1、2018 年全國碩士研究生入學統一考試數學一考研真題與全面解析、選擇題：18小題，每小題4分，共32分，下列每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.1.下列函數中在X 0處不可導的是()(A) f(x)x sin x(B) f(x) xsin x(O f(x) cosx (D) f(x)2.過點(1,0,0),(0,1,0),且與曲面2 ,y相切的平面為()(A)(B)0與2x2y z 2(C)(D)y與2x2y z 23.(n 01)n2n 3(2n 1)!()4.設M2 (1 x)22 1x2(1 Jcosx)dx,則()(B) M(C)(D

2、) K5.下列矩陣中陣,與矩陣相似的是()(A) 00(B)(C)(D)6.設A,B是n階矩陣，記r(X)為矩陣X的秩，(X,Y)表示分塊矩陣，則()(A) r(A,AB) r(A) (B) r(A, BA) r(A)(C) r(A,B) maxr(A),r(B) (D) r(A,B) r(AT,BT)27.設隨機變量X的概率密度f (x)滿足f(1 x) f (1 x),且0 f (x)dx 0.6貝U P X0()(A) 0.2 (B) 0.3 (C) 0.4 (D) 0.58.設總體X服從正態分布N( , 2),X1,X2,L ,Xn是來自總體X的簡單隨機樣本,據此樣本檢測，假設H0:0

3、,則()如果在檢驗水平0.05下拒絕H0,那么在檢驗水平0.01下必拒絕H。;(B)如果在檢驗水平0.05下拒絕H0,那么在檢驗水平0.01下必接受ho；(C)如果在檢驗水平0.05下接受H0,那么在檢驗水平0.01下必拒絕H。;(D)如果在檢驗水平0.05下接受H0,那么在檢驗水平0.01下必接受H0°二、填空題：9 14小題,11 tanx sinkx9.若 lim x 0 1 tanx每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙 指定位置上.e,則k10.設函數f(x)具有二階連續導數，若曲線yf (x)過點(0,0),且與y2x在點1(1,2)處相切，求0xf(x)dx11、設函

4、數 F (x, y, z)12.設L是曲面x2y2xy i yz j zxk ,2z 1與平面x y則 rotF (1,1,0)z 0的交線，貝U ?l xyds13.設二階矩陣A有兩個不同的特征值,2是A的線性無關的特征向量，且滿足A2( i 2)12,則岡114.設隨機事件A與B相互獨立，A與C相互獨立，BC ，P(A) P(B)二，2_ _ _1P(ACABUC),則 P(C) o4 三、解答題：1523小題，共94分.請將解答寫在答題紙 指定位置上.解答應寫出文字 說明、證明過程或演算步驟.15 .(本題滿分10分)求不定積分 e2x arctan Jex 1dx.16 .(本題滿分1

5、0分)將長為2m的鐵絲分成三段，依次圍成圓、正方形與正三角形，三個圖形的面積之和是否存在最小值？若存在，求出最小值。17 .(本題滿分10分)設 是曲面x Ji 3y2 3z2的前側,計算曲面積分I xdydz (y3 2)dzdx z3dxdy.18 .(本題滿分10分)已知微分方程y y f(x),其中f (x)是R上的連續函數。(I)若f(x) x,求方程的通解；(II)若f (x)是周期為T的函數，證明：方程存在唯一的以T為周期的解。19 .(本題滿分 10分)設數列 xn 滿足x1 0,xnexn1 exn 1(n 1,2,3,L)。證明收斂，并求lim xn。 n20 .(本題滿分

6、11分)設二次型222f (x1,x2,x3)(為 x2 x3)(x2 x3)(x1 ax3)，其中 a是參數。(I)求 f (x1,x2,x3) 0的解；(II)求 f (x1,x2,x3)的規范型。1 2 a21.(本題滿分11分)設a是常數，且矩陣A 1 3 0可經過初等列變換化為矩陣2 7a1 a 2B 0 1 1。(I)求a； (II )求滿足AP B的可逆矩陣P?1 1122 .(本題滿分11分)設隨機變量X,Y相互獨立，X的概率分布為1 P X 1 P X 1 2Y服從參數為 的泊松分布。令Z XY, (I)求Cov(X,Z)； (II)求Z的概率 分布。1 二23 .(本題滿分

7、11分)設總體X的概率密度為f(x;) e , x ,2其中 (0,)為未知參數，X1,X2,L ,Xn為來自總體X的簡單隨機樣本，記的最大似然估計量為。(I)求；(11)求£()和口()答案解析1 .【答案】(D)【解析】根據導數定義,A.lim f(X) f(0)x 0 xlimx sin x0,可導;B.Hmf(xLJ(0)x 0 xlimx 0x sin jx|xlimx 00,可導;C.limf(x) f(0)x 0 x；x20,可導;cos|x| 1xlxm0-|xlim2一,極限不存在。故選x 0 xD)2 .【答案】(B)【解析一】設平面與曲面的切點為(x0, y0,

8、z0),則曲面在該點的法向量為n (2x0,2y0, 1),切平面方程為切平面過點(1,0,0) , (0,1,0),故有2%(1%)2y。(0y。)(04)0,(1)2x0(0%)2y0(1y0)(04)0,(2)又(,丫0,4)是曲面上的點，故4 xo y；，(3)解方程（1） （2） （3）,可得切點坐標（0,0,0）或（1,1,2）。因此，切平面有兩個z 0與2x 2y z 2 ,故選（B）.【解析二】由于x y不經過點（1,0,0）和（0,1,0）,所以排除（C） （D） o對于選項（A）,平面x y z 1的法向量為（1,1, 1）,曲面x2 y2 z 0的法1 1 1向量為（2x

9、,2y, 1）,如果所給平面是切平面，則切點坐標應為（一，一,一），而曲面2 2 2在該點處的切平面為x1 一 人y z 所以排除2（A）.所以唯一正確的選項是（B）.3 .【答案】（B ）【解析】因為sin xx0(2n 1)!2n,cosxn 0 (2n)!(1)n02n 3(2n 1)!0( 1)n"1)n2(2n 1)!(1)nn 0 (2n)!(1)n(2n 1)!cos1 2sin1 ,故選(B )。4 .【答案】（C ）【解析】積分區間是對稱區間，先利用對稱性化簡，能求出積分最好，不能求出積分 則最簡化積分。222 （1 x） .2 1 x 2x 2 2x M 2 2-

10、dx 2 2dx 2 （1 2）dx,2 1 x2萬 1 x221 x2K 2 (1 Vcosx)dx2 1gdx ,萬萬令 f (x)ex 1 x,x ( 一,一)，則 f (x) ex 1,當 x ( ,0)時,2 22f (x) 0,當 x (0,一)時, 2f (x)0,故對 x (-,-)，有 f(x) f (0) 0,因而1 xex2 igdx2，故K M N。應選(C)5.【答案】(A)【解析】記矩陣H0 1 1 ，則秩r(H) 3,跡tr(H) 3,特征值10 0 1(三重)。觀察A,B,C,D四個選項，它們與矩陣H的秩相等、跡相等、行列式相等,特征值也相等，進一步分析可得：r

11、( E H) 2,r( E A) 2, r( E B) 1r( E C) 1,r( E D) 1。如果矩陣A與矩陣X相似，則必有kE A與kE X相似(k為任意常數)，從而r(kE A) r(kE X),故選(A),6 .【答案】(A)【解析】把矩陣A,AB按列分塊，記A ( 1, 2,L n), AB ( 1, 2,L n),則 向量組1, 2,L n可以由向量組1, 2,L n線性表出，從而1, 2,L n與1, 2,L n,1, 2,L n,等價，于是 r(A,AB) r(A),故選(A)。7 .【答案】(A)【解析】由f(1 x) f (1 x)可知概率密度函數f(x)關于x 1對稱，

12、2結合概率密度函數的性質f(x)dx 1及已知條件°f(x)dx 0.6,容易得出012PX 0 f (x)dx - f (x)dx o f(x)dx 0.2,故選(A)。8 .【答案】(D )【解析】正確解答該題，應深刻理解“檢驗水平”的含義X統計量0 N（0,1），在檢驗水平0.05下接受域為U0.025，解得接受域的區間為（XU0.025 -p= , XU0.025在檢驗水平0.01下接受域的區間為（X Uo.005 7，XUo.005 7）。、.n n由于U0.025U0.005，0.01下接受域的區間包含了0.05下接受域的區間，故【解析】elimx 0tanx1sinkx

13、1 tanx1 , 1 tanx limlnx 0sinkx 1 tanxe1 2tanx limln 1x 0sinkx 1 tanxe2(ln2 1)【解析】由已知條件可得:f(0)0, f (1) 2, f (1) 2ln 2,11故 0xf (x)dx 0xdf(x)xf1 1(x)L0 f (x)dx11.【答案】（1,0, 1）【解析】rotF (x, y, z)y i z j xk故 rotF (1,1,0) (1,0,12.【答案】xy1)。yz zx3【解析】先求交線L：x, y,z滿足輪換對稱性，因此在曲線L上x, y, z具有輪換對稱性又知1由輪換對稱性可行： 頗xyds

14、 - L(xy yz zRds 362ds6g213.【答案】1設1, 2對應的特征值分別是2,則22y z 1, 一 、一y,由于曲面方程與平面方程中的y z 0A2( i 2)A2 1A2 2(121) 1 ( J 1) 2 0,由于2線性無關,1,2從而A的兩個不同的特征值為1,1,于是|A|114.【答案】一4【解析】P(ACABUC)PAC(ABUC)P(ABCU AC)P(ABUC)12 P(c)2 p(c)P(AB) P(C) P(ABC)15.【解析】e2xarctan/ex 1dx1arctan, e 1de2216.【答案】面積之和存在最小值,Smin【解析】設圓的半徑為x

15、,正方形的邊長為y,三角形的邊長為z,則2 x 4y 3z 2,2二個圖形的面積之和為S(x, y,z) x則問題轉化為“在條件 2 x 4y 3z 2, x0,y0,z。下，求三元函數s(x,y,z)Y3z2的最小值”。4令Lx2(24y 3z2)LxLy解方程組Lz2y 4二322 x 4y3z,得到唯一駐點14 3324 3.32、, 34 3 3最小值一定存在,且在該駐點處取得最小值最小面積和為Smin14 3:3 .17.【解析】將空間曲面化成標準形以便確定積分曲面的形狀。曲面前側是一個半橢球面，補平面 1 :x 0, y 2 z 233 .I 0 xdydz (y 2)dzdx z

16、 dxd1斯公式可得其中(x,y,z)|0 x1 3y2而 xdydz3 一3(y 2)dzdx z dxdy18.【解析】(I)若 f (x) x ,則 yxdydz (y3 2)dzdx z3dxdy 由局“先二后一”法可得1445x,由一階線性微分方程通解公式dx得y e (dxxxe dx C) Ce(ID由一階線性微分方程通解公式可得ye x( f (x)exdx C),xxt由于y(x T)在f (x)e dx中無法表達出來，取y(x) e ( 0 f(t)edt C),于是 y(x T) e (xT)( ：T f (t)e%t C)若方程存在唯一的以T為周期的解，則必有y(x T

17、) y(x),即T t ,0e f(t)dt eT 10 e f (t)dt由于j為一常數，可知當且僅當Ce 1Tetf(t)dteT 1時,y(x)以T為周期,故微分方程存在唯一的以T為周期的解。19.【證明一】因為 0,所以ex2 。xiex1 1根據拉格朗日中值定理，存在(0,x1),使得 e ,即ex2 e ,因此x10 x2 x1 o完全類似，假設0 xn 1 xn,則exn 11eXn 2 e (0xn 1),即 0 xn 2 xn 1 ,xn 1故數列xn單調減少且有下界，從而數列 xn收斂。設lim xn A,在等式xnexn 1 exn 1兩邊取極限，得AeA eA 1 ,解

18、方程得 nn唯一解 A 0 ,故 lim xn0n【證明二】首先證明數列 xn有下界，即證明xn 0：, 一一 ,，一 一、ex1 1.刈，當n 1時，x1 0。根據題設x2 ln，由e1 1 x1可知為x2 ln1 0；假設當n k時，xk 0； e" 1x，. 則當 n k 1 時，xk1 Ine1,其中 ek 1xk ,可知 xk 1 ln1 0xk根據數學歸納法，對任意的n N , xn 0。再證明數列xn的單調性:xn 1xnxnxnlnexnxn(離散函數連續化)設f (x)ln exInexn一人xneex 1 xex(x 0),則當 x 0時,f (x)xex0,f(

19、x)單調遞減，f(x) f (0) 0,即 ex 1 xex e1 - 八從而xn1 xn In ln1 0,故xn1 xn,即數列 4 的單調遞減。 xnen綜上，數列xn的單調遞減且有下界。由單調有界收斂原理可知xn收斂。設lim xn a,在等式xnexn 1 exn 1兩邊同時令n ,得aea ea 1 , nn解方程得唯一解a 0,故lim xn 0。n20.【解析】(I)由f (x1,x2,x3) 0可得對上述齊次線性方程組的系數矩陣作初等行變換得當 a 2 時，f(x1,x2,x3) 0只有零解：x (0,0,0) T1 0 2當a 2時，A 0 11, 0 0 0f(x1,x2

20、,x3) 0有非零解：x k( 2, 1,19，k為任意常數。(II)當a 2時，若x1,x2,x3不全為0,則二次型f (x1,x2,x3)恒大于0,即二次型 f(%42,乂3)為正定二次型，其規范型為f(yy2,y3) y； y2當a 2時，二次型對應的實對稱矩陣B 1,其特征方程為解得特征值1 5 、7, 2 5 .7,0,可知二次型的規范型為f 億24)Z2Z2。21.【解析】(I)由于矩陣的初等變換不改變矩陣的秩，故r(A) r(B)。對矩陣A,B作初等行變換，得a3a顯然r(A) 2,要使r(B)2,必有2 a(II)將矩陣B按列分塊:(1, 2,3),求解矩陣方程AP B可化為解三個同系數的非齊次線性方程組:Ax1,2,3對下列矩陣施以初等行變換得(A, B) 120 M0易知，齊次線性方程組方程組的特解分別為：1Ax(3,0的基礎解系為:1,0)T,