1、因式分解專題講解【知識要點】1. 提取公因式法利用提取公因式法進行因式分解的一般步驟可概括為一找、二提、三去除” 一找”就是第一步要折過去找出多項式中各項的公因式；二提”就是第二步將所找出的公因式提出來；三去除”就是第三步當提出公因式后，此時可直接觀察提出公因式后剩下的另一個因式，也可以用原多項式去除以公因式，所得的商即 為提出公因式后剩下的一個因式。例如分解因式：9x3y -12x2y2 18x2y3z，當確定公因式為 3x2y后，貝U(9x3y-12x2y2 18x2y3z)亠 3x2y = 3x-4y 6y2z，所以有，9x3y-12x2y2 18x2y3z2 2=3x y(3x -4y

2、 6y z)。2. 公式法逆用乘法公式將一個多項式分解因式的方法叫做公式法。運用平方差公式進行因式分解的多項式的特 征是：(1) 公式左邊必須是一個二項式，且符號相反；(2) 兩項中的每一項必須是某個數(shù)或是自的平方形式；(3) 右邊分解的結果應該是這兩項的和與它們的差的積；(4) 公式中字母 a ”和b”既可以表示單獨的數(shù)字或字母，也可以表示單項式或多項式。3. 十字相乘法(x a)(x b) = x2 (a b)x ab反過來可得：x (a b)x ab = (x a)(x b)例如x2 3x 2中常數(shù)項是2 ,可以分解為2 1 ,而且23，恰好是一次項系數(shù)，所以2x 3x 2 =(x 2)

3、(x 1)。2x分解為x x，常數(shù)項2分2在對多項式x 3x 2分解因式時，也可以借助于畫十字交叉線來分解,解為2 1，把它們用交叉線來表示：x.2x1按十字交叉相乘，它們積的和就是2x 3x，所以x2 3x 2 =(x 2)( x 1)4. 分組分解法分組分解方法比較靈活起關鍵在于分組要適當，它的分組原則是：分組后能直接提取公因式；分組后能直接運用公式。分組分解法并不是一種獨立的因式分解方法。通過對多項式進行適當?shù)姆肿樱讯囗検睫D化為可以應 用的基本方法(即提取公因式法或公式法)分解的結構形式，使之具有公因式或者符合公式的特點等，從 而達到可以利用基本方法進行分解因式的目的。常用的分組方法方

4、法一：分組后能提前公因式(1) 按字母分組例如：分解因式：ax ay bx by可以按某一字母為準分組，若按含有字母a的分為一組，含有字母b 的分為一組，即 ax ay bx by 二(ax ay) (bx by) = a(x y)b(x y)，這就產生了公因式(x y)。(2) 按系數(shù)分組例如：分解因式：a2-ab 3b 3a，我們觀察到前面兩項的系數(shù)比和后面兩項的系數(shù)之比恰好相等，2 2即 1:(-1) =3: ( -3)，則 a -ab 3b 3a = (a -ab) -(3a -3b)a(a - b) -3(a - b)。(3) 按次數(shù)分組3232例如：分解因式：x x ，x-y -y

5、 - y，此多項式有兩個三次項，有連個二次項，有兩個一次項，按次數(shù)分組為：(x3 - y3) (x2 - y2) (x - y)。方法二：分組后能運用公式2 2 2例如：分解因式：x -2xy y - z可以把前三項作為一組，它是一個完全平方式，可以分解為(x - y)2。而(x- y)2 - z2又是平方差形式的多項式，還可以繼續(xù)分解。方法三：重新分組例如：分解因式：4x2 3y -x(3y 4)，此多項式必須先去括號，進行重新分組，4x2 3y-x(3y 4) =4x2 3y-3xy-4x2=(4x _4x) (3y _ 3xy)= 4x(x_1)_3y(x_1) =(4x_3y)(x_1

6、)1.提取公因式法【例1】把下列各式分解因式:(1) 2x2y-4xy223(2) -7a x 21ay-14a xy22(3) 4a b6ab 2ab(4)-3x3m n2m nm n -1y -2x y 6x y【例2】把下列各式分解因式:(1) 4x(x y)3(x y)23(2) 4x(x-y) 3(y-x)32(3) 5(x -2) (y -2) -3(2 -x) (2 - y)(4) x(x - y)(a-b) - y(y-x)(b-a)3 3 33(2) 0.8 2 0.64 5 44【例3】利用分解因式的方法簡便計算:(1) 54 3.14 75 3.14-29 3.142.公式法 【例1】把下列各式分解因式：44(3) -x y1 2 1 2 2 2(1) m n(2) (7a -2b) -16a41003.十字相乘法【例1】把下列各式分解因式:42(1) x -10x932(2) 7(x y) -5(x y) -2(x y)(3) (a2 8a)2 22(a2 8a) 1204.分組分解法(2) a2 -b2 4a - 4b【例1】分解因式：（1） 2x2 2xy _3x _3y(4)2 2 2(3) 4x -9y -24y