的焦點在 x軸上時，ak 8 ,圧=9，得c2二k-1. 2 2 2當橢圓的焦點在 y軸上時，a =9 , b = k 8，得c =1-k.11 _ k 15由e ，得，即k =944滿足條件的k = 4或k =-.4六、由橢圓內的三角形周長、面積有關的問題例：1.若厶ABC的兩個頂點坐標 A( 4,0)，B(4,0)， ABC的周長為18,求頂點C的軌跡方程。解：頂點C到兩個定點A，B的距離之和為定值10,且大于兩定點間的距離，因此頂點C的軌跡為橢圓，并且2a= 10,所以a= 5,2c= 8,所以c= 4,所以2 2b2 = a2 c2= 9,故頂點C的軌跡方程為

5、 務+卷=1又A、B、C三點構成2 2 2三角形，所以 卄0所以頂點c的軌跡方程為!+卷=1帖0)答案：2+2卷二1姑0)2.已知橢圓的標準方程是 的周長.2 2拿+ 25=1(a>5)，它的兩焦點分別是 F1, F2,且F1F2-8 ,弦AB過點F1,求厶ABF?4a= 4 41.2 23.設F2是橢圓+牛=1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且 PF1 : PF2= 2 : 1，求 PF1F2的94面積.1 1T1F2的面積為 2PF1 PF2 = 2x2X4 = 4.七、直線與橢圓的位置問題2例已知橢圓y2 =1，求過點2p 1,1 i且被p平分的弦所在的直線方程.<2 2丿解法一

6、：設所求直線的斜率為 k，則直線方程為yuk'x 1代入橢圓方程，并整理得2 l 2丿1 2k2 x2 - 2k2 -2k x 丄 k2 -k 亠0 .2 2由韋達定理得X1X222k -2k1 2k21 P是弦中點， x1 x2 = 1 .故得k =2所以所求直線方程為 2x 4y -0 .解法設過P -,丄i的直線與橢圓交于<2 2 .丿A花，、B X2, y2 ,則由題意得x-i2 .丁+旳=t22仔+y；9，2X1 +X2y + y2 =1.2 2一得 X1 _X2 +y；22=0 .將、代入得* 一 =1=1，即直線的斜率為捲_X222所求直線方程為2x，4y-3=0

7、.八、橢圓中的最值問題2 2例橢圓x y 1的右焦點為F16 12時，求點M的坐標.，過點A1, 3，點M在橢圓上，當AM +2MF為最小值1解：由已知：a = 4， c = 2 .所以e，右準線丨：x = 8 .2過A作AQ丄丨，垂足為Q，交橢圓于M，故MQ|=2MF 顯然AM|+2MF的最小值為 AQ，即M為所求點，因此yM = . 3，且M在橢圓上.故xm =2.3 .所以M 2.3,. 3 .雙曲線典型例題一、根據方程的特點判斷圓錐曲線的類型。2 2例1討論一Xy1表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征.25k 9k解：（1）當k ：9時，25-k 0 , 9-k 0 ,所給方程表示橢圓，

8、 此時a2 = 25 - k , b2 = 9 - k ,2 2 2c =a -b =16，這些橢圓有共同的焦點（一 4, 0）, （4, 0）.（2）當9 :：: k :：: 25時，25-k .0 , 9-k：0，所給方程表示雙曲線，此時， a2=25-k ,2 2 2 2b =9k , c =a +b =16，這些雙曲線也有共同的焦點（一4, 0）,） （4, 0）.（3）k :：: 25 , k =9 , k =25時，所給方程沒有軌跡.二、根據已知條件，求雙曲線的標準方程。例2根據下列條件，求雙曲線的標準方程.（1） 過點質，町且焦點在坐標軸上（2）C=J6，經過點（一5, 2）,焦

9、點在X軸上.2 2（3）與雙曲線 L =1有相同焦點，且經過點（3¥叵,2 ）1642=1解：（1）設雙曲線方程為 X .m/ P、Q兩點在雙曲線上，9 + 225=1.16n解得嚴一161256十25刊 小=9 .9m n2 2所求雙曲線方程為 仝=1169說明：采取以上“巧設”可以避免分兩種情況討論，得“巧求”的目的.（2）v焦點在x軸上，6，2 2設所求雙曲線方程為：- J =1 （其中0 ： 6）6 -254雙曲線經過點（一5，2）， 田一=1 Z" 6 _ 丿'11 5或，30 （舍去）所求雙曲線方程是 X _y2=15說明：以上簡單易行的方法給我們以明快

10、、簡捷的感覺.2 2（3）設所求雙曲線方程為：X _ y =1 0： 1616九 4+扎雙曲線過點 3. 2,2，二8 =116 人 4 +九，=4 或，-14 （舍）2 2所求雙曲線方程為 X -y =112 8三、求與雙曲線有關的角度問題。2 2例3已知雙曲線X y 1的右焦點分別為F1、 F2，點P在雙曲線上的左支上且 916PF1 PF2 =32，求 N F1PF2 的大小.解：點P在雙曲線的左支上 PR - PF? =6 PFJ +|PF2 -2 PFjPF362 2 PF1+|PF2=100片叮=4c2 =4（a2+b12 ）=100 F1PF2 =90（2）題目的“點P在雙曲線的

11、左支上”這個條件非常關鍵，應引起我們的重視，若將這一條件改 為“點P在雙曲線上”結論如何改變呢？請讀者試探索.四、求與雙曲線有關的三角形的面積問題。2例4已知F1、F2是雙曲線 -y2 =1的兩個焦點，點 P在雙曲線上且滿足 ZF1PF2 90 ,求 4F| PF2的面積.分析：利用雙曲線的定義及 -F1PF2中的勾股定理可求 -F1PF2的面積.2解：/ P為雙曲線y2 =1上的一個點且F1、F2為焦點.4 |PF- PF2I =2a =4, hF2| =2c = 25F1PF2 =90QQQ在 RPF1F2 中，PF+|pf2| =|f1 f2 =20 qPF1 - PF2 2 = PF

12、+ PF22-2PF1|PF2=16 20 -2Ph PF2 -16 PF1 卩F2 =21二 S的F2 =2Fi|FF2=五、根據雙曲線的定義求其標準方程。例5已知兩點F1 -5,0、F2 5,0，求與它們的距離差的絕對值是6的點的軌跡.解：根據雙曲線定義，可知所求點的軌跡是雙曲線.c 二 5 , a 二 3 b2 二c2 -a2 =52 _32 =42 = 162 2所求方程 -y1為動點的軌跡方程，且軌跡是雙曲線.9162 2例 P是雙曲線 -=1上一點，F1、F2是雙曲線的兩個焦點，且PR =17 ,求PF2的值.64362 2解：在雙曲線 一 =1中，a =8, b=6，故c=10

13、.6436由P是雙曲線上一點，得|PF1 - PF2 =16 . PF2 =1 或 PF2 =33.又 PF2 Zc-a=2，得 PF?| =33.六、求與圓有關的雙曲線方程。例6求下列動圓圓心M的軌跡方程：(1) 與。C :(x+22+y2=2 內切，且過點 A(2,)(2) 與0 C1： x2+(y1 2 =1 和O C2： x2+(y + 1=4都外切.(3) 與0 C：x + 3 2 + y2 = 9 外切，且與O C2：x -32 + y2 =1 內切. 解：設動圓M的半徑為r(1)0 C1與O M內切，點A在O C外 MC=r-J2 , MA=r , MA-MC=T2點M的軌跡是以

14、C、A為焦點的雙曲線的左支，且有:2,2, b2雙曲線方程為2x2 -211-27(2)0 M 與O C1、O C2都外切 MG| =r +1, MC2 =r +2,MC2 MG =1點M的軌跡是以C2、C1為焦點的雙曲線的上支，且有:所求的雙曲線的方程為:4y2乩1八3】3 C 4 .丿（3）vo M與O C1外切，且與OC2內切-MG =r +3, MC2 =r-1, MG - MC2 =4點M的軌跡是以Ci、C2為焦點的雙曲線的右支，且有:a 2 ， c = 3， b c - - a 5所求雙曲線方程為：2 2X -y =1x_245拋物線典型例題一、求拋物線的標準方程。例1指出拋物線的

15、焦點坐標、準線方程.（1） x2 =4y（2） x =ay2（a = 0）解：（1）= p=2，焦點坐標是（o, 1）,準線方程是：y = 12 1 1（2）原拋物線方程為： 、丄x , . 2p =a當a 0時,焦點坐標是p 1，拋物線開口向右，2 4a（丄,0），準線方程是：x -當a ：0時,焦點坐標是4a4ap1，拋物線開口向左，2 4a1（丄,0），準線方程是：4a1x =4a綜合上述，當a = 0時，拋物線x2 1ay的焦點坐標為（,0），準線方程是:4a1x 二4a二、求直線與拋物線相結合的問題例2若直線y =kx -2與拋物線y2 =8x交于a、B兩點，且AB中點的橫坐標為2,

16、求此直線方程.k2x2 _(4k 8)x 4 = 0.y = kx _2解法一：設AX，%）、B（X2,y2），則由：2可得:J =8x直線與拋物線相交， k=0且:-0，則k -1 .AB中點橫坐標為：.卷住=4k 2 8 = 2 ,2 k解得：k = 2或k = -1 （舍去）.故所求直線方程為：y=2x2 .22解法二：設 A(x1, y1)、B(x2,y2)，則有 y =8x1 y2 =8x2 .兩式作差解：( -y2)(y4 y2) =8(% -x2)，即 yi 一 y2 = 8一XiX2 yi+y2x1 x2 = 4 . y1 y2 二饒 一 2 kx2 - 2 二 k(Xj x2

17、) - 4 = 4k 一 4 , k 故k=2或k=-1 (舍去).4k 一4則所求直線方程為：y =2x-2 .三、求直線中的參數問題2f例3 (1)設拋物線y =：4x被直線y =2x k截得的弦長為 3 5，求k值.(2)以(1)中的弦為底邊，以 x軸上的點P為頂點作三角形，當三角形的面積為9時，求P點坐標.解：(1)由y =4x 得：4x2+(4k4)x + k2 =0 y =2x +kx1x2 二 1 _ k,片設直線與拋物線交于 A(x1,y1)與B(x2,y2)兩點.則有:AB22)(捲-x2)2 二,5(x1 x2)2 4xjx2 丄.5(1 - k)2 -k2 丄，5(1 -

18、 2k).AB =3.5,. . 5(1 -2k) =3.5，即 k - -4(2) S. = 9，底邊長為3 5，二三角形高_2 965h、5點P在x軸上，.設P點坐標是(x0,0)則點P到直線y =2x -4的距離就等于h,即|2xo -0-46V5.22 125-X。- -1或x0 =5，即所求P點坐標是(1 , 0)或(5, 0).四、與拋物線有關的最值問題例4 定長為3的線段AB的端點A、B在拋物線y2二x上移動，求 AB的中點到y軸的距離的 最小值，并求出此時 AB中點的坐標.解：如圖，設F是y2二x的焦點，A、B兩點到準線的垂線分別是 AC、BD，又M到準線的 垂線為MN , C

19、、D和N是垂足，則MN|=丄(AC2BD )=丄(AF2設M點的橫坐標為x，縱坐標為JDxTJVdCK1+ BF ) >-2AB =?2 ,1MN =x+,4則x2124AB過點F .14，等式成立的條件是52當 x 時，yy - -P4(yi y2)2 = yi22 1'討2 2yy2 二 2x - 2 二 2 ，yiy2 =2，5<2所以m（4），此時M到y軸的距離的最小值為例 已知點M（3, 2）, F為拋物線y2 =2x的焦點，點P在該拋物線上移動，當PM + PF取最小值時，點P的坐標為EX'解：如圖，1 由定義知 PF = PE，故 PM + PF =

20、PF + PM 蘭 ME 蘭 MN =3 .2取等號時，M、P、E三點共線， P點縱坐標為2，代入方程，求出其橫坐標為2,所以P點坐標為（2,2）.橢圓典型例題一、已知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。例1 :已知橢圓的焦點是 Fi（0, - 1）、F2（0,1）, P是橢圓上一點，并且 PFi+ PF2= 2F1F2，求橢圓 的標準方程。二、未知橢圓焦點的位置，求橢圓的標準方程。例：1.橢圓的一個頂點為 A 2,0，其長軸長是短軸長的 2倍，求橢圓的標準方程.三、橢圓的焦點位置由其它方程間接給出，求橢圓的標準方程。2 2例.求過點（一3,2）且與橢圓X + y = 1有相同焦點的橢圓的標準方

21、程.94四、與直線相結合的問題，求橢圓的標準方程。例：已知中心在原點，焦點在 x軸上的橢圓與直線 x y 0交于A、B兩點，M為AB中點，OM的斜率為0.25，橢圓的短軸長為 2,求橢圓的方程.五、求橢圓的離心率問題。例一個橢圓的焦點將其準線間的距離三等分，求橢圓的離心率.六、由橢圓內的三角形周長、面積有關的問題例：1.若厶ABC的兩個頂點坐標 A( 4,0), B(4,0), ABC的周長為18,求頂點C的軌跡方程。2 22已知橢圓的標準方程是 拿+著=1(a>5),它的兩焦點分別是 Fi, F2,且F1F2 = 8 ,弦AB過點F“求 ABF? 的周長.2 23.設Fi、F2是橢圓牛

22、+ 7 = 1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且 PFi : PF2= 2 : 1，求 PF1F2的94面積.七、直線與橢圓的位置問題2例已知橢圓X . y2 1，求過點2P '丄丄且被P平分的弦所在的直線方程.2 2丿八、橢圓中的最值問題AM +2MF為最小值2 2例橢圓y 1的右焦點為F，過點A1，3，點M在橢圓上，當 16 12時，求點M的坐標.雙曲線典型例題一、根據方程的特點判斷圓錐曲線的類型。2 2例1討論一上y1表示何種圓錐曲線，它們有何共同特征.25k 9k、根據已知條件，求雙曲線的標準方程。例2根據下列條件，求雙曲線的標準方程.(1)過點P''15、3,15 , Q'16 、,5 i且焦點在坐標軸上.< 4丿，< 3丿(2) C = J6，經過點(-5, 2)，焦點在X軸上.2 2(3 )與雙曲線x _ y =1有相同焦點，且經過點(3/0,2)164三、求與雙曲線有關的角度問題。X y2例3已知雙曲線1的右焦點分別為F,、 F2，點P在雙曲線上的左支上且916PF1 PF2 =32，求一 FfF?的大小.題目的“點P在雙曲線的左支上” 這個條件非常關鍵，應引起我們的重視，若將這一條件改為“點 P在雙曲線上”結論如何改變呢？四、求與雙曲線有關的三角形的面積問題。X