1、.r r. r(3) ab a b ；m(4) a彳n/om；a, n奇| a |, n 偶第十二講基本初等函數(shù):教學目標1、掌握基本初等函數(shù)（指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、哥函數(shù)）的基本性質;2、理解基本初等函數(shù)的性質；3、掌握基本初等函數(shù)的應用，特別是指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)：教學重難點 教學重點：基本初等函數(shù)基本性質的理解及應用;教學難點：基本初等函數(shù)基本性質的應用三：知識呈現(xiàn)1.指數(shù)與指數(shù)函數(shù).r s r sr s rs1） .指數(shù)運算法則：(1) arasa ；(2) ar a ；2） .指數(shù)函數(shù)：形如 y ax（a 0且a 1）指數(shù)函數(shù)0<a<1a>1圖象4!77-4 -3 -2

2、 TD 12 3 4-34-4 -3 -2 -13 L 2 3-1-2-31表送式xy a定義域R值域(0,)過定點(0,1)單調性單調遞減單調遞增2.對數(shù)函數(shù)1）對數(shù)的運算:b loga N1、互化:2、恒等:logaa3、換底:loglog c blog c a推論log a b1log b a推論 2 log a b ? log b c log a c推論log am bn log a b (m m '0)4、log aMNlog alog a Nlogloglog a N5、log a Mn log a M2）對數(shù)函數(shù):對數(shù)函數(shù)0<a<1a>1圖象L.J43二

3、-4 -3 -2 -102 3 r二;、T-I-I -5 -Z -J表送式y(tǒng) log ax定義域(0,)值域R過定點(1， 0)單調性單調遞減單調遞增3.幕函數(shù)般地，形如 y xa ( a R)的函數(shù)叫做募函數(shù)，其中a是常數(shù)1)性質：(1)所有的哥函數(shù)在(0,+ 8)都有定義，并且圖象都通過點 (1,1)；(2)如果a>0,則募函數(shù)圖象通過(0, 0),并且在區(qū)間0,+ 8)上是增函數(shù)；(3)如果a V 0 ,則募函數(shù)在區(qū)間 (0,+ °°)上是減函數(shù)，在 第一象限，當x從右邊趨向于原點時，圖象在 y軸右方無 限地逼近y軸，當x趨于+8時，圖象在x軸上方無限逼近 x軸

4、。四：典型例題考點一：指數(shù)函數(shù)例1 已知(a2 2a 5)3x (a2 2a 5)1 x ,則x的取值圍是 .分析：利用指數(shù)函數(shù)的單調性求解，注意底數(shù)的取值圍.22解：. a 2a 5 (a 1)4> 4 1 ,，函數(shù)y (a2 2a 5)x在(8)上是增函數(shù)，1 13x 1 x,解得x .，x的取值圍是 一，00 .4 4評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調性解不等式，需將不等式兩邊都湊成底數(shù)相同的指數(shù)式，并判斷底數(shù)與1的大小，對于含有參數(shù)的要注意對參數(shù)進行討論.例2 函數(shù)y a2x 2ax 1(a 0且a 1)在區(qū)間1,1上有最大值14,則a的值是.分析：令t ax可將問題轉化成二次函數(shù)的最值問

5、題，需注意換元后t的取值圍.解：令t ax ,則t 0 ,函數(shù)y a2x 2ax 1可化為y (t 1)2 2 ,其對稱軸為t 1 .當 a 1 時，: x1,1 ,11. . < a < a ,即W t W a . aa，當 t a時，ymax （a 1）2 2 14.解得a 3或a 5 （舍去）；當 0 a 1 時，: x 11 , a < ax < ,即 a & t & 1 , aa2.1 j1t時，Ymax1 2 14 ,aa一一1 .1. . 一 , 1解得a 或a -（舍去），二. a的值是3或-.3 53整體代入評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調性求

6、最值時注意一些方法的運用，比如：換元法, 例3求函數(shù)y 也6x 2的定義域和值域.解：由題意可得1 6x 2>0,即6x2 01 ,.x 200,故x02.函數(shù)f（x）的定義域是8,2.令 t 6x 2,則 y,又 x< 2 , . x 2< 0.0 6x2 W1 ,即 0 t < 1 .0< 1 t 1 ,即 0 0 y 1 .，函數(shù)的值域是 0,1 .評注：利用指數(shù)函數(shù)的單調性求值域時，要注意定義域對它的影響.x2 3x 2一 ，一 1，-例4求函數(shù)y=-的單調區(qū)間.3分析 這是復合函數(shù)求單調區(qū)間的問題uu可設y = ,u = x2-3x+2 ,其中y = -

7、 為減函數(shù)33.u=x2-3x+2的減區(qū)間就是原函數(shù)的增區(qū)間（即減減一增）u=x2-3x+2的增區(qū)間就是原函數(shù)的減區(qū)間（即減、增一減）u解：設y= ' ,u =x2-3x+2,y關于u遞減，3當xC(-8, 3)時，u為減函數(shù),2，y關于x為增函數(shù)；當xC 3, +8)時，u為增函數(shù)，y關于x為減函數(shù).2考點二：對數(shù)函數(shù)求下列函數(shù)的定義域(1)y=log 2 (x2-4x-5 );(2)x、y=log x+1 (16-4 )(3)解:(1)令 x2-4x-5 >0,得(x-5) (x+1) >0,故定義域為x I x-1 ,或 x> 5.故所求定義域為 x | -1

8、vxv 0,或0<x<2.故所求定義域為x | x< -1- 右，或-1- "5<xv-3,或 x>2.說明 求與對數(shù)函數(shù)有關的定義域問題，首先要考慮，真數(shù)大于零.底數(shù)大于零不等 于1,若處在分母的位置，還要考慮不能使分母為零.比較大小:(1)(2)log 0 71 . 3 和 log 0 71 . 8 .(lg n) 1.7 和(lgn ) 2 (n > 1).(3)log 23 和 log 53.(4)log 35 和 log 64.解：(1)對數(shù)函數(shù)y=log 0.7X在(0, +00)是減函數(shù).因為 1. 3< 1 , 8,所以log

9、 0.71. 3>log o. 71. 8.(2)把lgn看作指數(shù)函數(shù)的底，本題歸為比較兩個指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值的大小，故需對 底數(shù)lgn討論.若 1 > lgn >0,即 1 v nv 10 時，y= (lgn ) x在 R上是減函數(shù)，所以(lgn ) 1 2> ( lgn ) 2;若 lgn > 1,即 n> 10 時，y= (lgn ) 2在 R上是增函數(shù)，所以(lgn ) 1 7> ( lgn ) 2.(3)函數(shù)y=log 2X和y=log 5X當x>1時，y=log 2X的圖像在y=log 5X圖像上方.這里 x=3,所以 log 23 &

10、gt; log 53.(4) log 35和log 64的底數(shù)和真數(shù)都不相同，須找出中間量“搭橋”，再利用對數(shù)函數(shù)的單調性即可求解.因為 log 35 > log 33=1=log 66 > log 64,所以 log 35 > log 64.評析 要注意正確利用對數(shù)函數(shù)的性質，尤其是第(3)小題，可直接利用例 2中的說明得到結論.例 7 已知 f (x) =2+log 3X, x 1, 9，求 y= f (x) 2+f (x2)的最大值，及 y 取最大值時，x的值.是要求其表達式;分析 要求函數(shù)y= f (x) 2+f (x2)的最大值，要做兩件事, 是要求出它的定義域，然

11、后求值域.解：.1 f (x) =2+log 3x,.y= f (x) 2+f (x2) = (2+log 3x) 2+2+log 3X2 =(2+log 3x) 2+2+2log 3X =log 23x+6log 3x+6=(log 3X+3) 2-3 .1 x2 91 x 9 函數(shù)f (x)的定義域為1,9,，要使函數(shù)y= f (x) 2+f (x2)有定義，就須 -1 < x< 3.0 < log 3x< 1 6<y= (log 3X+3) 2-3 < 13當x=3時，函數(shù)y= f (x) 2+f (x2)取最大值13.說明 本例正確求解的關鍵是：函數(shù)

12、 y= f (x) 2+f (x2)定義域的正確確定.如果 我們誤認為1,9是它的定義域.則將求得錯誤的最大值22.其實我們還能求出函數(shù) y= f (x) 2+f (x2)的值域為6, 13.例8 求函數(shù)y=log 0 5 (-x2+2x+8)的單調區(qū)間.分析由于對函數(shù)的底是一個小于1的正數(shù)，故原函數(shù)與函數(shù)u=-x2+2x+8 (-2vxv4)的單調性相反.解.-x2+2x+8>0,-2 <x<4,原函數(shù)的定義域為(-2,4).又二 函數(shù)u=-x2+2x+8=- (x-1 ) 2+9在(-2,1上為增函數(shù)，在1,4)上為減函數(shù)，函數(shù)y=log 0,5 (-x2+2x+8)在(

13、-2 , 1上為減函數(shù)，在1,4)上為增函數(shù).評析判斷函數(shù)的單調性必須先求出函數(shù)的定義域，單調區(qū)間應是定義域的子集.考點三：哥函數(shù)例9.比較大小：11o o3311230.5 .(1) 1.52,1.72(2) ( 1.2) ,( 1.25) (3) 5,25 ,5.26 ,5.26(4) 0.5 ,3 ,臉0.5111解：(1) y x± 在0,)上是增函數(shù)，1.5 1.7,，1.5/ 1.7，(2) y x3在 R上是增函數(shù)，1.21.25,( 1.2)3 ( 1.25)3111(3) y x 1 在(0,)上是減函數(shù)，5.25 5.26 , 5,25 1 5.26 1；x12

14、y 5,26 是增函數(shù)，12 ,5,265.26 ；112綜上，5.255.265.26，一、305(4)0 0,53 1 , 31 , 10g3 0.5 0 ,log3 0.5 0,53 30.5一2例10.已知哥函數(shù)y xm3 (m Z)的圖象與x軸、y軸都無交點，且關于原點對稱,求m的值.一2解：,哥函數(shù)y x (m Z)的圖象與x軸、y軸都無交點，2m 2m 3 0 ,， 1 m3；2m Z , (m 2m 3) Z ,又函數(shù)圖象關于原點對稱，2 m 2m 3是奇數(shù)，m 0或 m 2 .21例 11、求函數(shù) y= x5 +2x5 +4 (x> 32)值域.解析：設 t = X5 ,X> 32,，t > 2,則 y=t 2+ 2t +4= （ t + 1） 2+3.當 t = 一 1 時，ymin= 3. 21，函數(shù) y= X5 +2x5 + 4 （x> -32）的值域為3, +）.點評：這是復合函數(shù)求值域的問題，應用換元法.五：課后練習Xy=log a的圖像可能是（）若a > 1在同一坐標系中，函數(shù)y=ax和2.求值4 10.0625+ v61- ( ) 0- 3133 483.卜列函數(shù)在,0上為減函數(shù)的是（）1A. y x3