1、2017年山東單招數學模擬試題及答案一、填空題：（本大題共 14小題，每小題5分，共70分.請將答案填入答題紙填 空題的相應答題線上.）1 .已知集合A x|x2 x 2<0, x Z,則集合A中所有元素之和為2 .如果實數p和非零向量a與b滿足pa （p i）b 0,則向量a和b .（填“共線”或“不共線”）3 . 4ABC 中，若 sinA 2sin B , AC 2 ,則 BC (0,1),使得f (x0)0 ,則實數a4 .設f(x) 3ax 2a 1 , a為常數.若存在 x0 的取值范圍是5.若復數。1 ai , Z2b J3i , a, b R ,且 zZ2 與 Zi Z2

2、 均為實數,第（5不因則亙 .Z26 .右邊的流程圖最后輸出的n的值是 .7 .若實數m、n 1,1,2,3,且m n,則曲線22 匕 1表示焦點在y軸上的雙曲線的概率是一 m n8.已知下列結論:Xi、x2都是正數x1x20x1x20X1X2X3XiX2X3x1、x2、*3都是正數X1X2X2X3X3X10,則由猜想：廣再+ & +/+占> 0, Xj.c, +x.ji( +xxl + 上.Jtj + £> ()x1、x2、x3、x4 都是正數 -I ¥/* > 0.9.某同學五次考試的數學成績分別是120, 129 , 121 ,125, 13

3、0,則這五次考試成的方差是 第11題圖上任取一點P,則直線AP與線段BC有公共點的概率是 A.第10題圖1為其俯視圖，圖2為其主11 .用一些棱長為1cm的小正方體碼放成一個幾何體，圖視圖，則這個幾何體的體積最大是 cm 3圖1 （俯視圖）圖2 （主視圖）12 .下表是某廠14月份用水量(單位：百噸)的一組數據,月份x1234用水量y4.5432.5由其散點圖可知，用水量 y與月份x之間有較好的線性相關關系，其線性回歸方程是 A.13 .已知xOy平面內一區域 A ,命題甲：點(a,b) ( x, y) | x | |y| 1;命題乙：點(a,b) A.如果甲是乙的充分條件，那么區域A的面積的

4、最小值是.2214 .設P是橢圓 人 y- 1上任意一點，A和F分別是橢圓的左頂點和右焦點，25161則PA PF - PA AF的最小值為 4二、解答題：(本大題共 6小題，共90分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)15 .(本小題滿分14分)直三棱柱 ABC AB1cl 中，AC BC BB11,AB1 近.(1)求證：平面 AB1C 平面B1CB;(2)求三棱錐 A1 ABC的體積.16 .(本小題滿分14分)某化工企業2007年底投入100萬元，購入一套污水處理設備.該設備每年的運轉費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年

5、的維護費都比上一年增加2萬元.(1)求該企業使用該設備 x年的年平均污水處理費用 y (萬元)；(2)問為使該企業的年平均污水處理費用最低，該企業幾年后需要重新更換新的 污水處理設備？17 .(本小題滿分14分)如圖，已知圓心坐標為(J3,1)的圓M與x軸及 直線y J3x分別相切于A、B兩點，另一圓N與 圓M外切、且與x軸及直線y M3x分別相切于C、 D兩點.(1)求圓M和圓N的方程；(2)過點B作直線MN的平行線l ,求直線l被 圓N截得的弦的長度.18 .(本小題滿分14分)已知函數 f(x) sin x cosx, x R.(1)求函數f(x)在0,2 內的單調遞增區間;(2)若函數

6、f(x)在x x0處取到最大值，求 f(x0) f(2x0) f(3x0)的值;(3)若g(x) ex (x R),求證：方程f (x) g(x)在0,內沒有實數解.(參考數據：ln2 0.69,3.14)19 .(本小題滿分16分)1 2已知函數f(x) -x3 2x2 3x (x R)的圖象為曲線C . 3(1)求曲線C上任意一點處的切線的斜率的取值范圍;(2)若曲線C上存在兩點處的切線互相垂直，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標的取值范圍；(3)試問：是否存在一條直線與曲線 C同時切于兩個不同點？如果存在，求出符 合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由.20 .(本小題滿分18分)已

7、知數列an的通項公式是an 2n 1,數列bn是等差數列，令集合A a1,a2, , an, , B b1,b2, , bn, , n N .將集合 A B 中的兀素按從 小到大的順序排列構成的數列記為 cn .* r、_. >，、一 .一 >、(1)若cn n, n N，求數列bn的通項公式；(2)若A B，數列cn的前5項成等比數列，且c1 1, « 8,求滿足Cn 4的正整數n的個數.三、附加題部分(本大題共 6小題,其中第21和第22題為必做題，第2326題為 選做題，請考生在第 2326題中任選2個小題作答，如果多做，則按所選做的前兩題記分.解答應寫出文字說明，

8、證明過程或演算步驟.)21 .(本小題為必做題，滿分12分)已知直線y 2x k被拋物線x2 4y截得的弦長AB為20, O為坐標原點.(1)求實數k的值；(2)問點C位于拋物線弧 AOB上何處時， ABC面積最大？22 .(本小題為必做題,，滿分12分)甲、乙、丙三個同學一起參加某高校組織的自主招生考試，考試分筆試和面試兩部分，筆試和面試均合格者將成為該高校的預錄取生(可在高考中加分錄取)，兩次 考試過程相互獨立.根據甲、乙、丙三個同學的平時成績分析，甲、乙、丙三個同學 能通過筆試的概率分別是 0.6, 0.5, 0.4,能通過面試的概率分別是 0.5, 0.6, 0.75 .(1)求甲、乙

9、、丙三個同學中恰有一人通過筆試的概率；(2)設經過兩次考試后，能被該高校預錄取的人數為，求隨機變量的期望E( ).23.(本小題為選做題，滿分8分)(1)(2)F如圖，在4ABC中，D是AC的中點，E是BD的中點，AE的延長線交BC于BF求BF的值;FC若4BEF的面積為S1,四邊形CDEF的面積為S2,求S1 : S2的值.24 .（本小題為選做題,，滿分8分）已知直線l的參數方程：x t （t為參數）和圓C的極坐標方程:y 1 2t2&in（）.（1）將直線l的參數方程化為普通方程，圓 C的極坐標方程化為直角坐標方程;（2）判斷直線l和圓C的位置關系.25 .（本小題為選做題,，滿

10、分8分）1 0試求曲線y sinx在矩陣MN變換下的函數解析式，其中 M =, N =0 21 023 11(n N 且 n 1).26.（本小題為選做題,，滿分8分）用數學歸納法證明不等式:參考答案填空題：（本大題共 14小題，每小題5分，共70分.）11. 31.22 .共線 3 . 4 4.（ , 1） （,）5 . i222c l r 16. 5 7 . 8 . x1x2x3 x1x2x4 x1x3x4 x2x3x4 0 9 . 16.44110. 11 . 712 . ?0.7x 5.2513 . 214 .93二、解答題：（本大題共 6小題，共90分.）15 .（本小題滿分14分）

11、解：（1）直三棱柱 ABC A1B1C1中，BB1,底面ABC,則 BBAB, BBJBC, -3分又由于 AC=BC=BB 1=1 , AB1= 33 ,則 AB= J2 ,則由 AC2+BC2=AB2可知，ACXBC, 6分又由上BBi,底面 ABC可知BBiXAC,則AC,平面BiCB,所以有平面 ABiCL平面BiCB; 9分1 1114（2）二梭璀 A1 AB1c 的體積 Va AB C V B A AC 1 -3 26（注：還有其它轉換方法）16 .（本小題滿分14分）初100 0.5x （2 4 62x）解：（1） y -x即 y x 100 1.5 （ x 0）;x-7 分 ，

12、 * . , ,（不注明定義域不扣分，或將定義域寫成x N也行）(2)由均值不等式得：100100一y x 1.5 2 x 1.5 21.5 (萬兀)xx11分當且僅當x 100,即x 10時取到等號. 13x分答：該企業10年后需要重新更換新設備. 14分17.(本小題滿分14分)解：(1)由于。M與/BOA的兩邊均相切，故 M到OA及OB的距離均為。M的半徑，則M在/BOA的平分線上，同理，N也在/BOA的平分線上，即 O, M, N三點共線，且 OMN為/BOA的平分線，.M的坐標為(73,1) , ：M到x軸的距離為1,即OM的半徑為1,22則OM的方程為(x V3) (y 1)1,4

13、分設ON的半徑為r,其與x軸的的切點為 C,連接MA、MC,由 RtSAM/taCN 可知，OM: ON=MA: NC,r 1即一 1 r 3,3 r r則 OC=3d3 ,則。N 的方程為(x 373)2 (y 3)2 9； 8 分(2)由對稱性可知，所求的弦長等于過A點直線MN的平行線被。N截得的弦的長度，此弦的方程是 y (x 6),即：x <3y衛 0,3圓心 N至U該直線的距離 d=, 2-11分則弦長=2Gd2 V33 .-14 分另解：求得B (,-),再得過B與MN平行的直線方程2 2x ，3y V3 0,圓心N到該直線的距離d = J ,則弦長=2r 2 d2 V33

14、.2(也可以直接求 A點或B點到直線MN的距離，進而求得弦長)18.(本小題滿分14分)解：(1) f(x) sin x cosx V2sin(x 一)，4令x 2k,2k ( k Z )422-3 .則 x 2k,2k 一, 2 分443 7由于x 0,2 ,則f(x)在0,2 內的單調遞增區間為0,和,2 ;4 4-4分 .37(注：將單調遞增區間寫成0,3 ,2 的形式扣1分)44-3(2)依題意，Xo 2k 一( k Z ),4-6分由周期性，f(Xo)f(2xo) f(3xo),. 33(sin - cos -44)(sincos-2299)(sincos)2 2 1;44(3)函數

15、g(x) ex ( x R)為單調增函數,且當 x 0,時，f (x) 0, g(x) ex 0,此時有 f(x) g(x)； 410分當 x -, 時，由于 lne4 0.785,而 ln/2 - ln 2 0.345, 442則有 lne%lnT2,即 g(/ e"拒，又Qg(x)為增函數，當x -, 時，g(x) 、/2-12 分4而函數f(x)的最大值為 丘,即f(x) J2,則當x , 時，恒有f(x) g(x), 4綜上，在0, 恒有f(x) g(x),即方程f(x) g(x)在Q內沒有實數-1419.解.(本小題滿分16分) _22軍：(1) f (x) x 4x 3

16、,則 f (x) (x 2)11 ,即曲線C上任意一點處的切線的斜率的取值范圍是1,; 4分k 1(2)由(1)可知， 116k分22解得 1 k 0 或 k 1,由 1 x 4x 3 0或 x 4x 3 1得：x ,2 72 (1,3)2 V2,; 9 分(3)設存在過點A(x1,y1)的切線曲線C同時切于兩點，另一切點為B(x2,y2),x1x2,則切線方程是：y （1x13 2x1233xi)/ 2(X14x13)( x x1)，2化間彳導:y (x14x1 3)x (233X12、2x1 ),11而過B（x2,y2）的切線方程是y(X224x2c、 ，23 c 2、3)x ( 一 x2

17、2x2 ),3由于兩切線是同一直線,2則有：X1 4x132x2 4x2X21323_ 2又由 一 x1 2x1323c 2-x2 2x2 ,3»22即一(X1X2)(X13X1X2X22) 2(x1X2)(X1X2)01(X12 X1X23X22) 40 ,即 X1( X1X2)x22 120即(4 x2) 42_X22 122,0 , x24x2得x22 ,但當X22 時,由 xX24 得 x12 , xE與 xX2 矛盾。所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點。1620.（本小題滿分18分）解：（1 ）若Cn n ,因為5 ,6, 7 A ,則 5, 6, 7 B ,由此可見，

18、等差數列bn的公差為1,而3是數列bn中的項,所以3只可能是數列若b33,則bnbn中的第1, 2, 3項,2 ,若b2 3 ,則 bn n 1 ,（注：寫出一個或兩個通項公式得 2分，全部寫出得4分）（2）首先對元素2進行分類討論:若2是數列cn的第2項，由cn的前5項成等比數列，得c4 23 8 c9 ,這顯然不可能;若2是數列cn的第3項，由cn的前5項成等比數列，得b12 2 ,因為數列cn是將集合A B中的元素按從小到大的順序排列構成的，所以bn0 ,則b122,因此數列cn的前5項分別為1 ,222 2,272, 4,這樣bn 及n ,則數列cn的前9項分別為1, 也,2, 20

19、4, 3尬,4衣，50 8,10上述數列符合要求;若2是數列cn的第k項（k 4）,則b2 b12 1,即數列bn的公差d 1,cn的項，12分所以b6匕5d 2 5 7, 1, 2, 4<c9,所以1, 2, 4在數列前8項中，由于A B ,這樣，bb2,，b6以及1, 2, 4共9它們均小于8,即數列cn的前9項均小于8,這與c9 8矛盾。綜上所述，bn V2n，其次，當n 4時，cn1 V2 -, cn4生還 5, 以 4 5,c544c63 4當n 7時，cn 4 J2 ,因為bn是公差為<2的等差數列,所以 cn 1 cn V2 , 16分2所以Cn 1CnCn 1Cn1

20、Cn 1Cncncncn4, 2此時的n不符合要求。所以符合要求的n 一共有5個。18分三、附加題部分：21 .（必做題）（本小題滿分 12分）解：（1）將丫 2x k 代入 x2 4y 得 x2 8x 4k 0, 2 分由4 64 16k 0 可知 k 4,另一方面，弦長AB <5 J64 16k20 ,解得k 1 ; 6 分（2）當k 1時，直線為y 2x 1,要使得內接 ABC面積最大，一，一1八則只須使得yC - 2xC 2, 10 分4即xC 4 ,即C位于（4, 4）點處.12 分22 .（必做題）（本小題滿分 12分）解：（1）分別記甲、乙、丙三個同學筆試合格為事件A、A2

21、、A3；E表示事件“恰有一人通過筆試”則 p（e）p（aA2A）p（A1a2A3）p«A2A3）0.6 0.5 0.6 0.4 0.5 0.6 0.4 0.5 0.40.386分（2）解法一：因為甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格的概率均為p 0.3,-9分所以 8(3,0.3),故£( ) np 3 0.3 0.9. 12 分解法二：分別記甲、乙、丙三個同學經過兩次考試后合格為事件A B, C ,則 P(A) P(B) P(C) 0.3所以 P( 1) 3 (1 0.3)2 0.3 0.441,P( 2) 3 0.32 0.7 0.189, P( 3) 0.33 0.0

22、27 .于是，E( ) 1 0.441 2 0.189 3 0.027 0.9 .23 .(選做題)(本小題滿分8分)證明：(1)過D點作DG/BC,并交AF于G點，2分.E是BD的中點，：BE=DEXvZEBF=/ED(G ZBEF=ZDEG：ZBE障zDEG 則 BF=DG .BF: FC=DG FC,又D是AC的中點，則 DG FC=1: 2,則 BF: FC=1: 2; 4分(2)若BEF以BF為底，ABDC以BC為底，則由(1)知 BF: BC=1: 3,又由 BE BD=1 2可知 h1： h2=1: 2,其中 h1、h2分別為BEF和ABDCM 高，S1 1 1則一，則 S1 :

23、 S2=1 ： 5. 8分S BDC 3 2 6F24.(選做題)(本小題滿分 8分)解：(1)消去參數t ,得直線l的普通方程為y 2x 1 ; 2 分2M2(sin)即2(sin cos ),42兩邊同乘以 得 2( sin cos ),消去參數，得。C的直角坐標方程為：(x 1)2 (x 1)22-4分(2)圓心C到直線l的距離d |2 1 1| 運 <2 ,22 125所以直線l和OC相交.8分25.(選做題)(本小題滿分 8分)府101010解：MN =2=2，0 2 0 10 24分即在矩陣MN變換下1-x22y6 分1 一則 一 y sin 2x , 2即曲線y sin x

24、在矩陣MN變換下的函數解析式為 y 2sin2x.826.（選做題）（本小題滿分 8分）證明：（1）當n 2時，左邊=-13 1,2 3 4 12分n 2時成立2,一 r 111(2)假設當n k(k 2)時成立，即Lk k 1 k 2k2,111那么當n k 1時，左邊 L -4 ( Lk 1 k k 11，L 工 (，L 1) 1k k 1 k2 'k2 1 (k 1)2, k(2 k1k2 k 11kk(k2 1)n k 1時也成立7根據（1） （2）可得不等式對所有的 n 1都成立 這就像我們身處喧囂的鬧市，卻在渴望山清水秀的僻靜之地。心若靜，何處都是水云間，都是世外桃源，都是

25、僻靜之所，心若浮躁，不管你居所何處，都難寧靜。其實，很多人懼怕喧囂，卻又怕極了孤獨，人實在是矛盾的載體。然而，人的最高境界，就是孤獨。受得了孤獨，忍得了寂寞，扛得住壓力，才能成為生活的強者，才不會因為生活的暗 礁而失去對美好事物的追求。常常喜歡靜坐，沒有人打擾，一個人，也有一個人的宿醉。面對這喧囂塵世，安靜下來的時光，才是最貼近心底的那一抹溫柔，時光如水，靜靜流淌。即便獨自矗立夜色，不說話，也很美。這恬淡時光，忘卻白日的傷感，撿起平淡，將靈魂在寧靜的夜色里放空。回頭看看曾經走過的路，每一個腳印，都是豐富而厚重的，是對未來的希望，是對生活的虔誠。我們都是生活里的平凡之人，不管一天中多么努力，多么

26、辛苦，老天總是會給你時不時的開個玩笑，可能有些玩笑，來的有點猛，有點不知所措，但是又怎么樣呢？你要知道，人的能力和智慧是無窮的。面對生活的暗礁，我們只能用坦然的心態去接受它，然后盡量去改變它，讓它激起生命的浪花。即使改變不了，只要努力了，就不言后悔。有時候，難過了，想哭就哭出來，哭又不是罪，哭完了繼續努力，總有一天，時間會告訴你，你的眼淚是不會白流的。沒有苦難的人生，它一定是不完美的。生命里，沒有一帆風順，總有一些看不見的暗礁等著你，既然注定要撞上，那就努力尋找岸的方向。只要不放棄，一定有抵達岸邊的希望，若選擇放棄，那么岸依然是岸，死神只會離你越來越近。能和災難抗衡，能珍惜生命的人，那么他的人

27、生一定不會太灰暗。只要你不放棄自己，生 活就不會放棄你，成功的希望就會被實現。凡事成功的人，經歷生活的暗礁，那是必然途徑。生命路上的災難和創傷，會讓你更好的前進。行走塵世間，保持好心態，一切都有可能被改變，當別人在為你吶喊助威時，自己千萬不要放棄，不要半途而廢，前功盡棄。只要堅持，生命一定會被你改寫。人生何其短，千萬不要讓過往和未來，羈絆住今天的心情，應該尊重生命，珍惜時光，活好每一天。林清玄說：“今天掃完今天的落葉，明天的樹葉不會在今天掉下來，不要為明天煩惱，要努力地活在今天這一刻。”還有一句話叫，昨天的太陽曬不干今天的衣裳。假若有人問，你的一生有多長？請告訴他，只有三天，昨天，今天和明天。在這三天的生命里，昨天我們已經浪費掉了，明天不一定屬于你，那你的時間就只有今天，所以不珍惜今天的 人，就不配擁有明天。這就像我們身處喧囂的鬧市，卻在渴望山清水秀的僻靜之地。心若靜，何處都是水云間，都是世外桃源，都是僻靜之所，心若浮躁，不管你居所何處，都難寧靜。其實，很多人懼怕喧囂，卻又怕極了孤獨，人